千锤百炼-高考数学100个热点问题——第48炼多变量表达式范围数形结合

1、第48炼多变量表达式的范围一一数形结合-1 -# -、基础知识:1、数形结合的适用范围：（1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组（2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等）2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条 件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩。、典型例题例1 :三次函数f x = x3 bx2 cx d b,c,dR在区间丨-1,21

2、上是减函数，那么b c的取值范围是（15(15、(151(1512丿B.2丿C.2 一D.2）A.函数的条件得到b,c的关系，减思路：先由f' x =3x2 2bx c，所以 1-1,2 时,通过二次函数图像可知:2b-c-3_0 丄、个|由关4b c 12 乞 0于b,c的不等式组可想到利用线性规划求得15过作图可得b c -2f x - 0恒成立,b - c的取值范围,答案：D如果实数m,n满足不等式组f m6m 23f n8n ：0，那么m2 n2的取值范围m 3例2 :设f x是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f 1 - x f V x =0恒成立,是（ ）A. 3,7B

3、. 9,25C. 13,49D. 9,49-# -2 2f 1 - x $：； f 1 x = 0 可思路：首先考虑变形 f m -6m 23 f n -8n ： 0 ,若想得到m,n的关系，那么需要 利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小。由得：f1-x=-f1x，所以f x关于1,0中心对称，即一f x = f 2 -x，所以:f m22-6m 23 汁 f n -8n ：0二 f m'2-6m 23 :-2n 8n2 2 2 2，利用 f x 单调递增可得：m -6m 23 ： 2 - n 8n= m - 3 j 亠n-4 : 4，所以22m3 n4: 422m,n

4、满足的条件为【“，所求m n可m >3视为点 m,n到原点距离的平方，考虑数形结合。将作出可行域，为以C 3,4为圆心，半径为2的圆的右边部分（内部），观:八及察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是所以-3-#-2 2m n 13,49答案：C-#-#-例3：已知函数y二f x是R上的减函数,函数 y二f x-1的图像关于点 1,0对称，若-#-#-实数x, y满足不等式f x2-2x空-f 2y-y2 ，且1乞x空4，贝y -的取值范围是-#-调递减的性质可将所解不等式进行变形:思路：从所求出发可联想到x,y与0,0连线的斜率，先分析已知条件，由f x-1对称性可知f x为奇函数，再结

5、合单2 2 2 2f x -2x _-f 2y-y = f x -2x 乞 f y -2y= x2-2x_y2-2y，即 x2 - y2 -2x-y -0 ,所以有-#-#-x-y x，y-2 -0。再结合 仁x空4可作出可行域（如图），数形结合可知丿的范围是x-1 1_ 2,答案:-#-1 3 1 2例4 :已知二，：是三次函数fx x ax 2bx a,b R的两个极值点，且32X0,1 ,11,2 ，则二一的取值范围是(a 1A.(1 JB.C.1 1_2,4D.2、2思路：由极值点可想到方程f x = 0的根，2f x = x ax 2b，依题意可得：-#-#-2x ax20的两根分别

6、在0,1 , 1,2中，由二次函数图像f (0)a°>0ib -2可知:<f (1 )c0 二 <a +2b +1 c0 ，且所求仝二可视Ia 1f (2)>0 l4+2a+2b>0a,b与定点1,2连线的斜率，所以想到线性规划，通过作出b 2(1、可行域，数形结合可知的范围是-,1a-1W 丿答案：A 例5：已知实系数方程 x3 ax2 bx c=0的三个根可以作为一椭圆，一双曲线，一抛物线的离心率，则-的取值范围是a思路：以抛物线离心率为突破口可得x =1是方程的根，设f x = x3 ax2 bx c，则 f 1 = 1 a b c =0，从而-

7、a b1，进而因式分解可知X -1 i(x2 a1 x1 ab=0，所以椭圆与双曲线的离心率满足方程 x a1x1a 0， 设2g x二x a 1 x 1 a b，则由椭圆与双曲线离心率的范围可知g x =0 根在g 00 1a b 00,1，一根在1,=，所以=，由不等式组想到利用线性规划g(1)£0I2a + b+3c0求b的范围，即可行域中的点与原点连线斜率的范围。通过作图即可得到-2, -1aa.2例6:已知三个正实数 a,b,c满足b ca+c兰2b,a cb+c兰2a，则-的取值范围是 baa思路：考虑将条件向与 有关的式子进行变形，从而找到关于一的条件：L“_ acb

8、: a c _ 2b =1 :+ -2bb，可发现不等式组只与aac2aba ： b c< 2a 二1+ <Ibbbb'则不等式组转化为:bb即-y j vO，所求恰好为x的范围，作出可行域即可得到 x的范围为'-,313 2丿答案：但313 2丿x _0,y 一0例7 :设P是不等式组mp-1,1 ,I ，x - y _ -1表示的平面区域内的任意一点，向量x y _3:,1,若乩烏鳥,则一的最大值为（）A. 4B. 3C. 5D. 6思路：本题的变量较多，首先要确定核心的变量。题目所求为,的表达式。所以可视其为核心变 量，若要求得天-丄的最值，条件需要关于严的

9、不等式组。所以考虑利用 x, y与的关系将原 先关于x, y的不等式组替换为关于 ，的等式组 即可-5-，代入到约束条件中可得:y ="+ '王0 ，作出可行域即可解出的最大J _ -1233值为4答案：A例&若实数x, y满足条件x2 - y2=1，则2y的取值范围是x考虑所求以原式变形为：2 2x - y2x1，可视为关于丄的二次函数，设xyt，其几何含义为x-# -# -由sin厂 -1,1可知K的取值范围a -2c思路：由a b =c2,c0，可建立直角坐标系，建立圆模型:x2y22二C，则圆上的点x,y与0,0连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于

10、渐近线的斜率，即2 2- i 1,1，则 f t = -t2t 1 = -' 2 2,2答案：-2,2» »1sin 0小炼有话说：本题也可以考虑利用三角换元。设x=盂，宀乔，从而原式转化2 2 2为：cos v 2 tan v cos v -1 sin v 2sin v - - sin v -12，2-sinr-12的范围为-2,2例9:（2016,天津六校联考）已知实数 a,b, c满足a2 b2二c2,c = 0，为a,b，所求分式可联想到斜率，即k= 可视为a,b , 2c,0两点连线的斜率。数a 2c形结合可得：过 2c,0 的直线丨与圆有公共点时斜率k的

11、取值范围，设I :y =k(x 2c)n kxy 2kc = 0，即 dO_ = 2炮 兰 c，解得：k Jk2 +1答案：一彳弓K例10: （2012江苏）已知正数 a,b,c满足：5c3a冬b乞4c - a,cln b _ a cln c，则-的a取值范围是思路：可先将所给不等式进行变形：bcln b _ a cln c二 cln a = cb Inc3a b , a5c-3a_b_4c-a=54-c c-的关系，为c从而将所给不等式转化为关于ab了视觉效果可设x , y，则已知条件为:c cln y _ x =I« y 3 5 3xy 兰 4 一 xbc =_y a _ x，即可行域中的点x,y与0,0连线的斜率。数形结合即可得到斜率的范围是le,7 ,其中-=7为Ail?与原点连x22j线的斜率，=e为过原点且与曲线 y=ex相切的切线斜率x答案：l.e,71c，而所求为-a小炼有话说：本题也可以用放缩的方法求得最值，过程如下:因为a,b,c 0申c；5c 3a _ b _ 4c a5c - 3a _ 4c - a2a.b 乞4ca = b 4 E 1 乞4 21 =7a a