4.3利用平方差公式进行因式分解

1、第四章因分解式3 公式法(一)-利用平方差公式进行因式分解一、学生学情分析学生在前边学习的基础上，已经对整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系有所了 解，学习了提公因式法分解因式。在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，已经学习 了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础通过前几节课的活动和探索， 学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节 课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论、动手计算等方法，让学生有充 分活动时间.二、教材内容分析因式分解与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学 习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法

2、的逆向变形，在后面的学习过程中应用广 泛，如下一章就要学习的分式的通分和约分。本章介绍了最基本的两种因式分解方法： 提公因式法和运用公式法(平方差、完全平方公式)。本节课重点就是学习利用平方差 公式因式分解。三、教学目标分析学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的 运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。教学目标：1知识与技能：(1) 理解平方差公式结构的不变性，字母的可变性；(2) 会用平方差公式进行因式分解；(3) 了解有公因式先提公因式，再考虑用平方差公式分解2过程

3、与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向 思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性.3情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会 向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是 有用的”。教学重难点：重点：学生掌握运用平方差公式分解因式。难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式进行因式分解；培养学生多步 骤分解因式的能力。教学突破：抓住平方差公式的特点，先确定公式里的a和b,再进行分解；分解因式时，一提二套，分解彻底。四、教学准备教师准备：多媒体辅助教学，纸条出题两组（每组六道题）。学

4、生准备：练习本和课本。五、教学流程安排本课时设计了八个教学环节：第一环节复习回顾；第二环节 探究新知（公式的推导与认识）；第三环节 自主学习，再组内互助学习；第四环节 落实基础（小组展示学习效果）；第五环节能力提升（教师点评讲解）；第六环节 自主小结；第七环节布置作业；第八环节 课后拓展（简便运算，联系拓广）。教学过程如下：第一环节复习回顾活动内容：课题引入a2-4b2这个多项式能用我们昨天学过的提公因式法进行分解吗？ 学生回答不能，因为没有公因式。从而自然引入了今天的学习内容，介绍学习目标。填空：(1) (x+5)(X-5)(2) (3x+y) (3x- y) =（3） （3m+2n） （3

5、m- 2n） =.它们的结果有什么共同特征?尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：2x -25=;小229x -v;2 29m 4n 二活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力.注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系.第二环节探究新知活动内容：谈谈你的感受。将多项式a2 -b2进行因式分解(a - b)(a -b) =a2 -b2 (整式乘法).a2 -b2 =(a - b)(a -b)(因式分解)结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解

6、因式的方法称为运用公式法。活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式 的同时，认识学习新的分解因式的方法一一公式法。注意事项：能正确理解两者的联系与区别即可。活动内容：找特征2 2a -b =(a b)(a -b)(1) 公式左边：被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成()2( ) $的形式。(2) 公式右边：分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。即(+)(-)活动一：探索什么样的能变形下列多项式能转化成()2()彳的形式吗？2 2 2(1)m -81(2)1 -16b(3)4m 922222222(4) a x -25y(5)-x -25

7、y(6) - 4t216 = 42 -(2t)2活动目的：让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相关结 论进行实例练习。注意事项：在老师的指导下，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论。同时要求学 生对于不能利用平方差公式进行分解因式的式子给出相应的解释。第三环节自主学习活动二：例1把下列各式因式分解：(1)25- 16x2(2)9a2 -b24活动目的：教师提示要注意的问题，明确思维方法，给学生充分的时间去自主学习例题。 注意事项：使学生明确运用平方差公式进行分解因式的实质是找到“a”和“ b”.第四环节落实基础活动内容：(小组展示学习效果，同学点评，老师总结点评。)把

8、纸条上各式因式分解：2 2 2 1 2(1) -9 4x(2)x y Z(3)o.25q2 -121p24422(4)9a2p2 -b2q2 (5) -16b2 1 x y25活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚， 对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及 时地进行查缺补漏.注意事项：落实基础此环节的练习设置均比较基础，就作为全体学生完成的目标最后 一题分解因式强调分解需彻底。第五环节能力提升活动三：例2把下列各式因式分解：223(1)9(m n) -(m -n)(2)2x -8x活动目的：进一步让学生理解平方差公式中

9、的 a、b不仅可以表示具体的数，而且可以 表示其它代数式(注意使用整体方法进行教学)，只要被分解的多项式能转化成平方差 的形式，就能用平方差公式因式分解。同时让学生明白分解因式的结果必须彻底。总结 分解因式的一般步骤：一提二套，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。注意事项：在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号 后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况。小组讨论学习后再进行展示，师生共同纠正其发生的错误，同时引起同学们的注意' 第六环节自主小结活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对

10、整式乘法的平方差公式的与因式分解的 平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解.注意事项：学生认识到了以下事实：(1) 有公因式(包括负号)则先提取公因式；(2) 整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；(3) 平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式； 第七环节布置作业 完成课本习题4.4 A类学生二、三题 B类学生二题 C类学生一题 第八环节课后拓展1. 简便计算2 2 1 21 2(1)5652 -4352(2)(65)2 -(34 )222活动目的：本课时设置的这个练习反馈环节，旨在训练学生对整体换元思想的实际应用 能

11、力。注意事项：在教师的引导下，规范书写步骤，避免在化简过程中出现不必要的错误.2、联系拓广 教学内容： 如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正 方形用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积.活动目的：本题的练习旨在对因式分解进行实际应用问题讲解，问题 针对面积的求解进而了解学生掌握情况。他们没有注意事项：在实际应用中，部分学生对于例题因式分解的实际应用不能理解， 采用因式分解的方法，而是利用计算器硬生生地计算出来.六、教学反思通过本节课的学习，仍然有部分学生不能准确的找出公式中的 a、b,可以在课外辅 导时，用不同颜色的笔加以区分和强调，或是分配给每个小组的组长和优生，让她们逐 一检查掌握的情况，同时给不太好的同学进行辅导和帮助，再有困难找老师。本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与 交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表 示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。有意识的培养学生逆向思