平面向量数量积的物理背景及其含义

1、平面向量数量积的物理背景及其含义湖北省仙桃市第八中学 彭会琴一、教学设计1.教学内容解析本节课内容选自人教版高中数学必修4第二章平面向量2.4平面向量的数量积的第一课时内容包括：（1）平面向量数量积的物理背景及其含义； （2）平面向量数量积的几何意义及性质。内容解析：（1）作为一种运算，平面向量数量积是继研究了向量的线性运算之后，这些知识的自然延伸；而平面向量的数量积又是高中数学的重要概念之一，掌握好这一内容，不仅能够巩固前面所学知识，而且还能为下一课时学习数量积运算以及进一步研究向量的坐标表示提供必要的知识准备。因此，本课时内容为平面向量的一个核心，起着承上启下的作用。（2）向量的平行、垂直

2、关系是向量之间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决这些问题的一个重要工具，因此，平面向量数量积在涉及垂直、夹角与长度的几何问题中有着十分广泛的应用。（3）教材通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，从定义出发推导出向量的数量积与向量的长度和夹角的关系，进一步探究了两个向量的夹角对数量积符号的影响，得出有关性质、几何意义，这样做是为了让学生从已有的知识出发认识新知识，因此，本课时内容便于开放课堂，开展探究活动。（4）教材中知识发展的两条主线非常清晰。其一是向量的数量积（2.4.1），从物理背景出发到数量积的定义，再根据定义研究性质，

3、然后再研究运算律；其二是（2.4.2），在第一课时的基础上先研究平面向量的坐标表示，再研究夹角的计算和垂直的判定方法，第一课时偏重概念“形”的特征，第二课时偏重概念“数”的特点，两条线正好把平面向量数量积的几何与代数特征有机地联系在一起，体现了数形结合的本质。本课时完成概念“形”的特征的教学，做好与下一节中概念“数”的特点结合的准备。另外在性质的推导与证明过程中也很好地体现了特殊与一般的数学思想。因此，本课时内容看似简单，数学思维却很有高度。根据以上分析：确定本节课的教学重点为教学重点：平面向量数量积的概念及性质。2.学生学情诊断 本节课之前，学生已经熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其

4、线性运算。具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：先由物理模型抽象出概念，然后再从概念出发研究性质和运算律。这些都为学生学习数量积做了很好的铺垫。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解。一方面，相对线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，是数量而不是向量；另一方面，受实数乘法运算的影响，学生很容易得出一些错误的结论，如“若且则”又如“若且则”等，这些都是学生学习本节课的难点。根据以上分析，本节课的教学难点确定为 教学难点：平面向量数量积的定义以及投影的概念。3.教学标准设置 （1）通过参与数量积概念的形成过程，了解平面向量数量积的物理背景，理解并能说出数量积的定义。让学

5、生感受概念产生的自然性与合理性。（2）让学生经历数量积的性质及几何意义的探索过程。学生能说出数量积的性质，理解投影的概念及数量积的几何意义。并能运用数量积的定义、性质与几何意义解题。（3）结合例题与练习的分析，让学生初步体验数量积在解决向量夹角与模长方面的应用，体现向量的工具性，同时体会它与实数乘法的不同。4.教学策略分析按照教材按排，这一课时从背景引出定义，再探究性质、几何意义，然后证明运算律，接着通过例题运用，这些内容即使是基础较好的班级也很难完成，更何况在基础一般的班级？如果机械地按照标准，那只能削弱对概念的教学，根据章建跃教授关于数学核心概念教学的观点，在知识发展线上，我将教学重心前移

6、，目的是重点突出概念和性质。根据本节内容易于开放探究的特点，在方法运用线上，我将采用自主学习与合作学习相结合的学习方式，引导学生主动探究概念、发现性.质。根据概念课教学的一般规律，凸现概念教学的三个层次，从概念的形成到概念的同化，再到概念的应用这一条线来展开课堂教学。具体教学流程如下： 提 导出 入问 课题 题揭 形示 成背 定景 义开 拓放 展探 认究 知师 应生 用合 新作 知课 巩堂 固演 新练 知课 梳堂 理小 认结 知5.教学策略分析 环节 1、提出问题、导入课题屏幕展示章首图，画外音：“如果没有运算，向量只是一个路标，因为有了运算，向量的力量无限。”师：同学们，我们一起回顾一下，前

7、面已经学习了向量的哪些运算？生：加法、减法、数乘运算。师：它们运算的结果是向量还是数量？生：向量。师： 那么，老师要问，两个向量能不能做乘法运算呢？如果能，运算结果又是什么呢？这就是我们今天要研究的课题。板书课题。设计意图：回顾向量的线性运算，类比实数运算提出问题、指明课题，引发学生的探究倾向。 环节 2、揭示背景、形成定义师：想一想，现实生活中有与向量有关又做乘法运算的例子吗？学生思考中师：先想一想生活中常见的向量有哪些？生：有力、位移、速度。师：又做乘法运算呢？生：功。师：我们一起来回顾一下物体做功的过程。屏幕展示：小车受力做功的过程。师：静止的小车在牵引力的作用下产生位移做功，功的大小如

8、何计算？生1：物体在位移方向上的分力做功，故W=FScos板书：W=FScos师（追问）：这里的F、S表示什么？表示什么？生1：F、S分别是力和位移的大小。是力与位移的夹角。师：表示什么意义？生1（迟疑片刻后回答）：表示力在位移方向的分力大小。师：仔细观察功的计算公式。功的大小由三个数量的乘积决定，从向量的角度看却只涉及两个向量与。这启发我们能不能把功定义成乘的结果呢？生（齐答）：可以。师：好，我们就把功定义成的结果，用点乘表示。板书： 为的夹角师：进一步思考：能不能把这个定义推广到所有向量呢?生2（主动站起来）：不能！师：为什么？生2：因为这个定义中有夹角，只有两个非零向量才有夹角，所以这样

9、定义的乘法只能满足两个非零向量。师：说得好,观察的很仔细，大家要向她学习。类比力与位移，我们可以这样定义两个非零向量的乘法。 板书: 定义：已知两个非零向量与, 为的夹角 师：那么零向量怎么办呢？如果零向量参与这种乘法运算，结果应该是什么？大家可以讨论一下。 讨论片刻后，（教师指点一位同学起来回答）师：这位同学说说你们的看法。生3：因为零向量的模为0，我们规定要合适些。师：大家同意吗？生（齐）：同意。板书：规定：设计意图：让学生经历定义的形成过程。通过寻找与向量有关又做乘法运算的实例引出功的计算，再从功的计算出发定义向量的乘法运算，不仅可以揭示平面向量数量积产生的物理背景，使学生明确知识来源于

10、生活，而且还能让学生感受知识产生的合理性。师：有了定义，我们来研究一下这种乘法运算的结果，它是向量还是数量呢？生（齐）：是数量。师：对是数量！（这时教师指向规定式中的结果追问）：这个0是向量还是数量呢？生（齐）：是数量。师：两个向量做乘法运算的结果是数量，这与我们前面学习过的向量的加法、减法、数乘运算的结果完全不同。乘法运算的结果叫积，因此我们把数量 叫做的数量积，也叫内积。边讲边补充板书到定义中。设计意图：研究向量做乘法运算的结果，强调其运算结果是数量与线性运算的结果不同。同时顺理成章地给出数量积的定义。让学生体会定义产生的自然性。 环节 3、开放探究、拓展认知（一）运算性质师：我们再来观察

11、定义式，与为非零向量时数量积的大小与的长度及夹角有关，板书已知两个非零向量与， 其中夹角是联系的纽带,它的大小对数量积有何影响呢?下面请同学们就此问题分组讨论。 学生分组讨论。讨论约5分钟后师：刚才大家讨论的很热烈，看来收获还不少，下面哪个组先汇报一下。生4：我们小组研究了取特值时的情形：与同向，与垂直，与反向，综上：（1）（2）当 当 生5：我们小组研究了时的一般情形： 当时， 当时， 综上：1、 2、当时， 当时， 师：好！太精彩了，通过讨论我们发现了这么多重要的结论，我提议，为我们的发现来点掌声。师：综合两个小组的研究我们得到了三条性质。师生共同总结，边说边板书：设都是非零向量，则 （1

12、）（2）当 当 特别地， （3） 设计意图：新课程改革的最重要的理念，就是突出学生学习的主体地位，知识是学生探究出来的，不是老师讲出来的！在研究非零向量数量积的大小时，采用分组讨论、合作学习的方式，探究夹角对数量积大小的影响，从而得到向量数量积的三条性质和一个结论，使学生获取成就感，培养学生合作学习的意识。（二）几何意义师：仔细观察定义式的结构，我们将它变为或的形式，那么这里的、有意义吗？先看。生6：可以看成方向上的分向量。生7（主动站起来）：不对。是数量，应该是方向上的分向量的大小。师：这位同学说得好，是数量而不是向量！我们一起来看一看：（教师边画图边讲解）过点引垂直于于点，=；在几何中，我

13、们把叫做方向上的投影。板书：叫做方向上的投影。师：呢？生8：叫做方向上的投影。师：有了投影的定义，现在你们能说说数量积的几何意义吗？生9（举手抢答）：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。生10：由式2知：数量积等于的长度与方向上的投影的乘积。师：这就是数量积的几何意义。设计意图：从研究非零向量数量积的定义式的结构入手。既能得到投影的概念，研究非零向量数量积的几何意义，又能加深对非零向量数量积的概念的理解。 环节 4、师生合作、应用新知 师：收获了这么多知识，下面我们来体验一下它们的应用。例1（1）已知 （2）已知 （3）已知=3，方向上的投影为，则 师：例1我们抢答完成。例2、已知,满足=

14、1 =4且=2，求向量与的夹角。例3 已知,满足：=9,-12,求的范围?设计意图：设计例1为加深学生对向量数量积定义的理解，例2例3的设计让学生初步体会数量积在解决两个非零向量的夹角问题及模长问题方面的应用。 环节 5、课堂演练，巩固新知1已知时，试判断的形状。2、判断下列命题是否成立：（1）若（ ）（2）若（ ）设计意图：练1的设计让学生进一步体会数量积大小与夹角的关系，练2的设计让学生体会向量投影的应用，感受向量的数量积与实数的乘法的不同之处。为下一节证明分配律埋下伏笔。 环节 6、课堂小结、梳理认知师：通过本节课的学习，你有何收获？生11：学习了两个概念，平面向量数量积与投影的概念，还

15、学习了数量积的性质生12：在研究性质的过程中，我们从夹角的特殊情形入手得到了数量积的性质，这就是特殊与一般的数学思想。师：综合起来，这一节课我们学习了：屏幕展示：一种思想：特殊与一般的思想 两个概念：向量的数量积与投影的概念 三条性质：（1） （2）当， 当 特别地， （3） 设计意图：对本节课所学知识进行归纳，让学生反思概念的学习过程，感受收获的喜悦。课后思考：类比实数乘法的运算律，猜想并证明向量数量积有哪些运算律？ 设计意图：将教学从课内延伸到课外。二、课后反思本节课涉及两个概念平面向量的数量积与向量的投影。其中平面向量的数量积，作为一种运算，它是前面向量线性运算的自然延伸；作为一个概念它

16、又是沟通几何、代数、三角的一座桥梁。顺利地架起这座桥梁，这一节课的教学具有十分重要的意义。可取之处：第一、在本节课教学中，至始至终置学生于探究的学习气氛中。从开始类比实数的运算引入问题，引发学生的探究倾向，到定义的形成，再到定义的精致过程，然后，又从定义出发探究性质，直到课后还留给学生的课外思考题；从知识的形成与发展到思维方法再到数学思想的有效渗透，所有这些，学生都在经历着、感受着，学生学得很充实。第二、材料选取恰当，将教学的重心放在了核心概念的建构上，突出了概念和性质的教学。第三、在探究过程中，教师的设问贴近学生思维的最近发展区，这样学生参与度较高。改进之处：在探究活动中教师要深入到学生中，起到组织者、引导者和参与者的作用，不要成为活动的旁观者。困惑之处：如果按照标准4.2.1用一课时难以教完，而按照两个课时，这一节的内容，在应用方面又显得不足，怎样弥补这一不足呢？三、教学评价本课探索了将有效创设情景线、学生探究活动线、概念定义建构线、思想方法蕴涵线贯通融合成为“四线交织”，将知识、方法和能力串通融合为“三位一体”的概念课教学的具体作法，通过自然流畅的六