2019年高考冲刺各题型解题技巧汇总圆锥曲线齐次式与点乘双根法

1、圆锥曲线齐次式与点乘双根法,圆锥曲线齐次式与斜率之积(和)为定值+ y2 =1上两个动点，且OQ1 1 OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线 b2 x 例1：Q1,Q2为椭圆22by = kx - mx x2y2化简可得：y =12b2 b2(2b2k2 +b2)x2 +4kmb2x + 2b2(m2 b2) = 0,所以xix2 -_ 2222b (m b )2, 2, 22b k b,yy2 2, 22, 2、b (m -2b k )2, 2, 22b k b因为OQ1 _LOQ2所以够y1y2 =22222_22_222_222b (m b ) b (m -2b k )2(m -b )

2、m -2b k十=r 2b2k2 b22b2k2 b222k2 122k2 1=0.3m2 =2b2(1 k2)IH又因为直线Q1Q2方程等价于为y-y0=0(x x0),即y0x0x2X。V。 V。+ y0对比于及二ky0y0 =m代入”中,化简可得：x02 + y02 = b2.3解法二(齐次式)设直线mx ny = 1Q1Q2方程为mx + ny =1，联立二1mx ny = 122x y /八T-2 + -2 -1 = 02bb2 x2b222+ y2(mx+ny)2 =0 化简可得：-b22b22 2-n y - 2mnxy = 0整理成关于x,yx,y的齐次式：(22b2n2)y2

3、+(1 2m2b2)x2 4mnb2xy = 0,进而两边同2时除以x，则2. 2_2222_22_1 - 2m b(2 -2b2n2)k2 -4mnb2k 1 -2m2b2 =0= k1k2 =-2-2b2n21 -2m2b2因为 OQ1 _LOQ2 OQ1 _LOQ2 所以 k1k2 = 1,12-2 =-12-2b n.3 =2b2(m2 n2)|又因为直线Q1Q2方程等价于为y y0 = &(x x0)，即y = y02迎乂 + 20 + y0对比于V。 V。mx + ny = 1，则 x022x VoV。22% V。二m代入中中,化简可得：x02 + y02 = 2 b2.3

4、二n2例2:已知椭圆 + y2 =1,设直线l不经过点P(0,1)的直线交于 A, B两点，若直线PA,PB的 4斜率之和为-1,证明：直线l恒过定点.P解:以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系 x' py',如图所示：p旧坐标 新坐标(x,y)= (x',y')即(0,1)= (0,0)x' =x A > A'y'=y -1B > B'原来kpA +kpB = -1 = %二1二1 = -1则转换到新坐标就成为：、- +*- = -1x1x2x1 ' x2'即k1' k2' = -1设

5、直线l方程为：mx'+ny'=1原方程：x2+4y2 =4则转换到新坐标就成为：x'2+4(y'+1)2 =4展开得:x'2 - 4y'2 8y'=0构造齐次式：x'2 4y'2 8y'(mx' ny')=0整理为：(4 8n)y'2 8mx'y' x'2 =0两边同时除以x'2,则（4 8n）k'2 8mk' 1 =08m1所以 k1' + k2' = -1 所以 2m2n=1= m = n 十一4 8n21 . . . .

6、x'_而 mx +ny =1 -(n+)x'+ny'=13 n(x'+y')+1=0对于任意 n都成立.x =2y=-1所以恒过定点（2,-1）.2 2m x' y'=0 x'=2一、则:彳x'，故对应原坐标为 -1=0 y'=-2 222xV例3:已知椭圆 一 +乙=1，过其上一定点 P（2,1）作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于 82A, B两点，证明：直线AB斜率为定值.x'py',如图所示：解:以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系(x,y)= (x',y')即(2,1)=

7、 (0,0)g、x'=x-2A > A所以一y' -y-1 B > B'原来kPA +kPB =0= 建+比二1 = 0则转换到新坐标就成为：支+应=。Xi _ 2 X2 _ 1X|X2即ki' k2' =0设直线AB方程为：mx'+ny' = 1原方程：x2 +4y2 =8则转换到新坐标就成为：(x'+2)2 +4(y'+1)2 =8展开得：x'2 4y'2 4x' 8y' =0构造齐次式：x'2 4y'2 4x'(mx' ny') 8y

8、'(mx' ny') = 0整理为：y'2 (4 8n) x'y'(4n 8m) (1 4m)x'2 =0两边同时除以 x'2,则(4 8n)k'2 (4n 8m)k' 1 4m = 04n 8m所以 k1' + k2' = _；m =0所以 n = 2m1而 mx' +ny' =1mx' + (2m)y' =1= mx -2my -1 = 0 .所以 k= 一 2平移变换，斜率不变，所以直线AB斜率为定值-.2二，点乘双根法例4:设椭圆中心在原点O ,长轴在x轴上,

9、上顶点为 A ,左右顶点分别为F1, F2 ,线段OFi,OF2中点分别为B,B2,且ARB2是面积为4的直角三角形.(1)求其椭圆的方程(2)过4作直线l交椭圆于P,Q两点，使PB2 _L QB2,求直线l的方程.22解：(1) L+L=i204(2)易知：直线l不与轴垂直，则设直线l方程为：y =k(x + 2) P(x1,y1),Q(x2, y2)因为 PB2 _L QB2,则 PBJQB2=0 , 所以(x1 -2,y1)(x2 -2,y2)=0= (x -2)区-2) k2(x 2)区 2) =0|y =k(x 2)现联立 x2 y2= x2 5k2(x 2)2 -20 02041则方程 x2 +5k2(x+2)2 20 = 0可以等价转化(1+5k2)(x1 x)(x2 x) =0即 x2 5k2(x 2)2 - 20 = (1 5k2 )(x1 一 x)(x2 - x)_248-oo80k2-16令 x =2, 4 80k2 -20 =(1 5k2)(x1 -2)(x2 -2)= (x1 -2)(x2 -2)=1 5k2令 x =2 4 0 20 =(1 5k2)(x 2)(x2 2)二(% 2)