高等数学（9）向量值函数的积分 - 简化版

1、第八章第八章 向量值函数的向量值函数的 曲线与曲面积分曲线与曲面积分1.向量值函数在有向曲线上的积分；向量值函数在有向曲线上的积分；2.格林公式，格林公式， 平面曲线积分与路径无关的条件；平面曲线积分与路径无关的条件；3.向量值函数在有向曲面上的积分；向量值函数在有向曲面上的积分；4.高斯公式与斯托克斯公式；高斯公式与斯托克斯公式；5.场论简介场论简介8.1.向量值函数在有向曲线上的积分向量值函数在有向曲线上的积分1.向量场概念；向量场概念；2.第二型曲线积分的概念；第二型曲线积分的概念；3.第二型曲线积分的计算。第二型曲线积分的计算。8-1: 1(1，3，5，7);2(2);4(3); 6;

2、78-2: 1(1); 2(2); 3; 4; 5(2，4); 6; 8(2，3);9第八章第八章 第一二节作业题第一二节作业题1.向量场概念向量场概念（1）第二型曲线积分的常见形式）第二型曲线积分的常见形式- 当当L是一条平面或空间曲线，分别有如下积分符号：是一条平面或空间曲线，分别有如下积分符号：( , , )( , , )( , , )Lf x y z dxg x y z dyh x y z dz ( , )( , )Lf x y dxg x y dy 那么，这样的积分符号表达的是什么意思呢？那么，这样的积分符号表达的是什么意思呢？它们又是怎样计算的呢？它们又是怎样计算的呢？（2）第二型

3、曲线积分的向量表示：引入向量符号）第二型曲线积分的向量表示：引入向量符号（1）（2）TyxgyxfyxF),(),(),( (,)Tdsdx dy ；这样形式的积分被称作第二型曲线积分。这样形式的积分被称作第二型曲线积分。则（则（1）式的积分可以记为）式的积分可以记为sdyxFL ),( 类似，积分（类似，积分（2）也可以表示为三维向量（值函数）也可以表示为三维向量（值函数）内积的积分。内积的积分。（3） 如上可以看出，第二型曲线积分与向量值函数有关。如上可以看出，第二型曲线积分与向量值函数有关。 从物理学的角度看，此类积分与从物理学的角度看，此类积分与“场场”的概念有密切的概念有密切的关系。

4、的关系。（3）“场场”的概念的概念- 在物理学中，经常遇到各种所谓的在物理学中，经常遇到各种所谓的“场场”，比如说，比如说“磁场磁场”、“引力场引力场”、“流速场流速场”等等。从物理等等。从物理学的角度讲，所有的场，其共同点是：学的角度讲，所有的场，其共同点是：在空间（三维的或二维）的每一个点处，都对应着一在空间（三维的或二维）的每一个点处，都对应着一个确定的数值或向量，前者称为数量场，后者称为向个确定的数值或向量，前者称为数量场，后者称为向量场（如果数值有正有负，也可以看做一维向量场）。量场（如果数值有正有负，也可以看做一维向量场）。 从数学的角度讲从数学的角度讲，所有的这些，所有的这些“场

5、场”，都是函数，都是函数。 平面或空间平面或空间数量场（标量场数量场（标量场-仅取非负数值或等同于仅取非负数值或等同于非负数值）非负数值），可以分别看做二元或三元数量值函数；，可以分别看做二元或三元数量值函数；平面或空间向量场，分别是二元或三元的向量值函数平面或空间向量场，分别是二元或三元的向量值函数（映射）。（映射）。因为力是向量，所以力场显然是向量场。因为力是向量，所以力场显然是向量场。 引入第二型曲线积分的一个基本问题是关于力场作功引入第二型曲线积分的一个基本问题是关于力场作功的计算问题。的计算问题。（4）准备知识准备知识-曲线的曲线的切向量切向量与与有向弧微元有向弧微元 给定空间或平面

6、的参数曲线给定空间或平面的参数曲线( ):( ) ;( )xx tsyy tzz t 或或( ):.( )xx tsyy t 根据定义，我们知道向量根据定义，我们知道向量 ( )( ),( ), ( ) ;Te tx ty tz t ( )( ),( ).Te tx ty t 或或 是曲线在点是曲线在点 （或（或 ）处的）处的切向量。参数增加对应于曲线长度增加，所以切向切向量。参数增加对应于曲线长度增加，所以切向量量也指向参数增加对应的方向也指向参数增加对应的方向 。( ( ), ( ), ( )x ty tz t( ( ), ( )x ty t( )e tt 考虑向量考虑向量 ，定义，定义

7、s( ( ), ( ), ( )Tx ty tz t( ( +), ( +), ( +)Tx tty ttz tt的近似，其几何表示是曲线切线的一个线段。记的近似，其几何表示是曲线切线的一个线段。记 222( )( ),( ), ( )( ),( )( )( )( ( )Te tx ty tz te te tx ty tz t 注意到弧微分注意到弧微分 ，即有，即有 dttztytxds222)()()( ( )dse tt( )( )(,) ,dse tte t dsdx dy dz 它被称为曲线的它被称为曲线的有向弧微元有向弧微元。它是曲线上割向量。它是曲线上割向量 易知该向量的分量是切线

8、段在对应坐标抽上的投影。易知该向量的分量是切线段在对应坐标抽上的投影。 2.第二型曲线积分的概念第二型曲线积分的概念（1）引例）引例 一运动质点在一个力场中从一运动质点在一个力场中从A点运动到点运动到B点，其运点，其运动轨迹是一曲线动轨迹是一曲线L，求力场对该质点所做的功。，求力场对该质点所做的功。 假设向量值函数（力场）是常值函数，所求为一内假设向量值函数（力场）是常值函数，所求为一内积。但是如果向量值函数不是常值函数，即在空间或积。但是如果向量值函数不是常值函数，即在空间或平面上不同的点所对应的向量（力）大小和方向也是平面上不同的点所对应的向量（力）大小和方向也是不同的，那么所求的功，可以

9、考虑如下合理的近似计不同的，那么所求的功，可以考虑如下合理的近似计算方式：算方式：（i）分割运动轨迹为若干小段；）分割运动轨迹为若干小段；（ii）先做每小段的近似计算（替代）先做每小段的近似计算（替代-也是向量内积）；也是向量内积）；（iii）将所有各个小段上的近似值做和（称为积分和）；）将所有各个小段上的近似值做和（称为积分和）；（iv）求分割无限加细的时候，上述积分和的极限。）求分割无限加细的时候，上述积分和的极限。isisPFi )(lim0即即该式便是第二型曲线积分（该式便是第二型曲线积分（1）或（）或（2）的定义式。）的定义式。（4）（2）第二型曲线积分的定义及其符号表示的说明）第二

10、型曲线积分的定义及其符号表示的说明（i）有向曲线弧段有向曲线弧段-起始点与终点起始点与终点（注：如果用参数（注：如果用参数表示，这里暂时先表示，这里暂时先约定约定参数增加对应曲线的正方向）。参数增加对应曲线的正方向）。L L 如果如果 表示一条有向曲线，则表示一条有向曲线，则 表示与表示与 取向相反取向相反的曲线。的曲线。 L（ii）曲线有向分划，）曲线有向分划，“微小位移向量微小位移向量”与位移微分：与位移微分：， ),(iiiizyxs., 2 , 1ni 空间曲线分割点表示：空间曲线分割点表示：(,)iiisx y，平面曲线分割点表示：平面曲线分割点表示：., 2 , 1ni 下面以空间

11、曲线为主，约定有向曲线段的起始点为下面以空间曲线为主，约定有向曲线段的起始点为),(),(111 iiiiiiTiiiizzyyxxzyxs在这里我们称为在这里我们称为“微小位移向量微小位移向量”。有向弧微元，或有向弧微元，或0000(,)sxy zA；终点为；终点为(,)nnnnsxyzB。集合集合 称为有向曲线段称为有向曲线段L的一个有向分划（分割）。的一个有向分划（分割）。 并且，并且， 从从 到到 的指向与弧段的定向一致，则分割点的指向与弧段的定向一致，则分割点1 isis记记),(dzdydxsd （iii）空间有向曲线段上的）空间有向曲线段上的第二型曲线积分第二型曲线积分定义：定义

12、：isisPFi )(lim0TzyxhzyxgzyxfzyxF),(),(),(),( 设设或表示为或表示为( , , )( , , )( , , )( , , )F x y zf x y z ig x y z jh x y z k L 是定义在三维空间某个区域中的向量值函数，是定义在三维空间某个区域中的向量值函数， 是在该是在该区域中的一条有向（从区域中的一条有向（从A到到B）曲线段。）曲线段。 表示该曲线的表示该曲线的有向分划，如果对于从有向分划，如果对于从 到到 的弧段上选取的任意点的弧段上选取的任意点 ，存在极限，存在极限1 isisiP称称位移微元位移微元为：为：0lim()iii

13、sF Ps sdzyxFL ),( , , )( , , )( , , )Lf x y z dxg x y z dyh x y z dz 记记称为有向曲线称为有向曲线L上的上的第二型曲线积分第二型曲线积分，并可记为，并可记为sdzyxFL ),(也称为也称为关于坐标的曲线积分关于坐标的曲线积分。注注1：如果是平面曲线，定义是类似的，但是坐标积：如果是平面曲线，定义是类似的，但是坐标积分的记法就是分的记法就是( , )LF x yds ( , )( , )Lf x y dxg x y dy 注注2：很显然，这个积分与曲线的定向是有关的。：很显然，这个积分与曲线的定向是有关的。（iv）第二型曲线积

14、分计算关键）第二型曲线积分计算关键-转化为第一型曲线积分转化为第一型曲线积分注意到注意到(,) =(,)(0)TTiiiiiiiiiiiiiixyzsxyzssssex y z dsds （,）（,）弧微分弧微分(,)iiiex y z 其中其中 是曲线在点是曲线在点 处的单位切向量。处的单位切向量。),(iiizyx因此因此0lim()()iiisF PeP ds isisPFi )(lim0dszyxezyxFL),(),( 第二个等号后面的式子，就是第一型曲线积分了。第二个等号后面的式子，就是第一型曲线积分了。注：这也是教材中所给出的定义，其中特别要求切向注：这也是教材中所给出的定义，其

15、中特别要求切向量的指向与曲线的定向一致。量的指向与曲线的定向一致。（v）曲线参数表示情况下的第二型曲线积分表达）曲线参数表示情况下的第二型曲线积分表达假设平面或空间曲线假设平面或空间曲线L,由如下参数表示由如下参数表示( )( ) ,( )xx tyy tzz t 则弧微分是则弧微分是222( )( )( ( )dsx ty tz tdt单位切向量为单位切向量为222( )( )( )( )( )( ( )x ty tz tx ty tz t（，）（，）AzyxT )(),(),( 并且并且（起点）（起点）( ( ), ( ), ( )Txyz B（终点）（终点）于是于是( , , )LF x

16、 y zds ( , , )( , , )( , , )Lf x y z dxg x y z dyh x y z dz dttztztytxhtytztytxgtxtztytxf)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 这个关系也提供了计算第二型曲线积分的主要方法。这个关系也提供了计算第二型曲线积分的主要方法。( , , )( , , )LF x y zex y z ds （3）基本性质）基本性质：（：（i）与函数的线性运算可交换；与函数的线性运算可交换；（ii）对曲线的可加性（与定向协调）；）对曲线的可加性（与定向协调）；（iii）相反定向曲线的第二型曲线积分值相反。）相

17、反定向曲线的第二型曲线积分值相反。（5）3.第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算 （1）前面给出的关系式（）前面给出的关系式（5），就是计算第二型），就是计算第二型曲线积分的基本公式。不难验证：曲线积分的基本公式。不难验证： 由参数表示的定积分中上、下限的大小，与第二型由参数表示的定积分中上、下限的大小，与第二型曲线积分的计算结果没有关系。曲线积分的计算结果没有关系。 第二型曲线积分仅与其定向有关，与参数表示形式第二型曲线积分仅与其定向有关，与参数表示形式无关。无关。 （2）如果平面有向曲线是函数曲线，比如可以由函）如果平面有向曲线是函数曲线，比如可以由函数数 或者或者 表示，则分别有表示

18、，则分别有)(xyy )(yxx ( , )( , )Lf x y dxg x y dy ( ( , ( )( , ( )( )baf x y xg x y xy x dx ( , )( , )Lf x y dxg x y dy ( ( ( ), )( )( ( ), )dcf x yx x yg x yy dy 注：注：上、下限分别对应曲线段的起点与终点。上、下限分别对应曲线段的起点与终点。附：回顾第二型曲线积分的计算公式附：回顾第二型曲线积分的计算公式( , )( , )Lf x y dxg x y dy ( ( , ( )( , ( )( )baf x y xg x y xy x dx

19、( , )( , )Lf x y dxg x y dy ( ( ( ), )( )( ( ), )dcf x yx x yg x yy dy dttztztytxhtytztytxgtxtztytxf)()(),(),()()(),(),()()(),(),( ( , , )( , , )( , , )Lf x y z dxg x y z dyh x y z dz （1）空间，或平面曲线由参数给出，则：）空间，或平面曲线由参数给出，则：（2）平面曲线是函数曲线）平面曲线是函数曲线 ， 则：则： )(xyy （3）曲线是函数曲线）曲线是函数曲线 ，则：，则：)(yxx ( ( ),( )( )(

20、 ( ),( )( )f x ty tx tg x ty ty tdt ( , )( , )Lf x y dxg x y dy 【例【例8-1】计算曲线积分】计算曲线积分 ，L为椭圆周为椭圆周x=acost，y=bsint上对应于上对应于t 从从0到到 的一段弧的一段弧 LxdyydxI2 【例【例8-2】设有一平面力场】设有一平面力场F(x,y)=(x+y,y-x)，一质点在，一质点在F(x,y)作用下运动，求下列情形下作用下运动，求下列情形下F(x,y)所作的功所作的功（1）质点从点）质点从点A(1,1)到点到点C(4,2)沿抛物线沿抛物线y2=x的一段弧；的一段弧； （2）质点从点）质点

21、从点A(1,1)到点到点C(4,2) 的直线段；的直线段；（3）质点从点）质点从点A(1,1)沿直线到点沿直线到点B(1,2)，再沿直线到点，再沿直线到点C(4,2) 的折线。（参见下面图示的折线。（参见下面图示8-2）C(4,2)OyxA(1,1)B(1,2)（图（图8-2）【例【例8-3】计算曲线积分】计算曲线积分 其中其中L是抛物面是抛物面 与平面与平面 z=3的交线，从的交线，从 z 轴正向往轴正向往负向看，其方向为逆时针这里积分号负向看，其方向为逆时针这里积分号 表示沿闭合表示沿闭合曲线曲线L积分积分,LIx y dxzdyydz 2323 224yxz L0(, )Lg xy dy

22、 ( , )( , )Lf x y dxg x y dy 注：如果在一段曲线注：如果在一段曲线L上某上某个坐标不变，比如说个坐标不变，比如说x不不变（恒为变（恒为 ），则关于），则关于x坐标的积分就是坐标的积分就是0，即，即0 x 接续【例接续【例8-3】 解：由已知，解：由已知，L的方程为的方程为 2243yxzz 消去消去z得得 3122zyx可设可设L的参数方程为：的参数方程为：x=cost，y=sint，z=3( ),所以所以 20 t2230cossin( sin )3cos0Ittttdt 224200sin(1sin)3costt dttdt 46204(sinsin)0tt d

23、t .8)264253124231( 4 【例【例8-4】设质点在力场】设质点在力场ykxjxyxyzizyxF22),( 作用下，求从原点作用下，求从原点O到点到点A(1,0,0)，再到点，再到点B(1,1,0)，最，最后到终点后到终点C(1,1,1)的折线所作功的折线所作功W（图（图8-3）（图（图8-3）OABCxyz讨论：主要分析场函数讨论：主要分析场函数和有向曲线微元的各分和有向曲线微元的各分量在每一段路线上的具量在每一段路线上的具体情况。往往可以简化体情况。往往可以简化积分式，易于计算。积分式，易于计算。 本题比较直接。但是也本题比较直接。但是也有典型意义。有典型意义。 接续【例接

24、续【例8-4】 解：有向线段解：有向线段OA的方程为的方程为 00zy x由由0变到变到1，因此，因此dy=0dx，dz=0dx，从而有，从而有有向线段有向线段AB的方程为的方程为1220(000)0.OAxyzdxxy dyx ydzdx 01zx y由由0变到变到1，因此，因此dx=0dy，dz=0dy，从而有，从而有有向线段有向线段BC的方程为的方程为 11yx z由由0变到变到1，因此，因此dx=0dz，dy=0dz，从而有，从而有12220(0011)1.BCxyzdxxy dyx ydzdx故故.3111310 W122201(010).3ABxyzdxxy dyx ydzydy

25、练习：计算下列曲线积分练习：计算下列曲线积分 （1） Ldyyxyxydx,)(其中其中 是从原点经由是从原点经由 L)2 , 0(P)2 , 2(Q到到 的一段折线。的一段折线。（2）,22 Ldyxxydx其中其中 是由是由x轴，轴，x=1,以及以及 L2xy 所围区域的边界线，按照逆时针方向定向。所围区域的边界线，按照逆时针方向定向。（3）(12)(cos),yyLxyedxyxedy 其中其中 是由点是由点A（-1,1），沿抛物线），沿抛物线 到原点，到原点，再沿再沿x轴到点轴到点B（2,0）。）。 2xy L 8.2 8.2 格林公式格林公式平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与

26、路径无关的条件1.格林公式格林公式2.平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件3.原函数与全微分方程原函数与全微分方程1.格林公式格林公式 格林公式，可以看做一般的斯托克斯公式的特例，格林公式，可以看做一般的斯托克斯公式的特例，也可以看做牛顿也可以看做牛顿-莱布尼茨公式的推广。而一般形式莱布尼茨公式的推广。而一般形式的斯托克斯公式，也被称为整个微积分学的基本定的斯托克斯公式，也被称为整个微积分学的基本定理。牛顿莱布尼茨公式，仅仅是一元微积分学的基理。牛顿莱布尼茨公式，仅仅是一元微积分学的基本定理。本定理。 解释和证明一般形式的斯多克斯公式属于高级微积解释和证明一般形式的斯多克斯

27、公式属于高级微积分学，需要较多的其它方面的数学知识。分学，需要较多的其它方面的数学知识。 这里只对格林公式作较详细的阐述。理解其基本这里只对格林公式作较详细的阐述。理解其基本内涵，对于较深刻的理解微积分学是有意义的。内涵，对于较深刻的理解微积分学是有意义的。（1）预备概念和知识）预备概念和知识（i）平面区域的）平面区域的单连通单连通；复连通复连通；（ii）平面）平面连通区域边界曲线的定向约定连通区域边界曲线的定向约定；（iii）使复连通区域转换为单连通区域的）使复连通区域转换为单连通区域的“手术手术”-增设边界曲线。增设边界曲线。（iv）经适当分割，连通区域总可以表示成若干兼有）经适当分割，连

28、通区域总可以表示成若干兼有X型和型和y型特点的单连通区域的并集。型特点的单连通区域的并集。（2）格林公式）格林公式dxdyyPxQdyyxQdxyxPDL )(),(),(其中其中 是连通区域；是连通区域； 是该区域的标准定向边界曲线，且分段光滑；是该区域的标准定向边界曲线，且分段光滑； 与与 都是在区域内具有连续偏导的二元都是在区域内具有连续偏导的二元函数函数。 ),(yxP),(yxQLD（i）定理内容：有如下等式成立）定理内容：有如下等式成立注：注：该公式对于有有限个洞的复连通区域也是成立的该公式对于有有限个洞的复连通区域也是成立的。 适当手术转换为单连通区域适当手术转换为单连通区域-增

29、加区域内的切割线，使其转换为单连通区域增加区域内的切割线，使其转换为单连通区域-并注意边界曲线的定向以及曲线积分的方向规定。并注意边界曲线的定向以及曲线积分的方向规定。（ii）公式证明简述）公式证明简述 首先考虑曲线所围区域兼有首先考虑曲线所围区域兼有x型区域和型区域和y型区域特型区域特点的情况，分析积分，可得公式成立；点的情况，分析积分，可得公式成立； 然后考虑将一般区域分割成若干此类区域（可以无然后考虑将一般区域分割成若干此类区域（可以无限），以及新增边界（复式边界）上积分的抵消。限），以及新增边界（复式边界）上积分的抵消。（3）利用格林公式做积分计算）利用格林公式做积分计算【例【例8-5

30、】计算】计算 其中其中L是是 （图（图8-8），取正向），取正向,LIydxxdy 2 2 1 yx（图（图8-8）O1xy1-1-1LD【例【例8-6】计算】计算 其中其中L是由直线是由直线 x+y=1位于第一象限的线段及圆弧位于第一象限的线段及圆弧 x2+y2=1位于第二象限的部分组成，方向如图位于第二象限的部分组成，方向如图8-9所示所示()(),yLIxy dxxyedy 2 22 23 3（图（图8-9）O1xy1-1LDABC 接续【例接续【例8-6】解：作线段解：作线段 ，则，则 构成闭曲线构成闭曲线ABCA，取正向，取正向，设其所围成的区域为设其所围成的区域为D，P=x2-2y

31、，Q=3x+ye y 在在D上满上满足格林公式条件，所以有足格林公式条件，所以有CACAL255(2 )(3)(32).24yABCADxy dxxyedydxdy 又又CA的方程为的方程为110 xy故有故有12212(2 )(3)(0).3yCAxy dxxyedyxdx 于是于是2(2 )(3)yABCAIxy dxxyedy 2(2 )(3)yCAxy dxxye dy .6114532)421(5 【例【例8-7】计算】计算.LydxxdyIxy 2 22 2 （1）L为为x2+y2=a2（a 0），其方向取为逆时针方向；），其方向取为逆时针方向；（2）L为一条不过原点的光滑闭曲线，

32、取逆时针方向为一条不过原点的光滑闭曲线，取逆时针方向（图（图8-10）OxyLD1l注：（注：（2）的计算可直接利用（）的计算可直接利用（1）所得的结论。而（所得的结论。而（1）的计算由于）的计算由于封闭曲线的特点，被积式可以大大封闭曲线的特点，被积式可以大大简化。简化。 接续【例接续【例8-7】解：解： （1）因为被积函数中的）因为被积函数中的(x,y)位于曲线位于曲线L上，故满足上，故满足L的方程，因而先将的方程，因而先将L的方程的方程x2+y2=a2(a0)带入被积函数带入被积函数表达式化简，再用格林公式有表达式化简，再用格林公式有2222122 .LLDydxxdyIxdyydxdxd

33、yxyaa （2）设）设D是闭曲线是闭曲线L所围的区域，当点所围的区域，当点 时，函时，函数数 在在D内具有一阶连续内具有一阶连续偏导数，且偏导数，且D )0 , 0(2222),(,),(yxxyxQyxyyxP 由格林公式得由格林公式得220.Lydxxdyxy D )0 , 0(当点当点 时，时， 在在D内存在间断点内存在间断点(0,0)，故不，故不能直接应用格林公式。取充分小正数能直接应用格林公式。取充分小正数r，以原点，以原点O为圆心，为圆心，以以r为半径，在为半径，在D内作一个小圆周内作一个小圆周l，并设，并设L与与l所围成的所围成的区域为区域为D1，如图，如图8-10所示所示.x

34、QyP ,函数函数P,Q在在D1上满足格林公式条件，所以上满足格林公式条件，所以.)(22222yxxyyPxQ 于是于是2222LlydxxdyydxxdyIxyxy 22lydxxdyxy 其中其中l - 表示与表示与l方向相反的闭曲线方向相反的闭曲线.设设l - ： 则有则有,20 ,sin,cos ryrx22220sin (sin )cos ( cos )2 .lydxxdyrrrrdxyr 故故.2 I2222Llydxxdyydxxdyxyxy 1()0.DQPdxdyxy 注意：注意：在格林公式中，若取在格林公式中，若取P= -y, Q=x，则有，则有11(11),22LDxd

35、yydxd 这恰是区域这恰是区域D的面积的面积.因而可用下列公式计算区域因而可用下列公式计算区域D的面的面积：积：1.2LSxdyydx 【例【例8-8】求椭圆】求椭圆 x=acost，y=bsint 所围图形的面积所围图形的面积注：利用上述公式，代入参数直接计算。注：利用上述公式，代入参数直接计算。附加练习题：计算附加练习题：计算. 0)(; 0)(; 0)()3(1122 dyydxxyxfydyxdxyxfxdyydxxyffnnnn曲线。证明曲线。证明封闭封闭是任意一条分段光滑的是任意一条分段光滑的可微，可微，单变量函数单变量函数并讨论它的几何意义。并讨论它的几何意义。计算计算, )(

36、arctan)2(xyd2.平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件（1）讨论两个问题）讨论两个问题（i）如果曲线积分与路径无关，仅仅与曲线的起）如果曲线积分与路径无关，仅仅与曲线的起点与终点有关，会给积分的计算带来什么便利？点与终点有关，会给积分的计算带来什么便利？（ii）能不能举一个物理学中的例子，说明积分与）能不能举一个物理学中的例子，说明积分与曲线所选择的路径无关。曲线所选择的路径无关。 什么情况下可能是有关的呢？什么情况下可能是有关的呢？（2）平面曲线积分与路径无关的条件（）平面曲线积分与路径无关的条件（定理定理8-2）则如下四个命题等价：则如下四个命题等价： 在在平

37、面区域内平面区域内 有连续的一阶偏导有连续的一阶偏导，),(),(yxQyxP（ii）对于区域内的任何一条分段光滑的曲线段）对于区域内的任何一条分段光滑的曲线段L（不（不必封闭），曲线积分必封闭），曲线积分 的值与路径无关的值与路径无关（仅与起始点与终点位置相关）；（仅与起始点与终点位置相关）；LPdxQdy （iii）存在区域内的某个二元函数）存在区域内的某个二元函数u(x,y)，使得使得( , )du x yPdxQdy，即即 是某个函数的全微分；是某个函数的全微分；PdxQdy 0 LQdyPdx；（iv）在区域内下面等式处处成立）在区域内下面等式处处成立.xQyP 注：显然（注：显然（

38、i）（）（iii）（）（iv）都是平面曲线积分与路径）都是平面曲线积分与路径无关的充要条件。无关的充要条件。（i）对区域内任意一条分段光滑的封闭曲线）对区域内任意一条分段光滑的封闭曲线L证明简述：循环证明，其它的都很显然，只有（证明简述：循环证明，其它的都很显然，只有（ii）推（推（iii）需要做一点说明。关键是构造一个原函数）需要做一点说明。关键是构造一个原函数00( , )(,)( , )x yxyu x yPdQd 因为因为积分与路径无关，该函数是合理定义的积分与路径无关，该函数是合理定义的。注注1：这里也给出了：这里也给出了 是某个函数的全微分的是某个函数的全微分的充要条件。在很多情况

39、下是很有用处的。包括解方程。充要条件。在很多情况下是很有用处的。包括解方程。PdxQdy 注注2：条件中要求函数定义域是单连通的很关键。例如：条件中要求函数定义域是单连通的很关键。例如利用定义求偏导，根据条件得其微分。利用定义求偏导，根据条件得其微分。2222),(,),(yxxyxQyxyyxP 尽管有尽管有22222)(yxxyyPxQ 但在原点处，两个函数都不连续，上面的偏导自然在但在原点处，两个函数都不连续，上面的偏导自然在原点处不连续。前一节的例题原点处不连续。前一节的例题8-7表明，在曲线所围区表明，在曲线所围区域含有原点的情况下，围道积分的值不是域含有原点的情况下，围道积分的值不

40、是0.注注3：显然，在曲线积分与路径无关的时候，计算曲线：显然，在曲线积分与路径无关的时候，计算曲线积分，可以换一条易于计算的路线，不拘泥于原来所积分，可以换一条易于计算的路线，不拘泥于原来所给的曲线。给的曲线。注注4：对特定的微分形式给出了二元函数原函数的概念：对特定的微分形式给出了二元函数原函数的概念和计算方法；并可以解决某些微分方程的求解问题。和计算方法；并可以解决某些微分方程的求解问题。（3）利用与路径无关的条件计算积分的例子）利用与路径无关的条件计算积分的例子【例【例8-9】计算曲线积分】计算曲线积分 LxxbadyaxyedxyxbyeI),0, 0(cos)(sin L为从点为从

41、点A(2a,0)沿曲线沿曲线 到点到点(0,0)的弧的弧（图（图8-13）22xaxy （图（图8-13）OxyaA2a分析：先观察积分是否用分析：先观察积分是否用途路径无关；如果积分途路径无关；如果积分与路径无关，寻找最简与路径无关，寻找最简明的积分路线。明的积分路线。 具体计算如下：具体计算如下： 接续【例接续【例8-9】解：解：12sincos ().xxLLIeydxeydyb xy dxaxdyII对于对于I1，由，由yeyyexyexxxcos)sin()cos( 知，积分与路径无关，选择线段知，积分与路径无关，选择线段 故故.0: xxyOA1sincos0.xxLIeydxey

42、dy 对于对于I2，L的参数方程为：的参数方程为：)0(sin,cos ttaytaax故故2()LIb xy dxaxdy 0(cossin ) (sin )(cos )cosb aatatat dta aatatdt .21212322ababa 所以所以原积分原积分.2)22(3221abaIII 接续【例接续【例8-9】【例【例8-10】设当】设当x0时，时，y=f (x)可导，且可导，且f (1)=2，对，对x0内任何光滑闭曲线内任何光滑闭曲线C有：有： （1）求函数）求函数f (x)的表达式；的表达式； （2）计算）计算 其中其中L是从点是从点A(1,0)到点到点B(2,3)的一段

43、弧的一段弧 LdyxxfydxxI,)(43 Cdyxxfydxx. 0)(43（图（图8-14）Oxy1A2CB(2,3) 接续【例接续【例8-10】解解：（：（1）由已知积分与路径无关，故）由已知积分与路径无关，故所以所以,yPxQ )()(43xfxfxx 即即.4)(1)(2xxfxxf 解一阶线性微分方程得解一阶线性微分方程得1123( ) 4.dxdxxxcf xex edxcxx 由由f (1)=2，可得，可得c=1，故，故.1)(3xxxf （2）由已知积分与路径无关，选择折线（图）由已知积分与路径无关，选择折线（图8-14）：）：.2:,0: yyxCByxxAC故故334(

44、 )4( )ACCBIx ydxxf x dyx ydxxf x dy23310102 (2)51.2dxdy附加练习：附加练习：（1）设）设OA是从原点是从原点O到点到点 的直线段，曲的直线段，曲线线L是在直线是在直线OA下方，从原点到点下方，从原点到点A的任意一条的任意一条光滑曲线，但是该曲线与直线光滑曲线，但是该曲线与直线OA所围成的区域所围成的区域面积是一常值面积是一常值2.函数函数 有连续导函数，试求有连续导函数，试求 ),( A)(x dyxydxyxyIL1sin)(cos)( （2）设函数）设函数 有一阶连续导数，有一阶连续导数， ，且对，且对于于XOY平面上的任何一条光滑封闭

45、曲线平面上的任何一条光滑封闭曲线L，都有，都有0)0( ff0)()(1 dyxfydxxfL 求求 的解析表达式。的解析表达式。)(xf3.全微分形式的原函数与全微分方程全微分形式的原函数与全微分方程（1）二元函数的）二元函数的原函数原函数概念概念注：这里的原函数概念，是对一个全微分形式而言的，注：这里的原函数概念，是对一个全微分形式而言的，事实上是相对于一对二元函数而言。比如说一对函数事实上是相对于一对二元函数而言。比如说一对函数P，Q，如果满足都有连续的一阶导数，且满足如果满足都有连续的一阶导数，且满足QPxy 则存在具有连续二阶偏导数的函数则存在具有连续二阶偏导数的函数u(x,y)（可

46、以相差一（可以相差一个常数项）个常数项）,使得：使得：QdyPdxduQyuPxu ;,（2）求二元原函数）求二元原函数-全微分求积全微分求积-解解全微分方程全微分方程（1）全微分求积，本质上是计算两个一元函数的）全微分求积，本质上是计算两个一元函数的原函数（变上限积分）。原函数（变上限积分）。【例【例8-11】验证】验证 是是某一函数某一函数 u(x,y) 的全微分，并求出它的一个原函数的全微分，并求出它的一个原函数dyyxyxdxyxyx)2()2(2222 （2）求解全微分方程）求解全微分方程-假设微分方程具有如下形式假设微分方程具有如下形式0PdxQdyQPxy 且且则可以解出则可以解

47、出 的原函数的原函数 ，从而得到，从而得到PdxQdy cyxu ),( ,0)( , )(0,0)( ,0)00( , )( ,0)( , )( ,0)( , )xx yxxyu x yPdQ xdPdQ xd考虑考虑xy,之间的关系。之间的关系。【例【例8-12】求微分方程】求微分方程 的通解的通解()()=xy dxxy dy2 22020解法一：直接利用全微分原函数的形式，积分。解法一：直接利用全微分原函数的形式，积分。 注意选择方便的曲线起始点，可简化为注意选择方便的曲线起始点，可简化为cdxQdPyxuyx 00),()0 ,(),(解法二：利用偏导关系，分步求不定积分，如解法二：

48、利用偏导关系，分步求不定积分，如)(332yxyxuyxxu )(22yyyxyu 接续【例接续【例8-12】-具体计算过程具体计算过程解解：因：因P=x2+y，Q=x-2y，且，且.1 yPxQ所以原方程是全微分方程，显然所以原方程是全微分方程，显然P,Q及及 在全平在全平面上连续，去面上连续，去x0=0，y0=0，故，故xQyP ,00( , )( ,0)( , )xyu x yP xdxQ x y dy 200(2 )xyx dxxy dy .3123yxyx 所以原方程的通解为所以原方程的通解为.3123cyxyx 其中其中c为任意常数为任意常数. 接续【例接续【例8-12】另解】另解

49、另解另解：由于原方程是全微分方程，所以有：由于原方程是全微分方程，所以有,2yxxu .3123cyxyx 方程通解为方程通解为两边对两边对x积分，得积分，得),(31),(3yxyxyxu ).()(3123yxyxyxyyxyu 所以所以由此得，由此得， ，故，故 . 从而从而yy2)( 2)(yy ,31),(23yxyxyxu 附加练习：附加练习：. 0cos)cos1()1( xydyxdxxyy验证并求解全微分方程验证并求解全微分方程).(, 0)()(; 1)1()1()2(2xfdyxyfxydxxyxfxyfffyLL试求试求有连续的二阶导，并且有连续的二阶导，并且曲线，一元

50、函数曲线，一元函数轴相交的任意光滑封闭轴相交的任意光滑封闭是不与是不与 8.3向量值函数在有向曲面上的积分向量值函数在有向曲面上的积分1.曲面的侧与定向；曲面的侧与定向；2. .第二类曲面积分的定义；第二类曲面积分的定义；3. .第二类曲面积分的计算。第二类曲面积分的计算。第八章第八章-第三、四、五节作业题第三、四、五节作业题l8-3: 1(2，4); 2; 4; 5; 6; 7; 8l8-4: 1(3，4); 3; 4; 6(3，4)。l8-5: 2; 3; 4(1); 5(1); 9;10。特别说明特别说明-本节必须掌握的内容本节必须掌握的内容 第二型曲面积分的主要表示形式和计算公式第二型

51、曲面积分的主要表示形式和计算公式),(:yxzzS 设曲面为设曲面为z型曲面型曲面(,)TdSdydz dzdx dxdy 有向曲面微元记为：有向曲面微元记为：0dSn dS 指向上侧的曲面微元：指向上侧的曲面微元：回忆回忆曲面面积微元（曲面面积微元（z型曲面的）的微分表示形式：型曲面的）的微分表示形式：221+.xyxydSrr dxdyzz dxdy 曲面上侧的法向量曲面上侧的法向量:(,1) ;Txynzz 022(,1)(cos ,cos,cos )1TxyTxyzznzz 其单位化为：其单位化为：.),(xyDyx SA dS 0( , , )( , , )SA x y znx y

52、z dS 220( , , ( , )1( , , ( , )xyxyxyDDA x y z x ynzz dxdyA x y z x yn dxdy SRdxdyQdzdxPdydz对该函数在曲面对该函数在曲面S上侧的积分表达式和计算公式为上侧的积分表达式和计算公式为kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 设有向量值函数设有向量值函数 xyDyxdxdyRQzPz)(注：显然，如果是指向下侧，则法向量改变符号。注：显然，如果是指向下侧，则法向量改变符号。（1）Z型曲面型曲面z=z(x,y)的上侧或下侧积分分别为的上侧或下侧积分分别为?SPdydzQdzdxRdxdy

53、(. ( , )()(. ( , )()(. ( , )xyxyDPz x yzQz x yzRz x ydxdy (., ( , )(., ( , )( 1) (., ( , )xyxyDPz x y zQz x y zRz x ydxdy （2）x型曲面型曲面x=x(y,z)的前侧或后侧积分分别为的前侧或后侧积分分别为 ( ( , ),.)( ( , ),.)()( ( , ),.)()yzyzDP x y zQ x y zxR x y zxdydz ( ( , ),.)( 1)( ( , ),.)( ( , ),.)yzyzDP x y zQ x y zxR x y zx dydz （3

54、）y型曲面型曲面y=y(z,x)的右侧或左侧积分分别为的右侧或左侧积分分别为 (. ( , ).)()(. ( , ).)(. ( , ).)()zxxzDP y z xyQ y z xR y z xydzdx (. ( , ).)(. ( , ).)( 1)(. ( , ).)zxxzDP y z xyQ y z xR y z xy dzdx 综合总结综合总结： 在这些积分表达式中，需要了解一些转换关系。记在这些积分表达式中，需要了解一些转换关系。记2210(cos ,cos,cos ) , coscoscos1.n 可知，可知， ， ， 分别是曲面法向量与分别是曲面法向量与x,y,z三个坐

55、三个坐标标轴之间的夹角，也是在对应点处曲面切平面分别与轴之间的夹角，也是在对应点处曲面切平面分别与yOz，zOx，xOy平面的夹角。由平面的夹角。由 dydzdS coscosdSdzdx cos dSdxdy 可有关系式：可有关系式：coscosdxdydydz coscosdzdxdydz coscosdzdxdxdy 。或者（在分母不为或者（在分母不为0时）：时）： coscoscosdxdydzdxdydz 以及类似的：以及类似的：0(,)Tdydz dzdx dxdydSn dS 确定其一侧方向的定向曲面。由于面积微元确定其一侧方向的定向曲面。由于面积微元dxdydzdxdydz,本

56、身没有给定方向规定本身没有给定方向规定，所以在给出具体的第二型曲，所以在给出具体的第二型曲面积分时，不仅要给出曲面面积分时，不仅要给出曲面S的解析表示，还要说明的解析表示，还要说明其定向。其定向。注：在这些表示中，曲面表示符号所标示的必须是注：在这些表示中，曲面表示符号所标示的必须是-线性运算性质（从定义或变换公式可以看出）；线性运算性质（从定义或变换公式可以看出）；-对协调定向的有限个曲面积分的可加性（直观解对协调定向的有限个曲面积分的可加性（直观解释）；释）；-相反定向的曲面积分值相反（由定义以及上述计算相反定向的曲面积分值相反（由定义以及上述计算公式的变换可以看出）。公式的变换可以看出）

57、。（3）第二型曲面积分的基本性质）第二型曲面积分的基本性质【例【例8-13】计算曲面积分】计算曲面积分 Sdxdyzxdzdxxxydydz,)(2其中其中S是平面是平面 位于第一卦限部分的上侧位于第一卦限部分的上侧（图（图8-19）1633 zyxOxyzn633（图（图8-19）1.确定曲面类型（此处为确定曲面类型（此处为z型）；型）；2. .将积分域化为曲面的平面投影；将积分域化为曲面的平面投影；3.利用曲面指定一侧的法向量（此利用曲面指定一侧的法向量（此处为（处为（2,2,1），将积分微元中），将积分微元中dz替换掉（此处参见（替换掉（此处参见（1）；）；4.将曲面函数代入到被积函数中

58、；将曲面函数代入到被积函数中；5.得二重积分，得二重积分，计算。计算。【例【例8-15】计算】计算 其中其中S为平面为平面x+y+z=1与三与三个坐标面所围立体表面的外侧（图个坐标面所围立体表面的外侧（图8-21）这里记号）这里记号 表示沿闭合曲面表示沿闭合曲面S积分积分 SdxdyzI,2 S（图（图8-21）Oxyz111S1S2S3S4如图，讨论为什么如图，讨论为什么 202Sdxdyz 注：积分区域，也就是积分曲注：积分区域，也就是积分曲面在面在yOz平面上，由平面上，由cos0;0,zdxdyx dydz 可得结论。可得结论。 另一方面，可直接看出在这个积分区域上，另一方面，可直接看

59、出在这个积分区域上，x是没是没有非有非0增量的，即增量的，即dx=0。.类似有类似有 。320Sz dxdy ？ 接续【例接续【例8-15】1200.xySDz dxdydxdy 注意到在注意到在S2和和S3上上 ，所以，所以02coscos 220,Sz dxdy 320.Sz dxdy 又又41122200(1)(1)xyxSDz dxdyxydxdydxxydy 13011(1),312xdx 解解：设：设 ，其中，其中 分别为分别为 坐标平面，坐标平面， . 由第二型曲面积分公式由第二型曲面积分公式(4)有有4321SSSSS 321,ssszOxxOzxOy,1:4 zyxS所以所以

60、.121121000 I【例【例8-16】计算】计算 其中其中S是旋转是旋转抛物面抛物面 2z=x2+y2 介于平面介于平面 z=0及及 z=1之间的部分的下侧之间的部分的下侧（图（图8-22） SzdxdydydzzxI,)(2（图（图8-22）Oxyz1Dxy2注：注意积分曲面是注：注意积分曲面是z型曲面，型曲面，需要将需要将dydz转换为转换为dxdy。；)(2122yxz ;)1,(xzzznxTyx ；于是最简化的积分计算过程为直接带入，得：于是最简化的积分计算过程为直接带入，得：dxdyyxxyxxIxyD)1( )2()2(22222 【例【例8-16】解解：得得2()SIxzd