专题数列求通项公式常见问题及方法二课后练习

1、(二) 课后练习专题 数列求通项公式常见问题及主讲教师：数学高级教师+ 2 , n Î N * ，求数列a 的通项公式.= an题一：设a 满足 a = 1, an+1n1nanSn题二：若数列 a 中，a =1，S 是数列 a 的前n 项之和，且 S=(n ³ 1)，求数列 a n+1n1nnn3 + 4Sn的通项公式是 an .题三：设正项数列a 满足a = 1 ， a = 2a 2 (n2).求数列a 的通项公式.n-1n1nna 2： a1 = 2a, an+1 = 2a - a , a ¹ 0 ，求数列an 的通项公式.题四：数列an 满足下列n5an

2、+ 4题五： 设数列an满足 a1 = 2, an+1 = 2a + 7 ，求an的通项公式.na 2 + 2题六：已知数列a 中， a = 2, a= n, n Î N * ，求数列a 的通项.n+1n1n2an题七：在数列 an 中， a1 = -1, a2 = 2 ，当n Î N ， an+2 = 5an+1 - 6an .求通项公式an .题八：在数列 a 中， a = 3 ， 2a - a=6 n - 3 .求通项公式a .nn-1n1n2题九：已知 an+1 = nan + n - 1, a1 > -1,求数列an的通项公式.a 4 + 6a+ 12题十：

3、已知 a > 0, a ¹ 1且 a= nn，求数列a 的通项.n+1n114a (a 2 + 1)nn第 - 1 - 页(二)专题 数列求通项公式常见问题及课后练习参考2n+1 + (-1)n题一： an =.- (-1)n2n详解：作函数 f (x) = x + 2 ，解方程 f (x) = x 求出不动点 p = 2, q = -1，于是xan+1 - 2an + 2 - 2anan - 2an - 2a1 - 2111= -×= (- )×2n-1= (- ) 2n，逐次迭代得an+1 + 1an + 2 + an2 an + 1an + 1a1 +

4、 12n+1 + (-1)n由此an =.- (-1)n2nìï1(n = 1).(n ³ 2)- 2 × 3nan = í题二：ïî32n- 8 × 3n + 12Sn11详解：递推式 S= 3 ×+ 4可变形为(1)n+13 + 4SSSn+1nn11+ l = 3(+ l)Sn设(1)式可化为(2)Sn+111Sn11比较(1)式与(2)式的系数可得 l = 2 ，则有+ 2 = 3(+ 2) .故数列+ 2 是以+ 2 = 3 为首项，3Sn+1S1Sn11为公比的等比数列.+ 2 = 3 

5、15; 3n-1 = 3n .所以 S =.n3n - 2Sn- 2 × 3n11当 n ³ 2 ， an = Sn - Sn-1=3n - 23- 23- 8 × 3 + 12-=.n-12nnìï1(n = 1) (n ³ 2) .数列 an 的通项公式是 an = í- 2 × 3nïî32n- 8 × 3n +122n-1-1an = 2题三：详解：两边取对数得： logan = 1 + 2logan-1 ， logan + 1 = 2(logan-1 + 1) ，2222设b

6、 = logan +1，则 b = 2bn-1n2n b是以 2 为公比的等比数列， b = log1 +1 =1n12第 - 2 - 页b =1´ 2n-1 = 2n-1 ， logan +1 = 2n-1 ， logan = 2n-1 -1，n2n-1-1 an = 222a题四： an = a + n .a 2详解：作函数 f (x) = 2a -，解方程 f (x) = x 求出不动点 p = a ，于是x111an11=+.a- aa 2a 2ana(a - a)a - aa2a - aa -ann+1nn所以 1 是以1= 1 为首项，公差为 1 的等差数列.an - a

7、a1 - aaa11+ (n - 1) × 1 = 1 + (n - 1) × 1 = n ，所以 a = a + a .=所以na - aa - aaaaann14 × 3n-1 + 2.4 × 3n-1 - 1题五： an =详解：对等式两端同时加参数 t，得：+ 7t + 4a+ 4 + t = (2t + 5)an + 7t + 4 = (2t + 5)a+ t = 5ann2t + 5，n+12a + 72a + 72a + 7nnn7t + 4an + t令t =，2t + 5代入 an+1 + t = (2t + 5) 2a解之得 t=1

8、或 2得+ 7n- 1an + 2anan+1 - 1 = 3 2a + 7 ， an+1 + 2 = 9 2a，+ 7nnan+1 - 1an - 1an - 1a1 - 111=×=，即是首项为相除得an+1 + 23 an + 2an + 2a1 + 24a - 14 × 3n-1 + 2111-n n=× 3，a =公比为 的等比数列，3.na + 244 × 3n-1 - 1nn -12)2n -12)2(2 + (2 -a=2 ×nn -12)2n -12)2题六：(2 +x2 + 2- (2 -.详解：作函数为 f (x) =，解

9、方程 f (x) = x 得f (x) 的两个不动点为±2 .2x第 - 3 - 页2a+ 2 n-22a-2a+ 2 - 2 2aa -22a n+1=n= nn = ( n)2.22a+2a+ 2a+ 2 + 2 2aa +2n+1 n+2an2nnn再经过反复迭代，得an -2 )2n -1 = ( 2 -2= ( an-12 )2= ( an-22 )22= × × × × ×× = ( a12 )2n -1an +a1 +2 +2an-12an-2222.n -12)2n -12)2(2 + (2 -a=2 

10、15;nn -12)2n -12)2由此(2 +- (2 -.n-1n-1题七： an = 4 × 3- 5 × 2.详解： an+2 = 5an+1 - 6an 可化为： an+ 2 + lan+1比较系数得 l =3 或 l =2，= (5 + l)(an+1 + lan )当 l =2 时. an+2 = 5an+1 - 6an 可化为： an+ 2 - 2an+1 = 3(an+1 - 2an )则an+1 - 2an 是一个等比数列，首项 a2 - 2a1 =22(1)=4，公比为 3.n-1 an+1 - 2an = 4 × 3.当 l =3 时. a

11、n+2 = 5an+1 - 6an 可化为： an+2 - 3an+1 = 2(an+1 - 3an )， 则an+1 - 3an 是一个等比数列，首项 a2 - 3a1 = 2 - 3´(-1) = 5 ，公比为 2.n-1n-1n-1 an+1 - 3an = 5´ 2.由 an+1 - 2an = 4 × 3和 an+1 - 3an = 5´ 2n-1n-1an = 4 × 3- 5 × 2.1题八： an = 9 × ( 2) + 6n - 9 .n详解： 2an - an-1 =6 n - 3 式可化为： 2(an

12、 + l1n + l2 ) = an-1 + l1 (n -1) + l2比较系数可得： l1 =6， l2 = 9 ，则令式为 2bn= bn-1是一个等比数列，首项b = a - 6n + 9 = 9 ，公比为 1 .b n11229 111 bn =( )n-1即 an - 6n + 9 = 9 × ( )故 an = 9 × ( ) + 6n - 9 .nn2 222，第 - 4 - 页题九： an = (n -1)!×(a1 + 1) 1.详解：因为 an+1 = nan + n - 1, 所以 an+1 + 1 = nan + n, 故 an+1 +

13、1 = n(an + 1),又因为 a1 > -1,即 a1 + 1 > 0 ，所以由上式可知 a + 1 > 0 ,所以 an+1 + 1 = n ,na + 1nan + 1an-1 + 1a3 + 1 a2 + 1故由累乘法得 an + 1 = a××L××× (a1 + 1)+ 1+ 1a2 + 1 a1 + 1an-2n-1= (n -1) × (n - 2) ×L× 2 ×1× (a1 + 1) = (n -1)!×(a1 + 1) .所以 an = (n -1)!×(a1 + 1) -1.n -1n -1(a + 1)+ (a- 1)44a= 11n.题十：n -1+ 1)4n -1- 1)4- (a(a112+ 1，解方程 f (x) = x 得 f (x) 的不动点为详解：作函数为 f (+ 1)4x(x= -3 i, x =3 i .取 p = 1, q = -1，作如下代换：3433a 4 + 6a 2 + 1 nn+ 1a+