《概率论与数理统计》习题二答案

1、WORD格式"概率论与数理统计"习题及答案习题二1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1， 2， 3， 4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的3 只球中的最大，写出随机变量X 的分布律 .【解】X3,4,5P( X3)10.1C53P( X4)30.3C 53P( X5)C 420.6C53故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在 15 只同类型零件中有 2只为次品，在其中取3 次，每次任取1 只，作不放回抽样，以 X 表示取出的次品个数，求： 1 X 的分布律； 2 X 的分布函数并作图；(3)P X1, P1 X3, P1X3, P1 X 2 .222【解

2、】X 0,1,2.P( X0)C13322 .C33515P( X1)C12C13212 .C15335P( X2)C1311C153.35故 X 的分布律为X012P22121353535专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式（ 2 当 x<0 时， F x =P X x =0当 0x<1 时， F x =P X x =P(X=0)= 2235当 1x<2 时， F x =P X x =P(X=0)+ P(X=1)= 3435当 x2 时， F x =P Xx =1故 X 的分布函数0,x022 ,0x1F (x)3534 ,1x2351,x2(3)P( X1

3、)F (1)22 ,2235P(1X33) F(1)34340)F (353522P(1X3)P( X1) P(1 X3 )122235P(1X2)F (2)F(1) P(X2)34110.35353.射手向目标独立地进展了3 次射击，每次击中率为0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3 次射击中至少击中2 次的概率 .【解】设 X 表示击中目标的次数.那么 X=0， 1， 2， 3.P(X0)(0.2)30.008P(X1)C31 0.8(0.2)20.096P(X2)C32 (0.8) 2 0.2 0.384P(X3)(0.8)30.512故 X 的分布律为X012

4、3P0.0080.0960.3840.512分布函数0,x00.008,0x1F (x)0.104,1x20.488,2x31,x3P( X2)P(X 2)P( X3)0.896专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式4. 1 设随机变量X 的分布律为kP X=k= a，k!其中 k=0， 1， 2，, ， 0为常数，试确定常数 a.2 设随机变量 X 的分布律为P X=k= a/N，k=1， 2， , ， N，试确定常数 a.【解】 1 由分布律的性质知k1P( Xk)ak!a ek 0k0故ae(2) 由分布律的性质知1NP( XNaak)Nk1k1即a1.5.甲、乙两人投篮，投

5、中的概率分别为0.6,0.7,今各投3 次，求： 1 两人投中次数相等的概率 ; 2 甲比乙投中次数多的概率 .【解】 分别令 X、Y 表示甲、乙投中次数，那么Xb 3， 0.6 ,Yb(3,0.7)(1)P( XY)P(X0,Y0)P( X1, Y1)P( X2,Y2)P( X3,Y3)(0.4)3 (0.3)3C130.6(0.4)2 C31 0.7(0.3)2+C32 (0.6)2 0.4C32 (0.7)2 0.3(0.6)3 (0.7)30.32076(2)P( XY)P(X1, Y0)P( X2,Y0)P( X3,Y0)P( X2,Y1)P( X3,Y1)P(X3,Y2)C13 0

6、.6(0.4)2 (0.3)3C32 (0.6)2 0.4(0.3)3(0.6)3 (0.3)3C32 (0.6)2 0.4C13 0.7(0.3)2(0.6)3 C31 0.7(0.3)2(0.6)3 C32 (0.7)2 0.3=0.243专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式6.设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的 .试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】 设 X 为某一时刻需立即降落的飞机数，那么Xb(200,0

7、.02) ，设机场需配备N 条跑道，那么有P( XN )0.01200即C200k(0.02) k (0.98) 200 k0.01k N 1利用泊松近似np2000.02 4.P(X N)e 4 4k0.01k N 1k !查表得 N9.故机场至少应配备9 条跑道 .7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001, 在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少利用泊松定理？【解】 设 X 表示出事故的次数，那么Xb 1000， 0.0001P(X2)1P(X0)P(X1)1 e 0.1 0.1 e 0.18.在五

8、重贝努里试验中成功的次数X 满足 P X=1= P X=2 ，求概率 P X=4.【解】 设在每次试验中成功的概率为p，那么C51 p(1p) 4C52 p2 (1p) 3故p1314 210所以4P(X 4)C5 (3)3243.9.设事件 A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当 A 发生不少于3 次时，指示灯发出信号，1进展了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；2进展了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】 1 设 X 表示 5 次独立试验中A 发生的次数，那么X6 5， 0.35C 5k (0.3) k (0.7) 5kP(X 3)0.16308k 3(2) 令 Y

9、 表示 7 次独立试验中A 发生的次数，那么Yb 7， 0.37C7k (0.3) k (0.7) 7kP(Y 3)0.35293k3专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为 1/2t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关时间以小时计. 1 求某一天中午12 时至下午3 时没收到呼救的概率； 2 求某一天中午12 时至下午5 时至少收到1 次呼救的概率 .35【解】 1P( X0)e 2(2)P( X1) 1P(X 0) 1e 211.设 P X=k= C2kpk(1p)2 k, k=0,1,2P Y=m= C4mp

10、m(1p)4m ,m=0,1,2,3,4分别为随机变量X， Y 的概率分布，如果P X 1=5，试求 P Y 1.9【解】 因为 P( X1)54，故 P(X 1).99而P( X1)P(X 0)(1p) 2故得(1p)24 ,9即p1 .365从而P(Y1)1 P(Y0)1(1p) 40.802478112.某教科书出版了2000 册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000 册书中恰有 5 册错误的概率 .【解】 令 X 为 2000 册书中错误的册数，那么Xb(2000,0.001). 利用泊松近似计算 ,np20000.001 2得P( X5)e 2 250.00185

11、!13.进展某种试验， 成功的概率为3 ，失败的概率为1.以X表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.【解】 X1,2, k,P(X k)( 1)k 1 344P(X 2)P(X 4)P( X 2k)13(1)3 3( 1)2k 1 3444444专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式31144 1(1)25414.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1 月 1 日须交 12 元保险费， 而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金 .求： 1 保险公

12、司赔本的概率 ; 2 保险公司获利分别不少于10000 元、 20000 元的概率 .【解】 以“年为单位来考虑 . 1 在 1 月 1 日，保险公司总收入为2500× 12=30000 元 .设 1 年中死亡人数为 X，那么 Xb(2500,0.002) ，那么所求概率为P(2000 X30000)P( X15)1P( X14)由于 n 很大， p 很小，=np=5，故用泊松近似，有14e 55kP( X15)10.000069k0k !(2) P(保险公司获利不少于 10000)P(30000 2000 X10000) P( X10)10 e5 5k0.986305k 0k !即

13、保险公司获利不少于10000 元的概率在98%以上P保险公司获利不少于20000P(300002000 X20000) P( X 5)5e5 5k0.615961k !k0即保险公司获利不少于20000 元的概率约为 62%15.随机变量X 的密度函数为f(x)=Ae |x|,<x<+ ,求： 1 A 值； 2 P0< X<1;(3)F(x).【解】 1 由f ( x)dx 1得1Ae |x|dx20Ae x dx2A故1A.2(2)p(0X 1)11xdx1e1)2e(102(3)当 x<0 时，F ( x)x 1 xdx1xe2e2专业资料整理WORD格式6专

14、业资料整理WORD格式当 x 0 时，F ( x)x 1|x|0 1 xx 1xdxedxe dxe220211 ex21 ex,x0故F ( x)211 e * 0216.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为100 ,x100,f(x)=x20,x100.求： 1 在开场 150 小时内没有电子管损坏的概率；（ 2 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（ 3 F x .【解】1P( X150)150 1001100 x2dx.3p1P( X150) 3( 2)38p2 C311 ( 2) 24327(2)339(3)当 x<100 时 F x=0xf (t

15、)dt当 x 100 时F ( x)100f (t )dtxf (t)dt100x 100dt100100t21x1100100故F ( x)x, x0,x 017.在区间 0， a上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在0， a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数 .【解】由题意知 X 0, a，密度函数为10 xaf ( x),a0,其他故当 x<0 时 F x =0当 0 x a 时F ( x)xxx 1xf (t )dtf (t)dt0 adt0a专业资料整理WORD格式7专业资料整理WORD格式当 x>a 时， F x =1即分布

16、函数0,x0F ( x)x ,0 xaa1,xa18.设随机变量X 在 2， 5上服从均匀分布 .现对 X 进展三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3的概率 .【解】 XU 2,5 ，即12 x5f ( x),30,其他P( X3)5 12dx33 3故所求概率为p C32 ( 2 )21C33( 2)3203332719.设顾客在某银行的窗口等待效劳的时间X以分钟计 服从指数分布E (1) .某顾客在窗口5等待效劳， 假设超过 10 分钟他就离开 .他一个月要到银行5 次，以 Y 表示一个月内他未等到效劳而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P Y 1.【解】 依题意知 X E(1)

17、 ，即其密度函数为5xf ( x)1e 5,x05x00,该顾客未等到效劳而离开的概率为xP( X 10)1 e 5dxe 210 5Y b(5,e 2 ) ,即其分布律为P(Yk)C5k (e 2 )k (1e 2 )5 k , k 0,1,2,3, 4,5P(Y1)1 P(Y 0)1 (1 e 2 )50.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从 N 40， 102；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从 N50， 42 .（ 1假设动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（ 2 又假设离火车开车时间只有

18、 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】 1假设走第一条路， XN 40， 102，那么专业资料整理WORD格式8专业资料整理WORD格式P( X60)Px406040(2)0.977271010假设走第二条路， XN 50， 42，那么P( X60)PX506050(2.5)0.9938 +44故走第二条路乘上火车的把握大些. 2假设 XN40， 102，那么P( X45)PX404540(0.5)0.69151010若 XN 50， 42，那么P(X45) PX 5045 50( 1.25)441(1.25)0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN3， 22，

19、1 求 P2< X5 ， P4<X10 ， P X 2 ， P X 3;（ 2 确定 c 使 P Xc= P X c.专业资料整理WORD格式【解】 1P(2X5)P23X353专业资料整理WORD格式222(1)1(1)11220.841310.69150.5328P(4 X10)43X 3103P2227720.99962P(|X|2)P( X2)P( X2)X323X32 3PP222211515222120.691510.99380.6977专业资料整理WORD格式9专业资料整理WORD格式X 33-30.5P(X 3) P(2)1(0)2(2) c=322.由某机器生产的

20、螺栓长度cmXN 10.05,0.062,规定长度在10.05±0.12 内为合格品 ,求一螺栓为不合格品的概率 .【解】 P(| X 10.05| 0.12)PX 10.050.120.060.061(2)(2)21(2)0.045623.一工厂生产的电子管寿命X小时服从正态分布2，假设要求 P120 X 200N 160， 0.8，允许最大不超过多少？【解】 P(120 X 200)P120160X160200 160专业资料整理WORD格式故24.设随机变量X 分布函数为4040400.8214031.251.29专业资料整理WORD格式A Be xt ,x0,F x =x(0

21、),0,0.（ 1 求常数 A，B；（ 2 求 P X2 ，P X3；（ 3 求分布密度 f x.limF ( x)1A1【解】 1由x得lim F ( x)lim F ( x)B1x 0x02P( X2)F(2) 1e 2P( X3)1F (3)1(1e 3 )e 3(3) f ( x)F (x)e x ,x00,x025.设随机变量 X 的概率密度为x,0x1,f x =2x,1x2,0,其 他.求 X 的分布函数F x，并画出f x及 F x .专业资料整理WORD格式10专业资料整理WORD格式【解】 当 x<0 时 F x =0当 0x<1 时F ( x)xtdt0当 1

22、x<2 时F ( x)x0xf (t )dtf (t )dtf (t )dt0x22xf (t )dt01x专业资料整理WORD格式f (t )dtf (t)dtf (t)dt011xt )dttdt(20 11 x2 32x2 2 2x212x2当 x2 时F ( x)x1f (t )d t专业资料整理WORD格式0,x0x2,0x1故F ( x)2x22x1,1x221,x226.设随机变量 X 的密度函数为 1 f(x)=ae|x|, >0;bx,0x1,(2)f(x)=1 ,1x2,x20,其他.试确定常数 a,b，并求其分布函数F x .【解】 1 由f ( x)dx1知

23、1ae|x|dx2aexdx0故a22ex ,即密度函数为f (x)2e x当 x 0 时F ( x)xxexdx1 exf (x)dx222 ax 0x 0专业资料整理WORD格式11专业资料整理WORD格式当 x>0 时F (x)x0e xdxxe xdxf ( x)dx1 ex20212故其分布函数11 ex ,x0F ( x)21 ex,x02(2) 由1f ( x)d x121b1bxdxx2 dx2201得b=1即 X 的密度函数为x,0x1f (x)11x2x2 ,0,其他当 x 0 时 F x =0xf ( x)dx0x当 0<x<1 时F ( x)f (x)

24、dxf (x)dx0x x2xdx0 2当 1x<2 时F ( x)x01x1f ( x)dx0dxxdxx2 dx31012 x当 x 2 时 F x =1故其分布函数为0,x0x20x1,F ( x)231 , 1x22x1,x227.求标准正态分布的上分位点，（ 1 =0.01，求z ; 2=0.003，求z，z/ 2 .【解】 1P( Xz )0.01专业资料整理WORD格式12专业资料整理WORD格式即1( z )0.01即( z ) 0.09故z2.332 由P(Xz ) 0.003得1(z )0.003即( z ) 0.997查表得z2.75由P( X z /2 )0.00

25、15得1( z /2 )0.0015即( z /2 )0.9985查表得z / 22.9628.设随机变量X 的分布律为X21013Pk1/51/61/51/1511/30求 Y=X2的分布律 .【解】 Y 可取的值为0， 1， 4， 9P(Y0)P( X0)15P(Y1)P( X1171) P(X 1)15306P(Y4)P( X12)5P(Y9)P( X3)1130故 Y 的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/3029.设 P X=k=(1)k, k=1,2,令2Y1,当 X 取偶数时1,当X取奇数时 .专业资料整理WORD格式13专业资料整理WORD格式求随机变量X 的函数

26、Y 的分布律 .【解】 P(Y1)P( X2)P(X4)P( X2k )( 1)2( 1)4( 1)2 k222( 1) /(11)1443P(Y21) 1 P(Y 1)330.设 XN0， 1 .（ 1 求 Y=eX的概率密度；（ 2 求 Y=2X2+1 的概率密度；（ 3 求 Y= X的概率密度 .【解】 1 当 y 0 时，FY(y)P(Yy)0当 y>0 时，( )()(ex)(ln)y P XyFY y P Y y Pln yf X (x)dxfY( y)dFY ( y)11 1eln2 y / 2故dyyf x (ln y), y 0y2(2) P(Y2X 211)1当 y 1 时()()0FYyP Yy当y>1时 FY ( y)P(Yy)P(2X21y)P X 2y 1Py 1Xy 1222( y1)/ 2fX ( x)