找准切入口解法自然生

1、找准切入口 解法自然生从一道数学题的解法引发的思考浙江省宁波市奉化区剡溪中学王祥表求解数学问题的关键是思路，其要害是切入口，找准了切入口，解法也就自然生成了。这需要在分析题目的已知条件和所求问题特征的基础上，正确寻找已知条件与所求问题特征之间的隐含关系是作为解题的一个切入口，成为成功解题的关键。OCBAyx图1数学题目的条件与所要求的问题之间必然存在某种联系，对已知条件及所求问题的特征进行全面分析，多角度思考，瞻前顾后，从中管窥到他们之间的隐含联系，并以此为切入口寻找已知与未知之间的内在联系，从而自然生成解题的思路和方法1。以下笔者通过具体题目来进一步分析和尝试在几何解题中如何找准切入口。1

2、试题呈现如图，等边OAB的边AB与y轴交于点C，点A是反比例函数的图像上一点，且BC=2AC，则等边OAB的边长为 。2 解法展示CODBAyxE图22.1 以“等边OAB”自身的特殊性为切入口构造相似三角形解法1：如图2，过点A作ADy轴，垂足为D, 过点C作CEAO,垂足为E。设A ，AE=a。因为OAB为等边三角形，所以BAO=60，可得 AC=2a,CE=。又因为BC=2AC,所以BC=4a,即AO=AB=6a,故可得OE=6a-a=5a。显然RtAODRtCOE,所以即，解得。所以A,从而求得AO=。FOBAyxDECG图4解法2：如图3，过点B作BEy轴，垂足为E,再把RtBOE绕

3、着点O顺时针旋转60，得到RtAOH, 分别过点A和H作ADy轴, HGx轴,并将它们反向延长，交于点F。设A ，因为BC=2AC,所以BE=2x,AH= BE=2x,因为EOH=60,CFGODBAyxEH图3所以HOG=30, 即AHF=HOG=30,AF=，,从而得OG=AD+AF=,GH=。故FG=FH+GH=，FOBAyxDECG图4可列得，解得。所以A,从而求得AO=。2.2 以“三垂直”模型为切入口构造相似三角形 解法3：如图4，过点O作ODAB,垂足为D, 再过点D作DEx轴，垂足为E，并过点A作AFED,垂足为F，交y轴于点G。设A ，因为BC=2AC,而D为AB的中点，所以

4、可得FG=a,AF=3a,0E=a。再根据RtAFDRtDEO,可得,即从而得，所以EF= 所以，解得，最后又得A,AO=。EICDHOFBAyxG图5解法4：如图5,作BDO=AEO=AOB=60, 过点B分别作BGy轴,BHx轴,过点A分别作AFy轴,AIx轴。 设A ，则有AF=OI= ,AI= ,所以IE= ,AE= 。再通过证明BODOEA,可得BD=OE=，所以DH=,又因为OH=BG=2AF=2,所以OD=DH+OH=+,根据BODOEA,OD=AE=,所以可列得方程+=，解得。所以A,从而求得AO=。CODBAyxFE图62.3 以“等边OAB”和“BC=2AC”同时切入构造相

5、似三角形解法5：如图6，过点A作ADy轴, 过点A再作AEBO交y轴于点E，过点E作EFOA的延长线于点F。设AO=6, 根据BC=2AC, ACEBCO可得AC=2,AE= =3,因为EAF=60 ,所以AF= ,EF=。再得OF=，所以OE=。再在ACE中通过面积法得到AD=,ED=。所以OD=OE-DE=，即A(,),并带入反比例函数，解得，即A,从而求得AO=。如果在解法5的基础上，再用到解法1或许就方便多了，我们暂且定为解法6。解法6：设A()，根据解法5，得EF=。 OF= ，所以又因为由RtEOFRtAOD,所以,即，解得。所以A,从而求得AO=。 3 对于找准切入口的思考3.1

6、 基于对原有知识的深刻理解从知识转化角度看，数学习题一般都要运用所学过的知识加以解决。在通读题目，理顺条件和结论之后，最自然的想法就是“观察未知量，并尽量想出一道你所熟悉的且具有相同的或相似未知量的题目”“这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用他的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？”（波利亚语）换言之，该题给定一个已知条件“等边OAB”，你能联想到多少相关的知识点呢？除了最基本的边角关系，你是否还能想到等边三角形非常适合局部图形旋转（解法2）？其实除了等边三角形，等腰直角三角形、正方形等一些特殊图形也有这一特性。再如解法2-

7、3，如果出现直角，你是否能联想到了“三垂直”模型呢？而对于解法4，可以说是“三垂直”模型的“升级版”了。能想到此法，对于该模型已是熟练掌握，并能灵活加以应用了。因此，要想找到解题的切入口，归根结底是对原有知识的深刻理解，并不断运用。3.2 精于对问题解决的习惯反思反思是人们对自己认知过程的再认识，而解题反思则是对解题活动的再认识，属于解题活动的“元认知”，它是对解题活动的深层次再思考。它不仅是对数学解题学习的一般性回顾和重复，而且更是探究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，具有探究性、批判性、自主性。同时，解题反思不仅有助于对知识的深刻理解，提高对知识理解的层次，而且还能帮助学生提

8、高数学思维的“变通”性，从而提高学生的解题能力。因此，在解题之后，要加强反思意识，提高学生的反思力。就如上述的6种不同解法，或许当时学生的思路会定位在哪一种完全是取决于解题时的随机选择，但是它们也有优劣之分，学生是否能想到最佳解法，这就需要平时解题时的养成良好的思维优化习惯。通过这样的一题多解去习惯性地进行反思，来开拓思路、训练发散性思维、强化优化意识，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，从而使自己的解题能力更胜一筹，更有效的找准切入口。3.3 成于对解题教学的高效指导 学生在解题时能否找到“切入口”，除了深刻理解和不断运用所学知识外，教师在解题教学中的学法指导也尤为重要。通过分析，我们不难发现对上述6种解法的“切入口”找寻，主要是取决于两点：（1）通过知识的“追本溯源”明确解决问题的方向。即教师在平时的解题教学中，要不断唤起学生对新旧知识的联系，联想到该题的知识生长点在哪，可以运用以前学过的什么数学模型等；（2）借助于基本模型和转换技巧调控受阻思维，拓宽解题通道。因此，在解题教学中教师不妨以“追本溯源”为切入口，以于思路剖析为着力点2。教会学生“怎么做”，更要教会他们“怎么想”，把学法指导真正落到实处，全面提升学生分析