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1、第10章 重积分讨论二元函数的二重积分、三元函数的三重积分、一些应用。§10.1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念实例1 曲顶柱体的体积底为，顶为，侧为柱面。若平顶，则体积=底面积×高，用“分割，近似，求和，取极限”来计算曲顶柱体的体积。(1) 任分为个小区域：，即：任分为个小曲顶柱体：，(2) 在每上任取一点，可得的体积的近似，(3) 从而的体积的近似值。区域的直径：有界闭区域上任意两点间距离的最大值，常记为。记()为的直径，并记。有界域的无限细分：即。(4) 若当时，和式有极限，则定为的体积，即： 。实例2 非匀薄板的质量设面密度(1) 任分为 个小区域，(2)

2、在（）上任取，可得到的质量的近似值： ，(3) 从而的质量近似值为，(4) 当，和式有极限，则定为非匀薄板的质量，即。两例都归为“分割，近似，求和，取极限”的步骤，最终为的和式极限问题。定义1 设为有界闭域上的一个有界函数，将任意分成个小区域，其面积和直径分别为和（），在每个小区域上任取一点，作和式 (*)若当时，不论区域如何分法，以及点如何取法，和式(*)有确定的极限值，则称函数在区域上可积，并称为函数在区域上的二重积分，记作，即 。被积函数,积分区域,面积元素，,积分变量。由此，例1中，曲顶柱体体积：；例2中，非匀簿板质量：当存在时，将分为时，也存在。可=,。几何意义当时,=曲顶柱体的体积

3、；当时，=曲顶柱体的体积的负值； 对一般，=上、下各曲顶柱体代数和；当，。（注：值等，单位不等） 二、可积性条件和二重积分的性质1存在性当在有界闭域上连续时，存在更一般若在上有界，且在上除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续，则在上是可积的。2可积性质设、在有界闭域上可积，为的面积，则性质1 性质2 其中为常数。二重积分运算具有线性组合性。性质3(区域可加性) 若把用一光滑曲线分成两个和，则。性质4 若在区域上有则。性质5 若和分别是在上的最大值和最小值，则。性质6 。性质7（二重积分中值定理） 若函数在有界闭域上连续，则在上至少存在一点，使得。证 因在有界闭域上连续，故在上有最大值和最小值，由性质5可得，再由连续函数介值定理可知，在上至少存在一点，使得，即。几何解释：在区域上以曲面为顶的曲顶柱体体积=同一底面而高为的平顶柱体的体积。因此是二元函数在区域上的平均值。例3 估计二重积的值，其中：。解：因，故。当有对称性，是上“奇、偶”函数时，可化简。（1）若关于轴对称，当时，有当时，有。（2）若关于轴对称，当时，有当时

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