浅析“数形结合”在数学教学中的应用

1、摘 要数形结合是一种重要的教学思想方法。它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。本文从激发学生的学习兴趣、提高学生综合能力以及培养学生情操等方面分析、探讨了“数形结合”在数学教学中的应用。关键词：数、形、初等数学、数学教学AbstractThe combination of digit is an important teaching methods. It is mainly manifested in the abstract, the quantitative relati

2、onship into the appropriate geometric shapes, from the intuitive graphical features found between the number of links in order to achieve a meal of easy, simplified, Implicit significant for the purpose of simple problems to be solved. Therefore, we must attach importance to the combination of digit

3、 teaching. This paper stimulate their interest in learning, improve student ability and cultivate sentiments of students so analyzed, "the combination of digit" in mathematics teaching applications. Keywords : number, shape and Mathematics Teaching Elementary Mathematics目 录摘要1Abstract2目录31

4、、引言42、“数”“形”结合推动数学发展43、数形结合在教学中的运用4 3.1、应用“数形结合”，激发学生的学习兴趣53.2、应用“数形结合”，提高学生的能力53.2.1、“数形结合”有助于对数学知识的记忆53.2.2、应用“数形结合”，训练学生数学直觉思维能力63.2.3、应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力73.2.4、应用“数形结合”，培养学生的创造性思维能力73.3、应用“数形结合”，培养学生的良好情操83.3.1、树立现代思维意识83.3.2、树立辩证唯物主义世界观84、数形结合在解题中的运用94.1、“数”中思“形”94.2、“形”中觅“数”105、结束语11参考文献11 浅析

5、“数形结合”在数学教学中的应用1、引言数形结合是数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过理想化抽象的方法，转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，或者把关于几何图形的问题，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征。在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”“数”和“形”是数学中两个最基本

6、的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。数形结合是连接“数”与“形”的“桥”，它不仅作为一种解题方法，还是一种重要的数学思想。2、“数”“形”结合推动数学发展(1)“形”的问题可使用“数”来计算，“数”的关系可以用“形”来表现。例如解析几何中将几何问题代数化，如关于直线斜率、距离、线段定比分点等等，将“代数”与“几何”相结合起来。(2)“形”促进了“数”的概念的

7、发展，丰富了计算方法。例如无理数的计算，例如、的发现，由边长为1的直角三角形得。代数恒等式的证明如图。3、数形结合在教学中的运用当前，由于高校扩招等多方面因素的影响，造成中等职业教育生源素质下降，部分学生在学习数学时存在着种种心理障碍，表现为：（1）自信心不强。对数学抽象语言和符号一筹莫展，自叹不是学习数学的“材料”，因而自暴自弃，信心不足，造成数学学习成绩下降。（2）兴趣不浓。认为数学抽象、枯燥、复杂、运算多、逻辑推理多，缺少趣味，因而缺乏兴趣，感觉学习是一种负担，从而影响了学习的积极性。（3）智力偏低.有少数学生不仅学习基础差,而且智力偏低,没有养成良好的思维习惯,学习方法不甚得法,造成反

8、应迟钝,遗忘快。此外，教师的教学总是一成不变，一个模式，墨守成规，缺乏针对学生的具体情况、结合实际的变化，使学生不能愉快地接受知识和启动思维，从而产生了消极的学习态度。许多教师为此进行了有益的探讨，笔者在教学中通过探索和相关的实践，深深地体会到在数学教学中用“数形结合”的思想引导学生思考，用“数形结合”的技巧去训练学生解题，能够促进学生学习数学的兴趣，提高学生的思维能力。数形结合渗透在中学数学中，数形结合的观点是通过对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形的性质来反映数量间的相互关系，因此数形结合使数和形相互启发、相互补充、相互印证。3.1、应用“数形结合”，激发学生的学习兴趣数学的客观

9、存在的美感，在数与形的结合上表现得十分完美。在数与形的关系中特别引人注目的著名的“黄金分割率”，它被世人称之为和谐性的最完美的表现。“0.618”被誉为黄金数、神圣的比例、宇宙的美神。在日常生活中，人们习惯用“黄金分割”审美的观念看世界。在绘画和建筑艺术中，如达·芬奇的最后的晚餐，埃菲尔铁塔等，都用到了“黄金率”，所以，它们才有经久不衰的魅力。教师在数学教学活动中，要充分运用这些材料，引导学生领略数学的美，使学生对数学产生强烈的情感、浓厚的兴趣和探讨的欲望。诱发学生对数学美的追求心理，从而消除对学习数学感到单调、负担和惧怕的心理，产生对数学学习的兴趣和积极追求的欲望。爱因斯坦认为：“

10、兴趣是最好的老师。”培养学习数学的兴趣是克服数学学习困难的内在动力。所以，所学材料或研究对象的生动趣味有助于把学生从“要我学”转变成“我要学”的良好的学习心理，从而有可能获得最佳的教学效果。将美感渗透融合于数学教学的过程，这种审美心理活动能启迪和推动学生数学思维活动，触发智慧的美感，使学生的聪明才智得以充分发挥。“数形结合”就能起到这方面的作用。3.2、应用“数形结合”，提高学生的能力对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等。右半脑功能则偏听偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如

11、猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展。3.2.1、“数形结合”有助于对数学知识的记忆“记忆是智慧的仓库”。人的知识、经验的积累、技能的形成、技巧的熟练、思维能力的培养、事业的成就等都离不开良好的记忆能力。中等职业教育中的数学知识是基础性知识，需要牢固地记忆并掌握这些基础知识，在此基础上做到灵活应用，在整个教学过程中，这二者是相辅相成的。记忆正是掌握知识的基本手段，记忆的过程也就是知识积累的过程，同时有助于知识的深化，知识水平的提高更是要以记

12、忆为前提。有的学生面对一些数学问题束手无策，找不到解题的思路与方法，这与脑子里记忆的数学知识太少有关。只有对数学的基础知识记忆牢固，才能做到温故而知新，应用时熟能生巧，才能进一步发展数学思维，提高数学能力。教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。数轴是中学数学教材中数形结合的第一个实例，它的建立，不仅使最简单的形直线上的点与实数间建立一一对应关系，还揭示了数形间的内在联系，使实数的许多性质，可由数轴上相应点的位置关系得到形象生动的说明，也为学习具有相反意义的量、相反数、绝对值、有理数

13、运算等作好了准备。 如初一讲绝对值这一概念时，绝大多数同学都能熟练地背出它的代数定义，而对它的几何意义漠然视之，甚至时隔不久不知它还有几何意义的竟大有人在！在这之后学习含有绝对值意义的新概念时，往往感到很困难，究其原因，其实他们根本就没弄懂什么是绝对值。到底什么是绝对值？绝对值就是距离。|x|就是|x-0|，就是数轴上表示的点到（表示数0的点）原点的距离。那么解|x-3|=2这一方程，其实就是要在轴上找出所有到的距离是的点，这根本无须计算。而|x-3|+|x+2|=7的求解步骤也简化为在数轴上找出到和两点距离的和为的点，一目了然是和。3.2.2、应用“数形结合”，训练学生数学直觉思维能力在数学

14、里，存在着大量的直觉思维。这就是人们在求解数学问题时，运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论。它具有顿悟、飞跃的特征。中学教材中不论用代数方法研究几何问题，还是用几何图形研究数或式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想，要强化数形两意识的渗透和能力的培养。于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程。用数形结合的方法解题，能最直接揭示问题的本质，直观地看到问题的结果，只

15、需稍加计算或推导，就能得到确切的答案。例1.已知全集，A、B为全集I的子集，且，求集合A. 思路分析：通读全题，题目涉及了十个元素及A、B、I五个集合.若不借助图形，容易出现错误，故借助韦氏图求解集合A  解：如图1所示，5AB，故在日常的教学中，教师要注意用数形结合的方法训练直觉思维，让学生养成整体观察、检索信息、把握问题实质的好习惯。3.2.3、应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。在教学中常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知与未知之间的矛

16、盾联系，来引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。例2：判定下列图中，哪个是表示函数图像？ 分析  由=可知函数是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第1象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象教师在教学中要注意学生思维的横向推广和纵向深入，使二者有机结合以利于保证思维的流畅性，做到反应灵敏，思路畅通，联想丰富，在短时间内汇集、检索与所研究问题有关的概念与性质，随机应变，巧妙运用有关公式与定理，综合运用各模块知识。3.2

17、.4、应用“数形结合”，培养学生的创造性思维能力目前，推行素质教育已成为教育发展的主流。对学生进行综合素质和能力的培养，是建立新世纪创造性人才队伍的需要。，是思维的最高境界。只有具有创造性思维能力的人，才能在各自的领域中有所创造发明，才能推动科学技术、人类社会的向前发展。在数学教学中，教师可通过编选一些探索性的题目，让学生去研究，去探讨，去发现。让他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案，而是从问题的本身进行具体的分析，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的方法。 在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数

18、与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段。例3：  解不等式 解：设即对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支而函数y=x+1的图象是一直线 （如图） 解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是.借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果。3.3、应用“数形结合”，培养学生的良好情操3.3.1、树立现代思维意识在数学教

19、育中，通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合起来，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。在数学教学活动中，通过数与形的结合，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，可以养成多向性思维的好习惯。 在数学教学活动中，教师引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置。运用动态思维方式处理教材、研究问题，能揭示前后知识的联系与变化，培养学生的辩证思维能力，更好地把握事物的本质。3.3.2、树立辩证唯物主义世界观客观世界是一个普遍联

20、系的整体，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各种方式相互依赖着，相互制约着，相互作用着。我们从数学的发展即可揭示出：事物无不处于普遍联系之中。例如，解析几何是由代数和几何，数和形两方面的联系、变化、发展而来的。几何图形的研究，要借助于代数对方程的研究（如上文提到的借助于代数式子变换来的黄金率可用于黄金分割作图）。而对几何的研究同时亦丰富了代数的内容（如代数中函数图象就是借助于形的直观性来研究的）。代数和几何，数和形是对立的，但又是相互联系的，可以互相转化的。当引入坐标后，它们就统一于解析几何中。这样，数学教师就能用鲜活的事例，引导学生用普遍联系的观点、物质统一性的观点、对立统一的观点来全

21、面的认识客观事物的运动、变化、规律，从而对人生观、世界观正处于定型期的中职学生以良好的促进作用，帮助他们初步形成辩证唯物主义世界观。4、数形结合在解题中的运用 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面：一面是“形”的问题,引入直角坐标系，寻找其数量关系式,用“代数”来解决；另一面对代数问题,分析其几何意义,借助“形”的直观来解答。4.1、“数”中思“形”例1. 如果实数满足方程，求的最大值。解：不妨设点在圆上，圆心为,半径等于（如图）则是点与原点连线的斜率。当与相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值。因为=，=，所以=， 所以=。例2.方程，的解分别是，求 解：求上方程的解比较困难，方程的解，可