微积分和圆周率π

1、微积分和圆周率PB08207041 池昌标 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，无限细分就是微分，无限求和就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。微积分的基本内容微分学的主要内容包括：极限理论、导数

2、、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。圆周率就是圆的周长和同一圆的直径的比，这个比值是一个常数，现在通用希腊字母“”来表示。圆周率是一个永远除不尽的无穷小数，它不能用分数、有限小数或循环小数完全准确地表示出来。由于现代数学的进步，已计算出了小数点后两千多位数字的圆周率。 圆周率的应用很广泛。尤其是在天文

3、、历法方面，凡牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。西汉末年的刘歆曾经采用过的圆周率是3.547。东汉的张衡也算出圆周率为3.1622。这些数值比起=3当然有了很大的进步，但是还远远不够精密。到了三国末年，数学家刘徽创造了用割圆术来求圆周率的方法，圆周率的研究才获得了重大的进展。 用割圆术来求圆周率的方法，大致是这样：先作一个圆，再在圆内作一个内接正六边形。假设这圆的直径是2，那末半径就等于1。内接正六边形的一边一定等于半径，所以也等于1；它的周长就等于6。如果把内接正六边形的周长6当作圆的周长，用直径2去除，得到周长与直径的比=6/2=3，这就是古代=3的数值。但是这个数值是不正确的，我

4、们可以清楚地看出内接正六边形的周长远远小于圆周的周长。 如果我们把内接正六边形的边数加倍，改为内接正十二边形，再用适当方法求出它的周长，那么我们就可以看出，这个周长比内按正六边形的周长更接近圆的周长，这个内接正十二边形的面积也更接近圆面积。从这里就可以得到这样一个结论：圆内所做的内接正多边形的边数越多，它各边相加的总长度（周长）和圆周周长之间的差额就越小。从理论上来讲，如果内接正多边形的边数增加到无限多时，那时正多边形的周界就会同圆周密切重合在一起，从此计算出来的内接无限正多边形的面积，也就和圆面积相等了。不过事实上，我们不可能把内接正多边形的边数增加到无限多，而使这无限正多边形的周界同圆周重

5、合。只能有限度地增加内接正多边形的边数，使它的周界和圆周接近重合。所以用增加圆的内接正多边形边数的办法求圆周率，得数永远稍小于的真实数值。刘徽就是根据这个道理，从圆内接正六边形开始，逐次加倍地增加边数，一直计算到内接正九十六边形为止，求得了圆周率是3.141O24。把这个数化为分数，就是157/50 刘徽所求得的圆周率，后来被称为“徽率”。他这种计算方法，实际上已具备了近代数学中的极限概念。这是我国古代关于圆周率的研究的一个光辉成就。 祖冲之在推求圆周率方面又获得了超越前人的重大成就。祖冲之把一丈化为一亿忽，以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数：一个是过剩的近似值，为3.1415927；一个是不足的近似值，为3.1415926。圆周率真值正好在这两个数之间。除了刘徽的割圆术外，还没有更好的方法。祖冲之很可能就是采用了这种方法。因为采用刘徽的方法，把圆的内接正多边形的边数增加到24576边时，便恰好可以得出祖冲之所求得的结果。 这两个数可以列成不等式，如：3.1415926（*）（真实的圆周率）3.1415927（盈），这表明圆周率应在这两个数之间。按照当时计算都用分数的习惯，祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是355/119（约等于3.1415927），这一个数比较精密，所以祖冲之称它为