1996年考研数学三真题与全面解析

1、WORD格式1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 此题共 5 小题 , 每题 3 分, 总分值 15 分 . 把答案填在题中横线上.)(1)设方程 x y y确定y是 x 的函数,那么dy_.(2)设 x f ( x)dx arcsin xC ,那么1 dx_.f ( x)(3)设 x0 , y0是抛物线 yax2bxc 上的一点,假设在该点的切线过原点, 那么系数应满足的关系是 _.(4) 设1111x11a1a2a3anx21A a12a22a32an2, Xx3,B1,a1n 1a2n 1a3n 1ann 1xn1其中 aia j (ij;i, j1,2,n)

2、.那么线性方程组ATXB 的解是_.(5)设由来自正态总体X N( ,0.92 ) 容量为9的简单随机样本 , 得样本均值X 5 , 那么未知参数的置信度为0.95 的置信区间为 _.二、选择题 ( 此题共5 小题 ,每题3 分 , 总分值 15 分 . 每题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.)2 dcos, r sin )rdr(1)累次积分0f (r cos可以写成( )01dyy y2f (x, y)dx11y 2(A)00(B)dy0f ( x, y)dx0(C)1dx1(D)1xx20f (x, y)dydx0f ( x, y)dy00(

3、2)下述各选项正确的选项是()(A)假设un2和vn2都收敛,那么(unvn ) 2收敛n 1n 1n1(B)u v 收敛,那么u2与v2都收敛n nnnn 1n 1n 1(C)假设正项级数un发散,那么 un1nn1专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式(D)假设级数un收敛,且unvn (n1,2,),那么级数vn也收敛n 1n 1(3)设 n 阶矩阵A非奇异(n2 ),A 是矩阵 A 的伴随矩阵,那么()(A)( A )n 1(B)( A )An1AAA(C)( A )n 2(D)( A )n2AAAA(4)设有任意两个n维向量组1 ,m和1 , m,假设存在两组不全为零的数

4、1, m和 k , km, 使(1k )1(mk)m(k )1(mk)m0 ,那么11m11m()(A)1,m和1,m 都线性相关(B)1,m和1,m 都线性无关(C)11 ,mm ,11,mm 线性无关(D)11 ,mm ,11,mm 线性相关(5)0P(B)1且 P A1A2 BP( A1B)P( A2B) ,那么以下选项成立的是()(A)PA1A2BP( A1B)P( A2 B)(B) P A1 B A2B P(A1B) P(A2B)(C)P A1A2P(A1 B)P(A2 B)(D)P BP A1 P(B A1)P( A2 )P(B A2)三、 ( 此题总分值6 分)g( x)e x设

5、 f ( x)x, x0,其中 g ( x) 有二阶连续导数,且 g (0) 1, g (0)1 .0,x0,(1) 求 f (x) ；(2) 讨论 f ( x) 在 ( , ) 上的连续性.四、 ( 此题总分值6 分)专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式设函数 zf (u) ,方程x是 x, y 的函数,其中 f (u),(u ) 可u( )( )dt确定uup ty微； p(t) ,(u) 连续,且 (u)1.求 p( y) zp( x) z.xy五、 ( 此题总分值6 分)xe x计算0(1e x)2dx.六、 ( 此题总分值5 分 )1设 f ( x) 在区间 0,1 上

6、可微,且满足条件 f (1)2 2xf (x)dx .试证:存在(0,1) 使0f ( )f ( )0.七、 ( 此题总分值6 分)设某种商品的单价为p 时,售出的商品数量Q 可以表示成 Qac ,其中 a、 b、pbc 均为正数,且abc .(1)求 p 在何X围变化时, 使相应销售额增加或减少.(2) 要使销售额最大 , 商品单价p应取何值 "最大销售额是多少 "八、 ( 此题总分值6 分)求微分方程dyyx2y2的通解.d*九、 ( 此题总分值8 分)01001000设矩阵A.00y10012(1) A 的一个特征值为3, 试求y；(2) 求矩阵 P ,使(AP)T(

7、AP)为对角矩阵.十、 ( 此题总分值8 分)设向量1,2 , t是齐次线性方程组AX0 的一个根底解系, 向量不是方程组专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式AX0 的解,即 A0 .试证明:向量组,1 ,2 ,t 线性无关.十一、 ( 此题总分值7 分 )假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停顿工作,假设一周 5个工作日里无故障, 可获利润10 万元；发生一次故障仍可获得利润5 万元；发生两次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损2 万元 . 求一周内期望利润是多少"十二、 ( 此题总分值6 分 )考虑一元二次方程 x2Bx

8、C0, 其中B、C分别是将一枚色子 ( 骰子 ) 接连掷两次先后出现的点数 . 求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .十三、 ( 此题总分值6 分 )假设X,X, X是来自总体 X 的简单随机样本；EX ka (k 1,2,3,4) .12nk证明：当 n 充分大时,随机变量Zn1nXi2近似服从正态分布, 并指出其分布参数 .n i1专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 此题共 5 小题 , 每题 3 分, 总分值 15 分 , 把答案填在题中横线上.)(1)【答案】dxx 1 ln y【解析】 方法 1：

9、方程xy y两边取对数得 ln xln y yy ln y ,再两边求微分,1 dxln y1 dydy1dxx ln y10 .xx ln y 1方法 2：把xy y变形得xeyln y,然后两边求微分得dx ey ln y dy ln yy y1ln y dyx 1ln ydy ,由此可得dy1dx.x 1ln y(2)【答案】1x23C13【解析】由x f ( x)dxarcsin xC ,两边求导数有xf ( x)arcsin x11x1 x2,1x2f ( x)于是有1dxx1x2 dx11 x2 dx 2f (x)211x2 d1x221x2C .133(3)【答案】 c0 (或a

10、x02c ),b 任意a【解析】对 y ax2bxc 两边求导得 y2axb,yx02axb,0所以过 x0 ,y 0的切线方程为yy02ax0b xx0 , 即y ax02bx0c2ax0b x x0 .又题设知切线过原点0,0, 把xy0代入上式,得ax02bx0c2ax02bx0 ,即 ax02c.专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式由于系数 a0 ,所以,系数应满足的关系为c0 (或ax02c ),b任意.aT(4) 【答案】 1,0,0, 0【解析】因为 A 是X德蒙行列式,由 aia j知Aai aj0 .根据解与系数矩阵秩的关系 , 所以方程组ATXB 有唯一解.根

11、据克莱姆法那么 , 对于专业资料整理WORD格式1aa2111a2a221a3a321anan2易见D1 A ,D2 D3Dn0.n 1a1n 1a2n 1a3ann 1x11x21x31,xn1专业资料整理WORD格式所以 ATXB 的解为x11,x2x3xn0 ,即T1,0,0, ,0 .【相关知识点】克莱姆法那么：假设线性非齐次方程组a11 x1a12 x2a1 n xnb1 ,a21x1a22x2a2n xnb2 ,an1 x1an2 x2ann xnbn .n或简记为j 1aij x jbi ,i 1,2,n其系数行列式a11a12a1nDa21a22a2n0 ,an1an 2ann

12、那么方程组有唯一解xjD j,j1, 2, ,n.D其中 D j是用常数项 b1 ,b 2 ,bn替换D中第j列所成的行列式,即专业资料整理WORD格式6专业资料整理WORD格式a11a1, j1b1a1,j1a1na21a2 ,j1b2a2,j1a2nD j.an1an, j 1bnan, j 1ann(5) 【答案】 (4.412,5.588)【解析】可以用两种方法求解：(1) 方差20.92,对正态总体的数学期望进展估计 , 可根据因 XN (,0.92) ,设有 n 个样本,样本均值X1 nX i,n i 1有 XN (, 0.92) ,将其标准化,由公式XE(X ) N(0,1)得：

13、nD(X )nX N(0,1)1n由正态分布分为点的定义Xu1可确定临界值 u ,P122n进而确定相应的置信区间 ( x un, x u) .22n(2) 此题是在单个正态总体方差条件下, 求期望值的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间x u, x u,2n2n其中 PUu1,UN (0,1) ,可以直接得出答案.2方法 1：由题设 , 10.95 ,可见0.05. 查标准正态分布表知分位点u1.96.本2题 n9 ,X5,因此,根据 P X1.96 0.95,有1nP51.960.95, 即P4.4125.5880.95,19专业资料整理WORD格式7专业资料整理WORD格式故的置信度

14、为 0.95的置信区间是 (4.412,5.588) .方法 2：由题设 ,10.95,P Uu P uUu 2(u) 1 0.95,(u )0.97522222查得 u1.96.20.92, n 9 ,X5代入 (xu, xun) 得置信区间(4.412,5.588) .2n2二、选择题 ( 此题共5 小题 ,每题3 分 , 总分值 15 分 . 每题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】 (D)【解析】 方法 1：由题设知 , 积分区域在极坐标系xr cos , yr sin中是Dr , | 0,0 rcos ,221与 x 轴在第

15、一象限所围成的即是由 x1y2y241平面图形 , 如右图 .2由于 D 的最左边点的横坐标是0 ,最右点的横坐标是1,专业资料整理WORD格式下边界方程是 y0, 上边界的方程是 yx x2O,从而D121x专业资料整理WORD格式的直角坐标表示是Dx, y | 0x1,0yxx2,故 (D) 正确 .方法 2：采取逐步淘汰法. 由于 (A) 中二重积分的积分区域的极坐标表示为D1r ,| 0,0r sin ,2而 (B) 中的积分区域是单位圆在第一象限的局部,(C) 中的积分区域是正方形x,y | 0x 1,0y1 ,所以 , 他们都是不正确的. 故应选 (D).(2) 【答案】 (A)【

16、解析】由于级数un2和vn2都收敛,可见级数un2vn2收敛.由不等式n 1n 1n 12un vn un2vn2专业资料整理WORD格式8专业资料整理WORD格式及比较判别法知级数2unvn收敛,从而2un vn收敛.n 1n 12un2vn22unvn , 即级数un vn2收敛 , 故应选 (A).又因为 un vnn 1专业资料整理WORD格式设 un12,vn1 n 1, 2,n1 1设 unn n2n 1,2, 可知 (B) 不正确 ., 可知 (C) 不正确 .专业资料整理WORD格式1n 11,vnn 1,2, ,可知(D)不正确.设 unnn注： 在此题中命题 (D) “假设

17、级数un收敛,且unvn (n 1,2, ) ,那么级数vn也收敛.n 1n 1不正确 , 这说明：比较判别法适用于正项级数收敛( 或级数绝对收敛) 的判别 , 但对任意项级数一般是不适用的. 这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.(3) 【答案】 (C)【解析】伴随矩阵的根本关系式为AAA AA E ,现将 A 视为关系式中的矩阵A,那么有A(A)AE .方法一：由 AAn 1A ,可得及(A)1A( A )A (A)1AAA A.n 1n 2A故应选 (C).方法二：由A(A)A E,左乘 A得(AA )(A )n1n 1AA,即(AE)(A)A A.故应选 (C).(4)

18、【答案】 (D)【解析】此题考察对向量组线性相关、线性无关概念的理解. 假设向量组1,2, ,s线性无关 , 即假设x1 1x2 2xs s0 ,必有 x1 0, x20, , xs0 .既然1, m与 k1, km不全为零,由此推不出某向量组线性无关, 故应排除 (B) 、(C).一般情况下 , 对于k1 1k2 2ks sl1 1ls s0,专业资料整理WORD格式9专业资料整理WORD格式不能保证必有 k11k2 2kss0, 及 l11lss0, 故(A)不正确.由条件,有111mmmk111kmmm 0 ,又1 , m与 k1 , km不全为零,故11,mm ,11 , mm线性相关

19、 .应选 (D).(5) 【答案】 (B) 【解析】依题意PA1 A2BP A1BP A2BP A1BA2 B P A1B) P(A2BP(B)P(B)P(B),.P(B)P(B)因 P(B)0,故有P ABA BP AB)P(A B. 因此应选 (B).1212注：有些考生错误地选择(D). 他们认为 (D) 是全概率公式 , 对任何事件B都成立 , 但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件A1, A2应满足 P( A1 )0, P( A2)0 ,且 A1, A2是对立事件 .P( AB)【相关知识点】条件概率公式：P( B | A).P( A)三、 ( 此题总分值 6分 )【解析】(1)由

20、于 g ( x) 有二阶连续导数, 故当x0时 ,f ( x) 也具有二阶连续导数, 此时 ,f ( x)可直接计算,且 f ( x) 连续；当 x 0时 , 需用导数的定义求f(0) .当 x0 时,f (x)x g (x) e x g( x) exxg ( x) g (x) ( x 1)exx2x2.当 x0 时,由导数定义及洛必达法那么, 有f(0)limg (x) e x洛 limg (x)e x洛 limg( x)e xg (0)1x22x22.x 0x 0x 0xg ( x) g(x) (x 1)e x, x0,f(x)x2所以g (0)1,x0.2(2)f ( x) 在 x0 点

21、的连续性要用定义来判定. 因为在x0处 , 有lim fxg ( x)g( x)(x1)e x(x) lim2x0x0x专业资料整理WORD格式10专业资料整理WORD格式limg (x)xg(x)g (x) e x( x1)e xx02xlimg( x)e xg(0)1f(0) .x022而 f (x) 在 x0 处是连续函数,所以 f(x) 在 (,) 上为连续函数.四、 ( 此题总分值6 分 )【解析】由 zf (u) 可得zf(u)u ,zf (u)u .xxyy在方程 uxp(t )dt 两边分别对x, y求偏导数,得(u)yu(u)up( x),u(u)up( y).xxyy所以u

22、1p(x), up( y) .x(u)y 1(u)于是p( y)zp( x)zp( x) p( y)p( x) p( y)f(u) 0 .xy1(u)1(u)五、 ( 此题总分值6 分 )【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘, 应该用分部积分法 .【解析】 方法 1: 因为xe x2 dxxd1x 分部积分xdx(1exeex1ex)11专业资料整理WORD格式x1 e x1exexx dxxx1x d(1 ex )1 e1 e1 exln(1ex )C ,专业资料整理WORD格式xx所以xe x)2 dxlimxexln(1ex )ln 2.0(1ex1 e而limxe*

23、ln(1ex)limxe*lnex (1e x )x1ex1elimxe*xln(1e x )x1e专业资料整理WORD格式11专业资料整理WORD格式limx0 0 ,1exx故原式 ln 2 .方法 2:xe x2 dxxex2 dxxd10 (1 ex)xx0(1 e )01 exdxdxe xx dx1 exxx1 e001 e0 1 e01xd (1 e x )ln(1 e x )ln 2.01e0六、 ( 此题总分值 5分 )【分析】由结论可知, 假设令(x)xf (x) ,那么(x)f ( x)xf ( x) .因此,只需证明(x) 在0,1 内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解

24、析】令( x)xf ( x) ,由积分中值定理可知, 存在(0, 1) ,使2111(),2 xf (x)dx2 (x)dx00211由条件 ,有 f (1)2 2 xf ( x)dx()( ),于是202(1)f (1)(),且 ( x) 在 (,1) 上可导,故由罗尔定理可知, 存在(,1)(0,1), 使得( )0, 即 f ( )f ( )0.【相关知识点】 1. 积分中值定理：如果函数f (x) 在积分区间 a, b 上连续,那么在 a,b 上至少存在一个点,使下式成立：bf ()(ba)ab .f ( x)dxa这个公式叫做积分中值公式.2. 罗尔定理：如果函数f ( x) 满足(

25、1) 在闭区间 a, b 上连续；(2) 在开区间 a,b 内可导；专业资料整理WORD格式12专业资料整理WORD格式(3)在区间端点处的函数值相等, 即f (a)f (b) ,那么在a,b内至少有一点(ab),使得 f0 .七、 ( 此题总分值 6分 )【分析】利用函数的单调性的判定, 如果在x的某个区间上导函数fx0 ,那么函数 f x单调递增 , 反之递减 .【解析】 (1) 设售出商品的销售额为R ,那么aabcpb2RpQp(.pbc), R ( p)pb2令 R0, 得p0abbb (abc)0.cc当 0pb (abc) 时,R0 ,所以随单价p 的增加,相应销售额 R 也将增加.c当 pb (abc ) 时,有 R0 ,所以随单价 p 的增加,相应销售额 R 将减少.c(2) 由 (1)可知 , 当pb ( abc) 时,销售额R取得最大值,最大销售额为cRmaxabbac(abc)2 .cabc八、 ( 此题总分值 6分 )【解析】令 zy, 那么dyzx dz.xdxdx当 x0 时,原方程化为 zx dzz1z2, 即dzdx ,其通解为dx1 z2xln( z1z2 )ln xC1或 z1z2C .x代回原变量 , 得通解yx2y2C ( x0) .当 x0 时,原方程的