习题81反常积分的概念和计算_第1页
习题81反常积分的概念和计算_第2页
习题81反常积分的概念和计算_第3页
习题81反常积分的概念和计算_第4页
习题81反常积分的概念和计算_第5页
已阅读5页，还剩3页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、第八章 反常积分习 题 8.1 反常积分的概念和计算 xq图 物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所做的功为电场在该点处的电位。一个带电量的点电荷产生的电场对距离处的单位正电荷的电场力为（为常数），求距电场中心处的电位。解 。 证明：若和收敛，为常数，则也收敛，且。证 设，则。 计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）：;；。解（1），所以 。（2），所以 。（3）。（4）当时，；当时，此结果等于在时的结果中以代入后的结果。（5）当时积分发散；当时，。（6）当时积分发散；当时，。（7）令，则。（8）令，则。（9）利用第六章第3节习题1(10)的结果，即可得到。（10）

2、, 对等式右端任一积分（例如第二个积分）作变量代换，则，所以。 计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）：;解（1）。（2）。（3）令，则。（4）令，则。（5） 。，由于极限不存在，所以积分发散；同理积分也发散。 （6）令，再利用上面习题3（9），得到。 求极限。解 , 所以。 计算下列反常积分：(1);(2)。(3);(4);(5)。解 (1) 令, 再利用例，得到。(2) 令, 由, 得到 。(3) 。(4) 令, 得到。(5) 。 求下列反常积分的Cauchy主值：;。解 (1) 。(2) 。(3) 。 说明一个无界函数的反常积分可以化为无穷区间的反常积分。证 设是一个无界函数

3、反常积分，是的唯一奇点（即在的左领域无界）。令，则，等式右端就是一个无穷区间的反常积分。 以为例，叙述并证明反常积分的保序性和区间可加性； 举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。解 （1）保序性：设与收敛，且在成立，则；证明：由定积分的保序性，可知，再令。区间可加性：设收敛，则对任意，收敛，且；证明：由定积分的区间可加性，可知，再令。（2）设，则与收敛，但不收敛。10. 证明当时，只要下式两边的反常积分有意义，就有。证 ，对上式右端两积分中任意一个（例如第二个）作变量代换，则当时，；且，于是由，得到。11设收敛，且。证明。证 用反证法。不妨设，则对，：，从而。由，可知，与收敛发生矛盾。同理也可证明不可能有，所以。12

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论