求数列通项公式an的常用方法

1、专题：求数列通项公式an 的常用方法一.递推数列求通项问题一观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。例 1已知数列 1， 1 ，5，13，29 ，61写出此数列的一个通项公式。248163264解观察数列前若干项可得通项公式为an( 1) n 2n32 n二、 公式法1 运用等差（等比）数列的通项公式.2 已知数列 an 前 n 项和 Sn ，则 anS1n1（注意：不能忘记讨论 n1 ）SnSnn12例 2已知数列 an的前 n 和 Sn 满足 log 2 ( Sn1)n1,求此数列的通项公式。解得 S2 n 11，当n

2、1 时 a13,当 n2 时 anSS2n 1 2n2 nnnn 1所以 an3n(n1)2(n2)三 . an 1anf (n) （ f n 可以求和）解决方法累加法例 3、在数列a中，已知 a1 =1，当 n2 时，有 anan 12n1n 2 ，求数列的n通项公式。解析： Q anan 12n1(n2)a 2a 13上述 n1个等式相加可得：a 3a 25.a na n 12 n1ana1n2 1ann2练习： 1、已知数列an， a1 =2， an 1 = an+3 n +2，求 an 。2、 已知数列an满足 a11, an3n1an 1 n2 , 求通项公式 an3、若数列的递推公

3、式为a3, an 1a2 3n1 (nN * ) ，则求这个数列的通项公式1n4. 已知数列an 满足a11, 且an 1an1，则求这个数列的通项公式n(n1)四. an 1解决方法f (n) an （ f ( n) 可以求积）累积法例 4、在数列 an中，已知 a11, 有 nan 1n1 an ，( n 2 )求数列 an的通项公式。解析：原式可化为a nna n 1n1an1n1a n2n.a223a1ananan 1 an 2 La3 a2 a1an 1 an 2 an 3a2 a1nn1n2L32121n1nn143n又 Q a1 也满足上式；ann2( nN * )1练习： 1、

4、已知数列 an满足 a1 2， an1nan ，求 an 。3n12、已知 a11, ann(an 1an ) (nN*),求数列a n通项公式 .3、已知数列a满足 a11, an 12n an ，求通项公式 ann五 an 1AanB(其中 A,B为常数 A0,1 ）解决方法待定常数法可将其转化为 an1tA(ant ) ，其中 tB，则数列 an t为公比等于 AA1的等比数列，然后求an 即可。例 5在数列 an中，a11，当 n解析：设 a t3 at，则 annn 1t1，于是 an13 an 1 1an1 是以 a112 为首项，以an2 3n 112 时，有 an3an 12

5、，求数列an 的通项公式。3an 12t3 为公比的等比数列。练习： 1、在数列 an中，a11， an 1 2an3 ，求数列 an的通项公式。2、已知 a12 ， an 14an2n 1，求 an 。3、已知数列 a 满足 a12, an 12an(2 n 1) ，求通项 ann4.已知数列 an 满足 a n13a n52 n4，a11 ，求数列 an 的通项公式。六 an 1c an（ cp d0）解决方法倒数法pan d例 6 已知 a14 ， an 12 an ，求 an 。2an1111，设111 ；解析：两边取倒数得：an2anbn , 则 bn 1bn1an2令 bn 1t1(bnt) ；展开后得， t2 ；bn 121；2bn22bn2 是以 b12127为首项，1 为公比的等比数列。a1427n117n 12n1bn2121，得 an42；即an422n 2；7练习： 1、设数列 an 满足 a12, an1an,求 an