数系的扩充与复数的引入

1、泰兴市二高2017年秋学期高二数学期末复习讲义 （五） 复数数系的扩充与复数的引入导学目标： 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义自主梳理1数系的扩充数系扩充的脉络是：_，用集合符号表示为_，实际上前者是后者的真子集2复数的有关概念(1)复数的概念形如abi (a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的_和_若_，则abi为实数，若_，则abi为虚数，若_，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdi_(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭_(a，b

2、，c，dR)(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面_叫做实轴，_叫做虚轴实轴上的点表示_；除原点外，虚轴上的点都表示_；各象限内的点都表示_复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以_为起点的向量组成的集合也是一一对应的(5)复数的模向量的模叫做复数zabi的模，记作_或_，即|z|abi|_.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)_；减法：z1z2(abi)(cdi)_；乘法：z1·z2(abi)·(cdi)_；除法：_(cdi0)(2

3、)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C，有z1z2_，(z1z2)z3_.自我检测1复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点在第_象限2设复数z满足(1i)z2，其中i为虚数单位，则z_.3复数z1i，为z的共轭复数，则zz1_.4复数_.5设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_.探究点一复数的基本概念例1设mR，复数z(2i)m23(1i)m2(1i)(1)若z为实数，则m_；(2)若z为纯虚数，则m_.变式迁移1已知复数z(a25a6)i (aR)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数探究点二复

4、数的运算例2计算：(1)； (2)2 012.变式迁移2计算：(1)； (2)； (3).探究点三复数的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，32i，24i，试求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求B点对应的复数变式迁移3(1).复数z134i，z20，z3c(2c6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若BAC是钝角，则实数c的取值范围为_(2) 若|z1|z1|，则|z1|的最小值是_2乘法法则：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法法则：i(cdi0)特别地：(a±bi)2a2±2abib

5、2a2b2±2abi，(abi)(abi)a2b2.3进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30 (nN)；(2)(1i)22i，(1i)22i，i，i.一、填空题1若z，则复数_.2在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数为_3若(，)，则复数(cos sin )(sin cos )i在复平面内所对应的点在第_象限4已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是_5.设xR，则“x1”是“复数z(x21)(x1)i为纯虚数”的_条件.6下

6、面四个命题：(1)0比i大；(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；(3)xyi1i的充要条件为xy1；(4)如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应其中正确命题的个数是_7已知z12i，z213i，则复数的虚部为_8已知复数z1m2i，z234i，若为实数，则实数m_.9复数zxyi (x，yR)满足|z1|x，则复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程为_10设复数z满足|z-3-4i|=1,则|z|的最大值是_.二、解答题11已知|z|z12i，求复数z.12已知复数z0ai和zz0|z0|1(1)i，i为虚数单位，a为实数求证：复数z不可能为纯虚数13已知mR，复数z(

7、m22m3)i，当m为何值时，(1)zR；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线xy30上 数系的扩充与复数的引入一、填空题1复数(2i)2=_来源:Z。xx。k.Com来源:Zxxk.Com2复数z，则_.3.若复数z(a22a3)(a3)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a=_4复数z(mR)是纯虚数，则m_.5若(i是虚数单位)是实数，则实数a的值是_6若复数(aR，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为_7若复数z满足|zi|1(其中i为虚数单位)，则|z|的最大值为_8在复平面内，复数3i和1i对应的点间的距离为_9已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值_10给出下列四个命题：若zC，|z|2z2，则zR；若zC，z，则z是纯虚数；若zC，|z|2zi，则z0或zi；若z1，z2C，|z1z2|z1z2|，则z1z20.其中真命题的个数为_个二、解答题11已知复数zlg(m22m2)(m23m2)i，根据以下要求求实数m的值或范围：(1)z是纯虚数； (2)z是实数； (3)z对应的点在复平面的第二象限12已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.13已知z是复数，z