高等数学（4.1）一元积分学

1、谢琳主讲谢琳主讲一元函数积分学一元函数积分学及其应用及其应用第三章第一、第二节作业题第三章第一、第二节作业题习题习题3.1: 3；4；5（3,4）；）；6；7（3,4）；）；8.习题习题3.2: 5；6；10. 【12】3.1定积分定积分（1）问题举例）问题举例（2）定积分概念）定积分概念-定义定义（3）几何意义）几何意义（4）可积的判定准则）可积的判定准则 （5）定积分运算的性质）定积分运算的性质1.问题举例问题举例 任何一种具有普遍应用性的数学方法，都是从人类任何一种具有普遍应用性的数学方法，都是从人类解决问题的过程中抽象出来的。解决问题的过程中抽象出来的。 定积分，作为一种运算方法，也是

2、如此，其实早在两定积分，作为一种运算方法，也是如此，其实早在两千多年前的古希腊，就已经产生了定积分的思想方法。千多年前的古希腊，就已经产生了定积分的思想方法。在中国古代，也有类似的一些思想萌芽。当然，那时在中国古代，也有类似的一些思想萌芽。当然，那时候还没能使其成熟，也就没有准确完整的形式化定义。候还没能使其成熟，也就没有准确完整的形式化定义。 下面考虑两个具体问题：下面考虑两个具体问题：（1）曲边梯形的面积如何确定？）曲边梯形的面积如何确定？ 注：假设曲边（是一条连续曲线）由函数注：假设曲边（是一条连续曲线）由函数y=f(x) 所所刻画。刻画。 【例【例3-13-1】（曲边梯形的面积）】（曲

3、边梯形的面积） 设函数设函数f( (x) )在在 a, ,b 上连续，且上连续，且f( (x) )0，称由曲线，称由曲线y= =f( (x) )，直线，直线x= =a, ,x= =b ( (ba) )和和y=0=0围成的平面图形为曲边梯形（图围成的平面图形为曲边梯形（图3-13-1）由）由于任何由曲线围成的平面图形均由若干个曲边梯形拼于任何由曲线围成的平面图形均由若干个曲边梯形拼接而成，其面积自然就等于各个曲边梯形面积之和接而成，其面积自然就等于各个曲边梯形面积之和因此求曲边梯形的面积即因此求曲边梯形的面积即为求平面曲线所围成图形为求平面曲线所围成图形面积的关键初等几何只面积的关键初等几何只能

4、解决能解决f( (x)=)=ax+ +b的情形，的情形，因而需要在初等几何的基因而需要在初等几何的基础上引进新的方法础上引进新的方法a x1 x2 xi-1 xi xn-1 bxyo图图3-1（1）分划）分划 . 在在a,b中任意插入中任意插入n-1个分点个分点bxxxxxxannii 1110将将a,b分成分成n个小区间个小区间xi-1 , xi(i=1,2,n)，并记，并记xi , xi-1的长度为的长度为xi=xi-xi-1，用直线，用直线x=xi将曲边梯形分成将曲边梯形分成n个小个小曲边梯形曲边梯形.我们可以分我们可以分4 4步完成曲步完成曲边梯形面积的计算。边梯形面积的计算。其中最关

5、键的最后一其中最关键的最后一步，又是取极限步，又是取极限：a x1 x2 xi-1 xi xn-1 bxyo图图3-1（2）代替）代替 . 当当xi(i=1,2,n)都很小时，函数都很小时，函数y=f(x)在在每个小区间每个小区间xi , xi-1上的变化很小，因此小曲边梯形可上的变化很小，因此小曲边梯形可以近似地看作矩形，从而在以近似地看作矩形，从而在xi , xi-1上任取一点上任取一点i，用，用f( (i) )作为该近似矩形的高，矩形面积作为该近似矩形的高，矩形面积即为小曲边梯形面积即为小曲边梯形面积的近似值的近似值.), 2 , 1()(nixfSiii a x1 x2 xi-1 xi

6、 xn-1 bxyo图图3-1（4）取极限）取极限 . 记记 ，由上述三个过程易知，由上述三个过程易知，随着随着 和式和式 将无限地接近曲边梯形面积的将无限地接近曲边梯形面积的“真值真值”S，因此很自然地将，因此很自然地将 时时 的极的极限值规定为曲边梯形的面积，即限值规定为曲边梯形的面积，即max1inix 0 niiS10 niiS1iinixfS )(lim10 （3）求和）求和 . 上述上述n个小矩形面积之和就是曲边梯形面积个小矩形面积之和就是曲边梯形面积S的近似值，即的近似值，即iniiniixfSS 11)( 附录。附录。另一种做法。在上述近似替代与做和的时候，另一种做法。在上述近

7、似替代与做和的时候，作如下处理。先约定符号：作如下处理。先约定符号：|1,2,xini ， 将区间分割点记为集合将区间分割点记为集合 ， 其中仅略去左边端点其中仅略去左边端点 。并记。并记0 xa max|iixxT 为分割为分割 的模。分别记的模。分别记称称 ).1(1ixxxiii 1sup ( ),iiiMfxx 1inf ( ),iiimfxx 再分别做和：再分别做和：（大和与小和）（大和与小和） ixiiniiixMxMfS1);( ; )iiixs fmx a bxyo a bxyo 上（大）和随着分划的加细变得越来越小；上（大）和随着分划的加细变得越来越小；下（小）和随着分划的加

8、细越来越大。下（小）和随着分划的加细越来越大。 但是上和总是大于下和。于是所有分划的上和但是上和总是大于下和。于是所有分划的上和所成集合有下界，因此有下确界；同理，下和有所成集合有下界，因此有下确界；同理，下和有上确界。这便分别是它们的极限（随着分划的不上确界。这便分别是它们的极限（随着分划的不断加细）。断加细）。达布上（大）和与下（小）和变化趋势的示意图。达布上（大）和与下（小）和变化趋势的示意图。 （1）下面的不等式关系总是成立的：）下面的不等式关系总是成立的：（2）对任意正数）对任意正数 ，总存在，总存在 ， 使得有如下不等式成立：使得有如下不等式成立：ii,iixx1,iixx1);(

9、)();( fSxffsixi 及及( ; )()iiixS ffx 对于给定的函数对于给定的函数y=f (x) 、区间、区间a,b ，以及区间分，以及区间分化化 ，不难发现如下一些关系：，不难发现如下一些关系：niix 1；abmfmiii )(abMfMii )(因此有因此有 iiixxiixmffsxffii)();()(（3）于是下面的等价关系也是显然的：）于是下面的等价关系也是显然的：（4）易知小和）易知小和 是随着分划的加细递增的，而是随着分划的加细递增的，而 大和大和 是随着分划加细而递减的，所以极限是随着分划加细而递减的，所以极限( )s ( )S 存在并且存在并且 ixif)

10、(lim0 0lim()iixfA 当且仅当当且仅当AfSfs );(lim);(lim00它们不相等，就意味着它们不相等，就意味着 不存在了。不存在了。0lim()s 0lim()S 与与 总是存在的。但是如果总是存在的。但是如果 ixif)(lim0 （5）从直观上看，）从直观上看， 可以看做所求数值（面积、质可以看做所求数值（面积、质量、功）的不足近似值；量、功）的不足近似值； 可以看做其剩余近似可以看做其剩余近似值。随着分划的不断加细，它们的近似程度也就越高。值。随着分划的不断加细，它们的近似程度也就越高。( ; )s f ( ; )S f （6）进一步假设函数）进一步假设函数 y=f

11、(x) 是连续的是连续的,那么那么 以上观察表明，可以产生两种在内容和本质上相同，但以上观察表明，可以产生两种在内容和本质上相同，但形式上略有区别的定积分定义方式。下面再总结一下。形式上略有区别的定积分定义方式。下面再总结一下。都是可以取到的。并且随着分化越来越细，它们的差都是可以取到的。并且随着分化越来越细，它们的差也必然趋近于也必然趋近于0。于是，在这种情况下必然有。于是，在这种情况下必然有1sup ( ),iiiMfxx 1inf ( ),iiimfxx 0lim()s 0lim()S 小结小结：（：（A）如果所涉及的函数是常值函数，比如曲）如果所涉及的函数是常值函数，比如曲边是与底边平

12、行的直线；物质密度是均匀的；位移边是与底边平行的直线；物质密度是均匀的；位移过程中力的大小恒定，那么计算就是一般的乘法。过程中力的大小恒定，那么计算就是一般的乘法。 所以上述计算方法是在涉及变化的时候对乘法运所以上述计算方法是在涉及变化的时候对乘法运算进行的复合改造，主要的创新之处在于取算进行的复合改造，主要的创新之处在于取极限极限！（B）上述几个问题的解决方法都有四个相同的步骤）上述几个问题的解决方法都有四个相同的步骤:（ii）在每个小区间上做近似替代的）在每个小区间上做近似替代的-有两种在本质上相有两种在本质上相同，但形式上略有区别的考虑方式同，但形式上略有区别的考虑方式： （a）一般替代

13、；（一般替代；（b）不足近似和剩余近似结合考察。）不足近似和剩余近似结合考察。（i）对区间进行分划。）对区间进行分划。（iv）考察分划的模趋近于）考察分划的模趋近于0时，积分和的极限。时，积分和的极限。（iii）做和：积分和；达布上（大）和、下（小）和。）做和：积分和；达布上（大）和、下（小）和。2.定积分的定义定积分的定义（1）定积分定义）定积分定义-两种说法以及符号约定的说明。两种说法以及符号约定的说明。 （2）派生概念的说明：积分和与黎曼和；）派生概念的说明：积分和与黎曼和； 达布上（大）和与达布下（小）和；达布上（大）和与达布下（小）和； 可积、定积分与黎曼积分；可积、定积分与黎曼积分

14、； 被积函数、被积表达式、积分变量；被积函数、被积表达式、积分变量； 积分区间、积分区间、 积分上限与积分下限、积分符号。积分上限与积分下限、积分符号。（3）积分上、下限的两个约定：上、下限相等与上、）积分上、下限的两个约定：上、下限相等与上、下限颠倒。下限颠倒。将这些相同的步骤抽象出来，就形成了定积分的概念。将这些相同的步骤抽象出来，就形成了定积分的概念。注：这里使用的符号与教材符号使用的对应和比较。注：这里使用的符号与教材符号使用的对应和比较。（4）一个不可积的典型例子）一个不可积的典型例子-狄里克莱函数。狄里克莱函数。 直观说明直观说明-太不连续的函数是不可积的。太不连续的函数是不可积的

15、。注注1.一个定积分表达式，在上、下限给定，并且被一个定积分表达式，在上、下限给定，并且被积表达式中不含积分变量之外的其它变量符号积表达式中不含积分变量之外的其它变量符号时，它就是一个数。时，它就是一个数。 它在何种情况下表达一个函数？（它在何种情况下表达一个函数？（i）被积表）被积表达式中含积分变量之外的参变量；达式中含积分变量之外的参变量；(ii)上、下限上、下限中至少有一个变化。中至少有一个变化。注注2.无论何种情况，就含义来说，定积分永远表示无论何种情况，就含义来说，定积分永远表示一个特殊变化过程的极限。一个特殊变化过程的极限。 是一个函数对应于一个区间分划所做的积分和，是一个函数对应

16、于一个区间分划所做的积分和，在分划无限加细的过程中所趋近的极限。在分划无限加细的过程中所趋近的极限。【例【例3-3】已知函数】已知函数f (x)在在a,b上满足上满足,0)(,0)(,0)( xfxfxf试从定积分的几何意义，比较下述三个数的大小试从定积分的几何意义，比较下述三个数的大小.,)(1 badxxfI).()(23bfafabI ),()(2abbfI CAEDByxabo（1）有向面积的代数和。）有向面积的代数和。3.定积分的几何意义定积分的几何意义 （2）积分意义与直观观察的例子。）积分意义与直观观察的例子。一个附加的讨论一个附加的讨论 利用积分上和（达布大和）与下和来定义积分

17、，利用积分上和（达布大和）与下和来定义积分，实际上是一个更自然的定义方式。实际上是一个更自然的定义方式。 因为给定一个分划，无论是上和还是下和，都因为给定一个分划，无论是上和还是下和，都是唯一确定的，不会再有什么变动。并且随着分是唯一确定的，不会再有什么变动。并且随着分划的加细，它们的极限也总是存在的。所以用来划的加细，它们的极限也总是存在的。所以用来判断积分存在的时候，也很简明。判断积分存在的时候，也很简明。 但是，对初学者来说，上下确界的概念总会有点但是，对初学者来说，上下确界的概念总会有点抽象。为了加深印象，下面讨论一道抽象。为了加深印象，下面讨论一道2013年高考，年高考，理科数学全国

18、卷的一道考题。理科数学全国卷的一道考题。 仔细考察，不难发现，这道考试题的命题思路，仔细考察，不难发现，这道考试题的命题思路，其实就来自于积分上和与积分的比较。其实就来自于积分上和与积分的比较。2013年高考全国大纲卷理科年高考全国大纲卷理科22题题 已知函数已知函数.1)1()1ln()(xxxxxf （1）若）若 时时 ，求，求 的最小值；的最小值；0 x0)( xf （2）设数列）设数列an的通项的通项 证明：证明：,131211nan 2ln412 naann 分析不等式两端的直观意义：分析不等式两端的直观意义：nnnnnnnnnaann41)121111(41212111412 其中

19、其中 表示将函数表示将函数 做做“模模”为为1的分划所得的上和（如图的分划所得的上和（如图1所示矩形的面积之和）所示矩形的面积之和）. )121111( nnn)2 ,(1nnxxy 而而 nndxxnn21ln2ln2ln等于曲线等于曲线 与与x轴围成的曲边梯形的面积轴围成的曲边梯形的面积.)2 ,(1nnxxy n n+1 n+2 2n-1 2nxyO（图（图1） n41 不等式的含义是：小矩形的面积和与曲边梯形的面不等式的含义是：小矩形的面积和与曲边梯形的面积之差大于积之差大于 . 分析其中一个小矩形（图分析其中一个小矩形（图2），发现其面积与相应），发现其面积与相应曲边梯形面积之差大于

20、图中绿色三角形的面积曲边梯形面积之差大于图中绿色三角形的面积 这些小三角形的和即为这些小三角形的和即为)111(21 kksknkknnk41)111(2112 k k+1xyO111 kk（图（图2） 从以上分析发现，不等式左边表示如图从以上分析发现，不等式左边表示如图2中带阴影的中带阴影的直角梯形面积之和，显然其大于曲边梯形的面积直角梯形面积之和，显然其大于曲边梯形的面积ln2. k k+1xyOk111 k（图（图3） 显然图显然图3中一个小直角梯形的面积大于相应的曲边梯中一个小直角梯形的面积大于相应的曲边梯形的面积，即形的面积，即.ln)1ln(1)111(211 kkkkkdxxkk

21、s即即. )11ln()1(212kkkk 对此不等式两边求和（对此不等式两边求和（k从从n到到2n-1)即可得结论即可得结论.此不等式在（此不等式在（1）中已经证明）中已经证明.取取 则则,1kx . )1ln()1(212kkkkk . )1ln(22)2(xxxx 令令 由由(1)知知 x0 时，时，f (x)0)所围所围图形的面图形的面积积A.O（图（图3-15）xy2ayaa注意，在以极坐标表注意，在以极坐标表示曲线时，曲线与矢示曲线时，曲线与矢径所围的平面区域面径所围的平面区域面积的面积微元是：积的面积微元是：AdrdA )(212 本题中，由于图形上下对称，所以积分上限只需本题中

22、，由于图形上下对称，所以积分上限只需要到要到 ，然后再乘以，然后再乘以2即可。即可。 请注意以上四道例题所讨论四种情况的区别。请注意以上四道例题所讨论四种情况的区别。【例【例3-55】设有一正劈椎体（图】设有一正劈椎体（图3-17），其底是以），其底是以a为半径的圆，高为为半径的圆，高为h，顶为平行且等于底圆直径的线，顶为平行且等于底圆直径的线段，求它的体积段，求它的体积.Oxy-a-aaaxx+dx（图（图3-17）（b）平面截面面积的函数已知时的立体体积计算）平面截面面积的函数已知时的立体体积计算设截面面积函数为设截面面积函数为 ，)(xS则体积微元为：则体积微元为：SdxdV 分析分析-

23、关键在关键在于设定合理的于设定合理的坐标系并给出坐标系并给出截面积函数：截面积函数：22xahS 注：按照截面函数的给法，注：按照截面函数的给法，这里所谓的正劈锥体不是图示所画的样子。这里所谓的正劈锥体不是图示所画的样子。关于旋转体的体积：关于旋转体的体积： 给定一条平面曲线，和一条直线。让曲线围绕该给定一条平面曲线，和一条直线。让曲线围绕该直线旋转一周，所围空间区域便是一个旋转体。直线旋转一周，所围空间区域便是一个旋转体。 假设旋转的曲线是一函数曲线假设旋转的曲线是一函数曲线 ，并且，并且作为旋转轴的直线就是作为旋转轴的直线就是 x 轴。那么垂直于轴。那么垂直于x 轴所做轴所做的横截面面积为

24、：的横截面面积为：)(xfy )()(22xfyxS 则体积微元为：则体积微元为：dxxfdV)(2 旋转轴为旋转轴为y轴，体积微元可类似导出，但要注意轴，体积微元可类似导出，但要注意函数表达式。函数表达式。【例【例3-56】求半径为】求半径为R，高为，高为h的正圆锥体的体积的正圆锥体的体积.(图图3-20）ORhxy分析分析- 平面直线为：平面直线为： ； yhRx 旋转轴为旋转轴为y轴；轴；积分区间为：积分区间为： 0,h;截面函数为：截面函数为：22)()(yhRxyS 体积微元：体积微元：dyyhRdyySdVy22)()( 【例【例3-57】求半径为】求半径为r的圆绕同平面内圆外一条

25、直线旋的圆绕同平面内圆外一条直线旋转成的圆环体的体积，设圆心到直线的距离为转成的圆环体的体积，设圆心到直线的距离为R(Rr).ORyx-r r（图（图3-21）分析分析-设旋转轴是设旋转轴是x轴；轴； 所求旋转体可以看做上所求旋转体可以看做上半圆周旋转生成的旋转半圆周旋转生成的旋转体消掉下半圆周生成的体消掉下半圆周生成的旋转体。于是所求的体旋转体。于是所求的体积微元可以表示为：积微元可以表示为：dxxrRxrRdVx)()(222222 积分区间为积分区间为-r,r。dxxrR224 ；【例【例3-58】求摆线】求摆线一拱一拱 的弧长的弧长. .)20( t)0()cos1()sin( ata

26、yttax【例【例3-59】求对数螺线】求对数螺线 自自 到到 的一的一段弧长段弧长(a0). aer 0 （c）平面曲线的弧长）平面曲线的弧长 前面分别给出了函数、参数和极坐标曲线的弧微分：前面分别给出了函数、参数和极坐标曲线的弧微分： drrdtyxdxydstt22222)()()()(1 所以求弧长，也就是计算弧微分在对应区间的积分了。所以求弧长，也就是计算弧微分在对应区间的积分了。（d）旋转体的侧面积）旋转体的侧面积 设有连续一阶导函数的函数设有连续一阶导函数的函数 。由该函数。由该函数给出的函数曲线绕给出的函数曲线绕x轴旋转一周，形成旋转曲面，轴旋转一周，形成旋转曲面，即所谓旋转体

27、的侧面。其侧面积如何确定呢？即所谓旋转体的侧面。其侧面积如何确定呢？)(xfy 设设 是自变量的一个增量，其对应曲线是自变量的一个增量，其对应曲线上的弧长增量为上的弧长增量为 ，旋转体侧面积的增量为，旋转体侧面积的增量为 ，则有如下关系式：则有如下关系式：0 xxx s S S )(2xf s dxxfxfdsxf2)(1)(2)(2 即侧面积微元是：即侧面积微元是：dxxfxfdS2)(1)(2 【例【例3-60】设有曲线】设有曲线 ，过原点，过原点O(0,0)作其作其切线，求切线与曲线及切线，求切线与曲线及x轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕x轴旋转轴旋转一周，所得到的旋转体的全表面积一

28、周，所得到的旋转体的全表面积.1 xyOxy12(2,1)（图（图3-24）分析分析-这里要计算两个这里要计算两个旋转体侧面积的和。旋转体侧面积的和。当然第一步要先求当然第一步要先求出切线方程。然后出切线方程。然后直接利用公式计算直接利用公式计算（略）。（略）。3.定积分在物理（或力学）方面的应用举例定积分在物理（或力学）方面的应用举例 从科学发展的角度看，微积分的成功首先表现从科学发展的角度看，微积分的成功首先表现在力学与物理学领域。几百年前，正是因为微在力学与物理学领域。几百年前，正是因为微积分的应用，物理学才有了突飞猛进的发展。积分的应用，物理学才有了突飞猛进的发展。以至于人们对数学有着

29、特别的迷信和钟爱。以至于人们对数学有着特别的迷信和钟爱。 近代以来，有一种倾向，很多人认为：没有数近代以来，有一种倾向，很多人认为：没有数学应用的学科，就不被认为是科学。这也是所谓学应用的学科，就不被认为是科学。这也是所谓“科学主义科学主义”的特征之一。的特征之一。 尽管尽管“科学主义科学主义”具有较大的片面性，但是作具有较大的片面性，但是作为常识，了解数学在物理学中有意义的应用，对为常识，了解数学在物理学中有意义的应用，对于接受过高等教育的人来说，是十分必要的。于接受过高等教育的人来说，是十分必要的。【例【例3-61】设一弹簧在】设一弹簧在4N力的作用下伸长了力的作用下伸长了0.1m，试求使

30、它伸长试求使它伸长0.5m，力所作的功，力所作的功.-x=0-x=0.1mx（图（图3-263-26）（a）作功的计算）作功的计算kxdxdxxFdW )(功微元为：功微元为：而由题设条件可以求得弹性系数：而由题设条件可以求得弹性系数：分析分析-这里需要的物理常识是这里需要的物理常识是 Hooke定律：定律： 。因弹。因弹簧拉长时，其拉力变化，所以簧拉长时，其拉力变化，所以这是求这是求“变力做功变力做功”的问题。的问题。kxxF )()N/m(40 k即有：即有： 5 . 00)J(40 xdxW【例【例3-62】一个半球形容器，其半径为】一个半球形容器，其半径为R，容器中盛，容器中盛满水，将

31、容器中的水全部抽出容器口，需作多少功？满水，将容器中的水全部抽出容器口，需作多少功？OyxRxx+dx（图（图3-27）分析分析-这是一个变力、变距作这是一个变力、变距作功累加的问题。设坐标系功累加的问题。设坐标系如图（图如图（图3-27）所示）所示.变力分析：在点变力分析：在点x到到x+dx处处,所需所需的力是的力是“克服克服”对应水量的重力：对应水量的重力：dxyggdVVgF2 所要作用的距离是所要作用的距离是-x. 功微元为：功微元为：)(2dxygxdW 即：即：dxxRxgdW)(22 dxxRxgWR 022)(及及（b）液体静压力问题）液体静压力问题 问题：假设一平板与水面垂直

32、，放置在水中，如问题：假设一平板与水面垂直，放置在水中，如何确定该平板一侧面受到水压力的大小。何确定该平板一侧面受到水压力的大小。 由于平板中处于不同水平位置的部分，所受压由于平板中处于不同水平位置的部分，所受压力是不同的。比如说，设在平板的某一水平线处力是不同的。比如说，设在平板的某一水平线处于水深于水深x米处，那么该处的压强便是：米处，那么该处的压强便是： 。 gxp 问题属于求问题属于求“变压强情况下汇合总压力变压强情况下汇合总压力”的问题。的问题。 如前，这里的如前，这里的 表示水的密度，表示水的密度， 表示重力加速表示重力加速度。长度单位是度。长度单位是m(米米)。 g 如果函数如果

33、函数 给出了深度为给出了深度为x时平板的水平时平板的水平长度，则压力微元为：长度，则压力微元为：)(xhy dxxgxhdF)( 【例【例3-63】有一等腰梯形闸门，其上底长】有一等腰梯形闸门，其上底长10m，下底，下底长长6米，高米，高20m，该闸门所在的平面与水面垂直，且，该闸门所在的平面与水面垂直，且上底与水面相齐，求该闸门一侧所受的静水压力上底与水面相齐，求该闸门一侧所受的静水压力.OAB(20,3)y5xx+dx20 x（图（图3-283-28）分析分析-如图设坐标，平如图设坐标，平板（即闸门）水平板（即闸门）水平长度函数可以表示长度函数可以表示为：为：)105(22)(xyxh 于

34、是压力微元为：于是压力微元为：dxxgxdF)105(2 积分区间为：积分区间为：0,20.（直线段（直线段AB表示为：表示为： ）105xy （c）引力问题）引力问题问题：考虑质点问题：考虑质点P，与一线状物体之间的引力作用。，与一线状物体之间的引力作用。 值得注意的是，这里所求的引力大小应该是各点值得注意的是，这里所求的引力大小应该是各点引力的合力。由于线状物中各点与质点之间的引力引力的合力。由于线状物中各点与质点之间的引力作用，不仅大小不同，并且方向也不相同，所以作用，不仅大小不同，并且方向也不相同，所以不具有简单的可加性不具有简单的可加性。一般考虑质点所受引力指向。一般考虑质点所受引力

35、指向线状物的引力重心。这里仅考虑一个简单情况，即线状物的引力重心。这里仅考虑一个简单情况，即线状物的重心与质点的连线垂直于线状物体。线状物的重心与质点的连线垂直于线状物体。 假设质点是单位质量。线状物的质量为假设质点是单位质量。线状物的质量为m,线状线状物体各点坐标为物体各点坐标为x。设。设x点与质点的距离可表示为点与质点的距离可表示为x的函数的函数 。现状物体长度为。现状物体长度为 。)(xrr ldxxrlmGdF)(/12）（ 于是引力微元可以表示为：于是引力微元可以表示为：万有引力系数记为万有引力系数记为 。截取现状物体一小段。截取现状物体一小段 。 Gx 但是这个引力指向那一小段的重

36、心。假设但是这个引力指向那一小段的重心。假设 ， 0 xxx 可以近似认为引力指向可以近似认为引力指向 。将力分解，则平行与线。将力分解，则平行与线 状物的分力为状物的分力为0。而这个力指向物体重心方向的分力。而这个力指向物体重心方向的分力（引力微元）的大小为：（引力微元）的大小为：0 x|)(cos|2dxxrmGdFo )(|cos|xra 则有：则有： （ 的符号由正向的规定确定）。的符号由正向的规定确定）。 cos其中其中 是质点与是质点与 点连线与质点与重心连线之间点连线与质点与重心连线之间的夹角。又假设质点与线状物（重心）距为的夹角。又假设质点与线状物（重心）距为 ，a 0 x【例

37、【例3-64】设长度为】设长度为l，质量为，质量为m的均匀细棒，其垂直的均匀细棒，其垂直平分线上距此棒距离为平分线上距此棒距离为a处，有一质量为单位处，有一质量为单位1的质点的质点P.试求细棒对质点的引力试求细棒对质点的引力.2l 2lx x+dxxyOP（图（图3-293-29）分析分析-按照图示设坐标系，按照图示设坐标系，由于对质点由于对质点P的引力方向指的引力方向指向纵轴的负方向，所以线向纵轴的负方向，所以线段段 与与y轴夹角余弦是轴夹角余弦是负值，即负值，即 。Px)(cosxra 注意到注意到22)(xaxr 即有即有dxxalGmaxradFdFdFxy2322o)()()( 引力

38、微元为引力微元为:【P208-10】设】设 y=f (x)在在0,1上非负连续上非负连续 （1）证明存在）证明存在 x0 (0,1)，使得在，使得在0,x0上以上以f (x0)为高的矩形面积，等于在为高的矩形面积，等于在x0,1上以上以y=f (x)为曲边的曲为曲边的曲边梯形面积边梯形面积 （2）又设）又设f (x)在在(0,1)内可导，内可导， ，证，证明（明（1）中的）中的x0是唯一的是唯一的xxfxf)(2)( 提示提示：（：（1）考虑辅助函数考虑辅助函数 1)()()(xdttfxxfxF（2）考虑上述辅助函数的导函数。）考虑上述辅助函数的导函数。【P208-11】设抛物线】设抛物线

39、L： 确定确定常数常数a、b的值，使得的值，使得 （1）L与直线与直线 y=x+1相切；相切； （2）L与与 x 轴所围图形绕轴所围图形绕 y 轴旋转所的旋转体的体轴旋转所的旋转体的体积最大积最大),0, 0(2 baabxy分析提示：满足第一个条件，可以消解掉一个参数，分析提示：满足第一个条件，可以消解掉一个参数，也就是建立起两个参数之间的关系。于是所给的抛也就是建立起两个参数之间的关系。于是所给的抛物线函数可以只保留一个参数。比如说参数是物线函数可以只保留一个参数。比如说参数是b.利用旋转体体积的积分公式，积分得到体积公式中利用旋转体体积的积分公式，积分得到体积公式中含有含有b作为一个变量

40、。于是以作为一个变量。于是以b作为自变量，求出使作为自变量，求出使体积最大的点（最值点）。体积最大的点（最值点）。【P209-12】求曲线】求曲线 的一条切线，使的一条切线，使得该切线与直线得该切线与直线 x=2,x=6 及曲线及曲线 y=lnx 所围成的图形所围成的图形面积面积A最小最小ln ()yxx2626【P209-13】设】设n为正数，且为正数，且 试求试求n的值的值lim(),xxxnnxxedxnx 2 24 41 10 0【P209-14】若】若 f (x)、g(x) 都在都在a,b上可积，证明上可积，证明（此不等式称为柯西（此不等式称为柯西-施瓦茨不等式）施瓦茨不等式）. )

41、()()()(222 bababadxxgdxxfdxxgxf).()11()(1 , 0)1()()1(1 , 01 , 0)(101 ffkdxxfxekfxfkx ），使得），使得（证明至少存在一点证明至少存在一点满足满足）内可导，）内可导，连续，在（连续，在（在在设设附加题附加题1提示：考察被积函数提示：考察被积函数)()(1xfxexFx 的导函数，的导函数，111( )( )( )( )xxxFxef xxef xxefx1 ( )(1)( )xef xxxfx 若若0)( F，即有，即有)1)()( ff。注意到。注意到)1()1(fF ，以及由积分中值定理，存在，以及由积分中值

42、定理，存在)1, 0(ka )()()1(10aFdxkaFfk 。考虑罗尔定理即得结论。考虑罗尔定理即得结论。)()1()( ff （即（即 ）)()()()()(xgxfxfexFxg 0)()()( gff 有了大量关于导数的计算，应该熟悉这样一个有了大量关于导数的计算，应该熟悉这样一个关系，假设在一个导出的等式中同时有关系，假设在一个导出的等式中同时有 。ff ,那么那么“很可能很可能”与指数函数和对数函数相关。与指数函数和对数函数相关。)()()(xgexfxF 例如设有函数例如设有函数，对其求导，对其求导0)( F如果有如果有，那么就会有下面等式：，那么就会有下面等式：熟悉这些关系

43、，对于思考一些问题会有参考意义。熟悉这些关系，对于思考一些问题会有参考意义。 由此可见，前面那道题之所以能考虑到被积函由此可见，前面那道题之所以能考虑到被积函数，也不全是被逼无奈。数，也不全是被逼无奈。 4220.)(.1716) 2(,arctan21)2()(dxxffxdttxtfxfx求求且且，连连续续设设函函数数222=(2) ( )2( )( )xxxxxxxu f u duxf u duuf u du )arctan21(2x1)2()4()(42 FFdxxf2 x将将代入上式，即得代入上式，即得解解.附加题附加题2(2011年本部期末考试第五题年本部期末考试第五题)txu 2

44、dttxtfxx 02)2(arctan21做代换做代换，注意积分上下限的变换，得，注意积分上下限的变换，得)()(22xxfduufxx 41xx两边求导，计算可得两边求导，计算可得3.6 反常积分（暇积分）反常积分（暇积分）1.无穷区间的反常积分无穷区间的反常积分2.无界函数的反常积分无界函数的反常积分3.反常积分的收敛判别法反常积分的收敛判别法引言引言-问题的提出问题的提出引言引言-问题的提出与解决的思路问题的提出与解决的思路 前面所讨论的定积分都要求满足两个条件：一前面所讨论的定积分都要求满足两个条件：一是被积函数有界，二是积分区间为有限区间。总之是被积函数有界，二是积分区间为有限区间

45、。总之一句话，就是要求某种一句话，就是要求某种“有限性有限性”的限制。的限制。 但是在与现实有关的理论模型中，人们会经常遇到但是在与现实有关的理论模型中，人们会经常遇到与无限有关的积分。比如说，摆脱星球引力的初始速与无限有关的积分。比如说，摆脱星球引力的初始速度问题；无界区域的面积问题等等。度问题；无界区域的面积问题等等。 既然与无限有关，很容易想到，解决这些问题的既然与无限有关，很容易想到，解决这些问题的核核心，还是极限方法。其实，所谓反常积分问题，不过心，还是极限方法。其实，所谓反常积分问题，不过是一个函数（上、下限变化的积分）的极限问题。是一个函数（上、下限变化的积分）的极限问题。 当然

46、，讨论极限，就必然涉及到是否存在极限的当然，讨论极限，就必然涉及到是否存在极限的 问题。敛散性判断就是重要内容，不仅仅只是计算。问题。敛散性判断就是重要内容，不仅仅只是计算。【例【例3-65】自地面垂直向上发射火箭，火箭质量为】自地面垂直向上发射火箭，火箭质量为m，试计算将火箭发射到距离地面的高度为试计算将火箭发射到距离地面的高度为h时所作的功，时所作的功，并由此计算初速度至少为多少时，才能使火箭超出地并由此计算初速度至少为多少时，才能使火箭超出地球引力范围？球引力范围？1.无穷区间上的反常积分无穷区间上的反常积分 （1）引例）引例- 力学的发展使人们认识到离开地球飞力学的发展使人们认识到离开

47、地球飞向太空，必须有能力制造出很快的速度才行。于向太空，必须有能力制造出很快的速度才行。于是很早就有人考虑了摆脱地球引力的问题，是很早就有人考虑了摆脱地球引力的问题， 下面就讨论所谓第二宇宙速度是怎么得来的。下面就讨论所谓第二宇宙速度是怎么得来的。分析分析-根据万有引力定律，只要有限距根据万有引力定律，只要有限距离之内，地球的引力总是存在的。离之内，地球的引力总是存在的。这时静止的物体就依然会这时静止的物体就依然会“落落”向向地球。由功能转化原理，所谓摆脱地球。由功能转化原理，所谓摆脱地球引力，就是物体初速所产生的地球引力，就是物体初速所产生的动能，足以将物体送到无穷远处。动能，足以将物体送到

48、无穷远处。也就是其动能，与克服地球引力将也就是其动能，与克服地球引力将物体送到无穷远处所做的功要相等。物体送到无穷远处所做的功要相等。ORx2)(xMmGxF 220mvE 于是该问题的核心就是求变力作功。但是积分区间于是该问题的核心就是求变力作功。但是积分区间却是却是 。实际上这里需要解的是如下方程：。实际上这里需要解的是如下方程：, RWE dxxMmGmvR 2202即即于是产生了无穷区间的积分是如何定义的问题。于是产生了无穷区间的积分是如何定义的问题。 （2）无穷区间积分的定义）无穷区间积分的定义-反常积分（旧称广义积分）反常积分（旧称广义积分） 反常积分的收敛与发散；反常积分的收敛与

49、发散； 在整个数轴上反常积分的定义及其敛散性；在整个数轴上反常积分的定义及其敛散性； 几个记号的约定：几个记号的约定： axFF| )()(、 )(xF、等等。等等。 有了上述定义，求所谓第二宇宙速度，其核心就有了上述定义，求所谓第二宇宙速度，其核心就是前一问题所得结果在是前一问题所得结果在 趋向于正无穷时的极限。趋向于正无穷时的极限。即求解方程：即求解方程：h2022lim2R hRRhmvGMmGMmdxdxxx（略）。（略）。2022lim2R hRRhmvGMmGMmdxdxxxRGMmhRRGMmxGMmhhRRh1)1lim1(| )(lim gRm gRvgRv2,2020 于是

50、有于是有简单计算可得：简单计算可得：) skm(2 .11 【例【例3-66】计算】计算 .1,1,120202xdxxdxxdx【例【例3-67】计算】计算 为常数为常数. 00, pdttept【例【例3-68】讨论】讨论 （p为任意实数）的敛散性为任意实数）的敛散性. 11dxxpOyxy=f (x)a( (图图3-323-32） 反常积分的几何反常积分的几何意义：见右侧图意义：见右侧图示。其实这也启示。其实这也启发考虑无界函数发考虑无界函数的反常积分。的反常积分。（3）例题计算与说明）例题计算与说明附加的例：计算反常积分附加的例：计算反常积分 12)1(xxdxI解解设设txtan ，

51、则则 当且即当当且即当 。x2 t于是于是dttttttdtI 24242sincos) 1(tantansec 2ln21 注注1.反常积分的计算过程，也一样可以做变量代换、反常积分的计算过程，也一样可以做变量代换、分部积分。特别是变换之后成为定积分了，说明分部积分。特别是变换之后成为定积分了，说明原来的反常积分是收敛的（如上附加的例子）。原来的反常积分是收敛的（如上附加的例子）。注注2.另外，上题还有其它变换方式，如令另外，上题还有其它变换方式，如令 。不妨考虑一下其计算的结果。看看需要注意点什不妨考虑一下其计算的结果。看看需要注意点什么。么。tx 2【例【例3-69】有一热电子】有一热电

52、子e-从原点处的阴极出发（图从原点处的阴极出发（图3-33），射向），射向x=b处的极板，设飞行速度处的极板，设飞行速度v与飞过的距离与飞过的距离的平方根成正比，即的平方根成正比，即其中其中k为常数，求热电子为常数，求热电子e-从阴极到极板飞行的时间从阴极到极板飞行的时间T.xkdtdx xbx 0（图（图3-33）2.无界函数的反常积分无界函数的反常积分（1）引例）引例分析分析-在这个问题中，给出了速度函数和位移，求在这个问题中，给出了速度函数和位移，求所需要的时间。如果速度为常数时，可以直接所需要的时间。如果速度为常数时，可以直接由速度的倒数乘以位移，即可得到所需的时间。由速度的倒数乘以位

53、移，即可得到所需的时间。由于速度是随着位移变化的，因此求解所需时由于速度是随着位移变化的，因此求解所需时间便是一个积分问题。间便是一个积分问题。xkdxdt 其时间微元是：其时间微元是：；积分区间为；积分区间为0，b。但是，被积函数在但是，被积函数在0点处是没有定义的，并且点处是没有定义的，并且0点是被积函数的第二类间断点。函数在这点点是被积函数的第二类间断点。函数在这点附近无界。这种情况下，唯一可以考虑的就附近无界。这种情况下，唯一可以考虑的就是是变下限积分的极限，既考虑变下限积分的极限，既考虑)lim(22limlim000 bkxkxkdxbb【例【例3-70】计算】计算.022 axa

54、dx【例【例3-72】讨论积分】讨论积分 的敛散性的敛散性. 112xdx【例【例3-71】计算】计算.)1(12032 dxx（2）无界函数反常积分（亦称暇积分）的定义）无界函数反常积分（亦称暇积分）的定义说明：函数的说明：函数的奇点奇点概念；关于被积函数的奇点存概念；关于被积函数的奇点存在于积分区间端点单侧或双侧的反常积分；关在于积分区间端点单侧或双侧的反常积分；关于函数奇点存在于积分区间内部的反常积分。于函数奇点存在于积分区间内部的反常积分。注：后面两例表注：后面两例表明，明，积分时要积分时要特别注意积分特别注意积分区间内的奇点。区间内的奇点。（3）例题计算：）例题计算： 不注意被积函数

55、的奇点，将得出错误的计算结果。不注意被积函数的奇点，将得出错误的计算结果。3.反常积分的收敛比较判别法反常积分的收敛比较判别法 从定义不难看出，所谓反常积分，其实就是一类从定义不难看出，所谓反常积分，其实就是一类特殊函数在某点处的极限（包括考虑两侧极限）。特殊函数在某点处的极限（包括考虑两侧极限）。 然而，求极限，都是根据具体情况运用不同的方然而，求极限，都是根据具体情况运用不同的方法，并没有固定的计算法则。更重要的是，很多情法，并没有固定的计算法则。更重要的是，很多情况下，极限是不存在的。所以，判断极限是否存在，况下，极限是不存在的。所以，判断极限是否存在，在高等数学中，便有十分突出的重要性

56、。在高等数学中，便有十分突出的重要性。 当一个函数是由变限积分所表示的时候，由于其可当一个函数是由变限积分所表示的时候，由于其可能无法表示为初等函数，寻找判定其极限是否存在的能无法表示为初等函数，寻找判定其极限是否存在的方法，就有很明显的意义了。这里，我们仅介绍最简方法，就有很明显的意义了。这里，我们仅介绍最简单的，也是比较直观的比较判别法。单的，也是比较直观的比较判别法。（1）三个判别定理）三个判别定理定理定理1（3-7，无穷区间的比较判别法），无穷区间的比较判别法）注：由于可以将函数看成是非负的，所以其在任何注：由于可以将函数看成是非负的，所以其在任何有限区域的积分也是非负的，并且随着积分区间的有限区域的积分也是非负的，并且随着积分区间的延长，变上限积分将递增。根据递增有界必有极限延长，变上限积分将递增。