不定积分的计算47383

1、§2 不定积分的计算 （1）(一) 教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法(二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法基本要求：熟练掌握换元积分法和分步积分法.(三) 教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法 不定积分的计算一般由三种方法：1） 凑公式法 2） 部积分法2） 第二变量替换法一 第一类换元法 凑公式法 引出凑公式法: Th 若 连续可导, 则该定理可叙述为： 若函数能分解为 则有 . 凑公式法： 表面看不符合基本积分公式，但作变换，令 后 ，而 符合基本积分公式例1 但作变换，令 后

2、例2 不符合基本积分公式，稍微变换一下 令 例3 不符合基本积分公式，但用三角函数公式整令 后 化成 凑公式法的关键是设法把 凑成 的形式，使符合基本积分公式。 凑公式法的关键是设法把 凑成 的形式，使符合基本积分公式。 分部积分我们讲导数时，知道 从而有 移项得 或 我们称这个公式为分部积分公式。 当 不容易积分，但 容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分的 计算出来例4 若令 ， 代入分部积分公式但若令 ， 代入分部积分公式 比原积分还复杂由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意的，那个作u , 那个作 v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计算不出来。分析分不积分

3、公式，我们可总结出下面一个原则：一般应把（相比之下）容易积分，积分后比较简单的函数作为 ，积分较难或积分后比较复杂的函数作为例 4 相比之下显然，容易积分，所以取 分部积分公式也可以连续用多次例5 积分是它本身，积分是 相比之下， 容易积分，应选 ， 再用一次分部积分公式 例6 二者 积分难度相当，随意取那个作u 都可，比如取 代入分部积分公式 再分部积分一次 出现循环 将上式最后一项移到左端合并整理 分部积分使用的类型：一般说下面类型的不定积分 等常用分部积分来计算。习题课(凑公式法和分部积分法)1 常用的几种凑公式法 凑法1 例 1 例 2 例 3 例 4 由例1-4知，常可用初等化简把被

4、积函数化为型，然后用凑法1.例 5 . . 凑法2 . 特别地, 有 和 . 例6 .例7 例8 .例9 =.凑法3 例 10 例11 例12 . 例13 凑法4 .例 15 凑法5 例 16 凑法6 .例 17 .其他凑法举例:例 18 .例 19 例 20 .例21 . 例22 . 例23 例24 . 二 使用分部积分公式的一般原则. 1. 幂 X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂”型的积分, 使用分部

5、积分法可使“幂”降次, 或对“”求导以使其成为代数函数. 例46 (幂对搭配) 例47 (幂三搭配) 例48 (幂指搭配) 例49 (幂指搭配) 例50 例51 (幂反搭配) 例52 2 建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来. 例53 例54 求 和 解 解得 例55 解 = = （参阅例41）解得 例56 例57 ，解得 .例58 = =,解得 .§2 不定积分的计算 （2） 第二换元积分法教学内容：第二换元积分

6、法要 求：掌握正弦代换，正切代换，正割代换，根式代换的技巧难 点：代换的选择技巧二. 第二类换元法： 从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即= =引出拆微原理.Th2 设是单调的可微函数,并且又 具有原函数. 则有换元公式 (证)常用代换有所谓 无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换.1. 三角代换: 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令, 则 例27 解法一 直接积分; 解法二 用弦换.例28 . （ 参阅例11 ）例29 正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 即 令 . 此时有 变量还原时, 常用所谓辅助三角形法.例30 . 解 令 有. 利用例22的结果, 并用辅助三角形, 有= 例31 正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 令 有 变量还愿时, 常用辅助三角形法. 例32 解 .例33 .解法一 （ 用割换 ） 2. 无理代换: 若被积函数是 的有理式时, 设 为 的最小公倍数, 作代换 , 有 . 可化被积函数为 的有理函数.例34 .例