倒立摆校正装置的设计

1、精选优质文档-倾情为你奉上自动控制原理课程设计报告 倒立摆系统的控制器设计指导教师：谢昭莉学 生： 冯莉学 号： 专 业： 自 动 化班 级： 2009 级 3 班设计日期： 2011.12.122011.12.23重庆大学自动化学院2011年12月重庆大学本科学生课程设计任务书课程设计题目倒立摆系统的控制器设计学院自动化学院专业自动化年级已知参数和设计要求：M：小车质量1.096kgm：摆杆质量0.109kgb：小车摩擦系数0.1N/secl：摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI：摆杆惯量0.0034kgm2利用根轨迹法设计控制器,使得校正后系统的性能指标满足:调整时间最大超调量利用频率特

2、性法设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：(1)系统的静态位置误差常数为10；(2)相位裕量为 50°；(3)增益裕量等于或大于10 分贝。设计或调整PID控制器参数，使得校正后系统的性能指标满足：调整时间最大超调量学生应完成的工作：1、利用设计指示书中推导的模型及任务书中的实际参数，建立小车倒立摆的实际数学模型。2、进行开环系统的时域分析。3、利用根轨迹法设计控制器，进行闭环系统的仿真分析。4、利用频域法设计控制器，进行闭环系统的仿真分析。5、设计PID控制器，进行闭环系统的仿真分析。6、所设计的控制器在倒立摆系统上的实时控制实验。7、完成课程设计报告。参考资料：1、固高科技有

3、限公司.直线倒立摆安装与使用手册R1.0，20052、固高科技有限公司. 倒立摆与自动控制原理实验，20053、固高科技有限公司. 固高MATLAB实时控制软件用户手册，20054、Matlab/Simulink相关资料5、涂植英，陈今润. 自动控制原理. 重庆：重庆大学出版社，20056、胡寿松. 自动控制原理. 北京：科学出版社，20017、Katsuhiko Ogata.现代控制工程. 北京：电子工业出版社，2003课程设计的工作计划：1、布置课程设计任务；参考相关资料，消化课程设计内容，进行初步设计（3天）；2、按课程设计的要求进行详细设计（4天）；3、进行实时控制实验，并按课程设计的

4、规范要求撰写设计报告（2天）；4、课程设计答辩，实时控制验证（1天）。任务下达日期 2011 年 12 月 12 日完成日期 2011 年 12 月23 日指导教师 （签名）学 生 （签名）目录1倒立摆系统的研究背景和意义12小车倒立摆系统模型的假设13符号说明2 4模型的建立24.1牛顿力学法系统分析2 4.2拉氏变换后实际系统的模型65开环响应分析76根轨迹法设计超前校正装置函数96.1校正前倒立摆系统的闭环传递函数的析96.2系统稳定性分析9 6.3期望闭环极点的确定10 6.4 超前校正装置传递函数的设计11 6.4.1校正参数计算11 6.4.2控制器的确定13 6.4.3校正装置的

5、改进13 6.4.4Simulink仿真157直线一级倒立摆频域法设计17 7.1系统频域响应分析177.2频域法控制器设计197.2.1控制器的选择197.2.2系统开环增益的计算197.2.3校正装置的频率分析207.2.4控制器转折频域和截止频域的求解227.2.5校正装置的确定227.2.6Simulink仿真248直线一级倒立摆的PID控制设计258.1PID简介258.2PID控制设计分析258.3PID控制器的参数测定269总结与体会299.1总结299.2体会2910参考文献30摘要倒立摆是一种典型的非线性，多变量，强耦合，不稳定系统，许多抽象的控制概念如系统的稳定性、可控性、

6、系统的抗干扰能力等都可以通过倒立摆直观的反应出来；倒立摆的控制思想在实际中如实验、教学、科研中也得到广泛的应用；在火箭飞行姿态的控制、人工智能、机器人站立与行走等领域有广阔的开发和利用前景。因此，对倒立摆系统的研究具有十分重要的理论和实践意义。本文首先将直线倒立摆抽象为简单的模型以便于受力分析进行机理建模，然后通过牛顿力学原理进行分析，得出相应的模型，进行拉氏变化带入相应参数得出摆杆角度和小车位移、摆杆角度和小车加速度、摆杆角度和小车所受外界作用力、小车位移与小车所受外界作用力的传递函数，其中摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： (1)即我们在本次设计中主要分析的系统的传递函数。然后从时域角

7、度着手，分析直线一级倒立摆的开环单位阶跃响应和单位脉冲响应，利用Matlab中的Simulink仿真工具进行仿真，得出结论该系统的开环响应是发散的。最后分别利用根轨迹分析法，频域分析法和PID控制法对倒立摆系统进行校正。针对目标一：调整时间，最大超调量，选取参数利用根轨迹法进行校正，得出利用超前校正环节的传递函数为： (2)针对目标二：系统的静态位置误差常数为10；相位裕量为 50°；增益裕量等于或大于10 分贝。通过频域法得出利用超前校正环节的传递函数为： (3)针对目标三： 调整时间，最大超调量，设计或调整PID控制器参数，得出调整后的传递函数为： .(4)关键词：直线一级倒立摆

8、根轨迹分析频域分析PID控制专心-专注-专业1 倒立摆系统的研究背景和意义倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案。由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人

9、控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。1平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。倒立摆系统中最基本、经典的是平面直线一级倒立摆，它是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载一级摆体组件。2 小车倒立摆系统模型的假设1、假设空气阻力为0；2、假设系统各部分连接处的摩擦力分布均匀；3、假设摆杆的质量分布均匀；4、皮带传动时没有弹性；3 符号说明1、 小车质量 2、 摆杆质量 3、小车摩擦系数 4、 摆杆转

10、动轴心到杆质心的长度5、摆杆惯量6、加在小车上的力7、小车位置8、摆杆与垂直向上方向的夹角9、摆杆与垂直向下方向的夹角4 模型的建立4.1牛顿力学法系统分析通过以上假设，将倒立摆抽象为如图所示的系统 图4-1-1、 直线一级倒立摆物理模型对系统进行受力分析，如图4-1-2小车和摆杆的受力图。其中，N 和P 分别为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向是确定的，矢量方向定义如图2所示，规定水平向右为矢量正方向。2 图4-1-2 直线一级倒立摆受力分析首先对小车水平方向所受的合力和对摆杆水平方向的受力进行分析，得到系统的第一个运动方程。对小车水平方向

11、所受的合力进行分析，得到如下方程： （4-1-1）对摆杆水平方向的受力进行分析，得到如下面方程： （4-1-2）即： （4-1-3）把这个表达式代入式(4-1)中，得到系统的第一个运动方程： （4-1-4）然后通过对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到系统的第二个运动方程。对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到方程如下： （4-1-5） （4-1-6）力矩平衡方程如下： （4-1-7）此方程中力矩的方向，如图所示 , 则，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和N，得到第二个运动方程： （4-1-8）设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即，则可以进行近似认为

12、。用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下3： （4-1-9）假设初始条件为0，对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到： （4-1-10）由于输出为角度 ，求解方程组的第一个方程，可以得到： （4-1-11） （4-1-12）令v = x，则有： （4-1-13）把上式代入方程组的第二个运动方程，得到：（4-1-14）整理后得到传递函数： （4-1-15）其中。4.2拉氏变换后实际系统的模型本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数：（4-2-1）摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： （4-2-2）摆杆角度和小车

13、所受外界作用力的传递函数： （4-2-3）5 开环响应分析当输入为小车加速度时，分析摆杆角度与小车位置的脉冲响应和阶跃响应。由式（4-2-1）、（4-1-2）或者通过受力分析物理公式均可得到小车位移和小车加速度的传递函数： （4-2-4）利用Matlab中的Simulink仿真工具进行仿真4，仿真系统的结构如图5-1 图5-1 摆杆角度与小车位移的阶跃响应和脉冲响应仿真结构图摆杆角度的阶跃响应和脉冲响应分别如图5-2、图5-3所示。 图5-2、 摆杆角度的阶跃响 图5-3、 摆杆角度的脉冲响应小车位置的阶跃响应、脉冲响应分别如图5-4、图5-5所示。 图5-4、 小车位置的阶跃响 图5-5、

14、小车位置的脉冲响应从图5-2图5-5可以看出，输入加速度时，摆杆角度及小车位移的阶跃响应和脉冲响应都是发散的。倒立摆系统不稳定，需要进行校正。 6 根轨迹法设计超前校正装置函数目标1：利用根轨迹法设计控制器,使得校正后系统的性能指标满足:调整时间： 最大超调量：6.1校正前倒立摆系统的闭环传递函数的分析本系统采用小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，得出的传递函数：即式（4-2-2）。6.2系统稳定性分析通过MATLAB编程求解其开环零极点，由结果可知该系统不存在开环零点，仅有两个绝对值相等的开环实极点，分布情况如图6-2-1。 图6-2-1、未校正的倒立摆系统根轨迹可以看出闭环传递

15、函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左到位于原点的零点处，这说明无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。6.3 期望闭环极点的确定在此对超调量留有一定余量，令 。由最大超调量 （6-3-1）可以得到， 图6-3-1、 期望极点与超调量的关系由，结合图9可以得到：， (弧度)，其中，为位于第二象限的极点和O点的连线与实轴负方向的夹角。又由（6-3-2）对调节时间留有一定余量，取其为，可以得到：，再由式4-3可以得到期望闭环极点。 （6-3-3）代入数据后，可得期望的闭环主导极点。6.4 超前校正装置传递函数的设计要使系统稳定，未校正系统

16、的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设串联超前校正装置的传递函数5 （6-4-1）6.4.1校正参数计算 计算超前校正装置应提供的相角，已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为：（6-4-1-1）因此，校正装置提供的相角为： （6-4-1-2）又已知 ，对于最大的值的角度可由下式计算得到：（6-4-1-3）图6-4-1-1、求解校正装置零极点原理图如图4-3所示，其中的角度都已求出，线段sO的长度即为自然频率的大小。故可用正弦定理计算，求解超前校正装置的零点和极点： （6-4-1-3）6.4.2 控制器的确定校正后系统的开环传递函数为： （6-4-2

17、-1） 由幅值条件，并设反馈为单位反馈，所以有（保留五位有效数字）。对相应参数保留五位有效值，得到了系统的超前校正控制器： （6-4-2-2）6.4.3校正装置的改进通过Matlab编程作图，得到校正后系统的跟轨迹，如图6-4-3-1所示，校正后系统的阶跃响应，如图6-4-3-2所示：图6-4-3-1、校正后系统的根轨迹可以看出，系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分，选取适当的 K 就可以稳定系统。用MATLAB做出单位阶跃响应图如图6-4-3-2所示： 图6-4-3-2、校正后系统的阶跃响应图观察性能指标，得出，即调节时间符合要求，而超调量比较大，需要进一步改进。同时可以看出，系统有较好的

18、稳定性，但系统存在一定的稳态误差，并且超调过大，为使系统瞬态响应满足要求，采用增加阻尼比的方法 ，重复上面的设计方法，重新设计，直到系统的响应满足要求。通过多次调节后，取时，系统稳定且满足设计要求，得出校正后的超前校正装置的传递函数为： （6-4-3-1）改进后的阶跃响应图如图6-4-3-3所示：图6-4-3-3、改进后系统的阶跃响应图可以得出，满足性能指标。6.4.4 Simulink仿真利用Simulink建立含有超前校正装置的系统结构图进行仿真比较第一次校正后的阶跃响应和改进后的阶跃响应效果。图6-4-4-1、系统结构图图6-4-4-1、第一次校正后的阶跃响应图图6-4-4-2、改进后的

19、阶跃响应图通过比较图6-4-4-1和图6-4-4-2可以得出结论：第一次校正后的阶跃响应，虽然调节时间比较理想，但超调量明显过大，也存在一定的稳态误差。通过改进后的阶跃响应图可以看出，改进后的各个指标均能达到要求，而且也较为理想。7 直线一级倒立摆频域法设计目标2：设计控制器，使得系统的满足条件：静态位置误差常数为10相位裕量为增益裕量等于或大于。7.1 系统频域响应分析系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以采用以下两种方法进行分析：一种为伯德图，采用两幅分离图，一幅表示幅频特性，一幅表示相频特性；另一种是奈奎斯

20、特图，表示的是当从0 变化到无穷大时，向量 的矢端轨迹。奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性。根据式（4-2-2）我们已经得到了直线一级倒立摆的数学模型，实际系统的开环传递函数为：其中输入为小车的加速度,输出为摆杆的角速度。利用Matlab绘制系统的Bode图（图7-1-1）如下。图 7-1-1、直线一级倒立摆系统的Bode图图 7-1-2、 直线一级倒立摆系统的Nyquist图根据奈奎斯特稳定判据，由根轨迹法中零点、极点的计算可知：系统不存在零点，但存在两个极点，其中一个极点位于S平面的右半部分，另一个位于S平面的左半部分。根据

21、奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当由变化时， 曲线逆时针包围平面上点的次数等于开环传递函数右极点个数。对于直线一级倒立摆，由图11和图12可以看出，开环传递函数在S右半平面有一个极点。因此，曲线逆时针包围点的次数。而本系统的奈奎斯特图并没有逆时针包围点一圈即。因此系统不稳定，需要设计控制器来稳定系统。7.2频域法控制器设计7.2.1控制器的选择根据图5-1和图5-2可以初步观察出，给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置5为： （7-2-1-1）则已校正系统具有开环传递函数，设 （7-2-1-2）其中。7.2.2系统开环增益的计算根据稳态误差要求计算增益(7-2

22、-2-1）可以得到： （7-2-2-2）于是有： （7-2-2-3）7.2.3校正装置的频率分析利用MATLAB画出的Bode图和Nyquist图，如图7-2-3-1、图7-2-3所示。图 7-2-3-1 校正装置的Bode图图7-2-3-2 校正装置的Nyquist图可以看出，系统的相位裕量为。表明只是满足稳态误差时的系统不能满足动态性能指标的要求。根据设计要求，系统的相位裕量为，因此需要增加的相位裕量为，增加超前校正装置会改变 Bode 图的幅值曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的的相位滞后增量进行补偿。由公式：， （7-2-3-1）假设需要的最大相位超前量为。

23、由 （7-2-3-2）得： （7-2-3-3）由式（7-2-3-1），（7-2-3-3）计算可以得到值：。7.2.4控制器转折频域和截止频域的求解根据截止频率与的关系： （7-2-4-1）得：。由，得出。7.2.5 校正装置的确定由式（5-8）可以确定校正装置为： （7-4-2-2） 利用Matlab绘制校正后系统的Bode图和Nyquist图，分别如图7-2-5-1和图7-2-5-2所示。图 7-2-5-1 校正后系统的Bode图图 7-2-5-2 校正后系统的Nyquist图从图7-4-2-1中可以看出，系统具有要求的相角裕量和幅值裕量；从图7-4-2-2中可以看出，曲线绕点逆时针一圈，与

24、校正后系统开环传递函数右极点个数相等，即。因此，校正后的系统稳定。7.2.6、Simulink仿真利用Simulink建立含有利用频域法得到的超前校正装置的系统结构图进行仿真观察系统的响应情况。 图7-2-6-1、频域法改进后的仿真图图 7-2-6-2校正后系统的单位阶跃响应从图7-2-6-2可以看出，系统校正后的阶跃响应比较稳定，且根据前面的分析可知系统校正后能达到要求的性能指标。8 直线一级倒立摆的PID控制设计8.1 PID简介PID控制器又称PID调节器，是工业过程控制系统中常用的有源校正装置，目前应用比较广泛的主要有电子式PID控制器和气动式PID控制器。在自控原理中，经典控制理论的

25、研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。但是很多场合下，不能也没有必要对控制系统建立精确的数学模型，这种情况下PID控制器的优势得以显现：结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。8.2 PID控制设计分析我们注意到，PID控制器6设计之初并不需要对被控系统进行精确的分析。为了突出PID控制的这一优势，我们采用实验的方法对系统进行控制器参数的设置，即在Matlab中利用Simulink仿真测试来确定PID控制器的参数。其系统结构框图如下所示:图 8-1-1 PID控制结构图由于，为了方便查看我们将上图进行转换，转换结果如下。图

26、8-1-2 PID控制等效结构图该图更加方便我们理解PID控制器的作用，系统的输出为其中各个参数的含义如下：通过分析上式便可以评价PID控制器控制的效果，进而得出系统性能的相关指标。主要依据图像所反映出系统性能的欠缺进行有针对性的调节，其中P反映误差信号的瞬时值大小，改变快速性；I反映误差信号的累计值，改变准确性；D反映误差信号的变化趋势，改变平稳性。8.3 PID控制器的参数测定通过刚刚的分析，我们已经得出了PID控制系统的传递函数如式（8-3-1）。（8-3-1）在Simulink环境中建立PID控制模型，之后可以根据8.2中提到的控制规律进行参数选取，进而求得合适的参数。图 8-3-1

27、PID控制系统仿真结构图双击PID控制器，选择参数进行仿真。经过多次参数选取，得到了比较合适的参数，如图8-3-2。图8-3-2、 PID参数选择仿真结果如图8-3-3所示:图8-3-3、PID调节后的阶跃响应图用MATLAB画出PID调节后的图如图8-3-4所示，得到相应的指标，符合要求。 图8-3-4、PID调节后的指标图控制效果比较理想，PID控制器的传递函数为（8-3-2）此外，还可以通过在根轨迹中增加零极点，借助SISO工具进行PID控制器的参数的选择。9 总结与体会9.1总结 本次课程设计主要是通过对倒立摆的受力分析建立相应的数学模型，首先分析系统的稳定性，然后通过自己在课堂上所学的校正方法对系统进行校正。校正方法有很多种，本文中主要选用超前校正装置，并对在本文中分别用根轨迹法和频域法对超前校正装置进行设置，得到相应