两条直线的位置关系(1)

1、教学目的】1熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条 直线的位置关系.2通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新 问题的能力以及学生的数形结合能力.3通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发 学生学习的兴趣.重点：两条直线平行和垂直的条件-难点：两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题 - 教学过程：一、复习引入：直线名称条件直线方程使用范围点斜式P(Xi，yj,ky yik(x xjk存在斜截式k，by kx bk存在两点式(xi, yi)(X2, y2)yyixXiXi X2, yiy2y2yiX2Xi截距式

2、a,b仝y ia ba 0,b0一般式A B、C RAx By C 0A 上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个 前提，结论并不存立. 当直线li和J的斜率不存在时：li/l2 两直线的横截距不相等。B2 0、讲解新课:1两条直线的平行问题|2i2如右图：设直线I,和12的斜率为k1和k2，它们的 方程分别是：h : y k,x b,;l2 : y k2x b2 .如果li l2，且bi b2，那么它们的倾斜角相等：即 i 2， tan i tan 2 .即 ki = k2.反过来，如果两条直线的斜率相等，即ki=k2，那么 tan i tan 2 .由于 0 i i8

3、0 ，02i80又 bib2， li /I2 .y k?x b2 时,综上：当直线li和l2有斜截式方程li : y kix bi; l2 : 直线li/*的充要条件是ki = k2且bi b2例题讲解例 1、两条直线 l1 : 2x 4y 7 0 ， l2 : x 2y 5 0 .求证：l1 / l2证法一：因为 l1 : y7， l2 : y x 2422所以 k1 = k2且 b b2， l1 /l2 .证法二:217 - 54 22 - 1例2、求过点A(1, 4)且与直线2x 3y 5 0平行的直线万程.2解一：直线的斜率为 -，因为所求直线与直线平行，3|(x 1)2因此它的斜率也

4、是2。根据点斜式，得到所求直线的方程是y 43即 2x解二：设与直线3y2x103y0 .50平行的直线I的方程为2x 3y0(T I 经过点 A(1, 4) ,所求直线方程为2x5),2 13 ( 4)3y 100.0,解之得 10注意：解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握；0中系数解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线Ax By CA、B确定直线的斜率，因此，与直线 Ax By C 0平行的直线方程可设为Ax By 0( C)，其中待定-(直线系)2、两条直线的垂直问题用向量关系推导：设直线l1和l2的斜率分别是k1和k2，那么直线l1有方向向量a (1,k1)，直线l2 有方向向量b

5、 (1,k2)，根据平面向量的有关知识，有rrb- ha b a b 01 1 k1 k20 即 l1 l2 k1k21所以，如果两条直线的斜率分别是k1和k2，那么这两条直线垂直的充要条件是k1k21 .注意:(1)(2)两条直线垂直的条件是斜率存在且不为 两条垂直的直线中，率一定为0用倾斜角的关系推导：如果l1 I 2，这时0如果一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜l2A21-O甲x1，否那么两直线平行设12，y屮l1/l1/八/21 /1c OxV 2乙10丙/ Xx2190°2 .因为h和l2的斜率为k1和k2，即1tan 1tan(9002)-，即 k11 或 k1 k

6、2tan 2k2甲图的特征是li与12的交点在x轴上方；乙图的特征是li与I2的交点在x 轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有：1"敞90，所以1反过来，如果k1或k1k211 902 l1k2两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之, 如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即kk21 丄k2例题讲解：例3、求过点A(2,1)，且与直线2x y 100垂直的直线I的方程.解：设与直线2x y 100垂足的直线方程为x 2y 0直线I经过点A(2,1) , 2 2 10,解得 0 -故所求的方程为x 2y 0 -例4、求与直线

7、2x 3y 5 0平行，且在两坐标轴上的截距之和为 -6的直线的方程.解：设直线的方程为2x 3y 0(5)，令x 0，那么在y轴上的截距为b ;令y 0，那么在x轴上的截距为a32由a b5得1，所求直线方程为2x 3y 10 .2 36例5、直线(a 2)x (1 a)y30与(a 1)x (2a3) y 20互相垂直,求a的值.解：T A a 2，A2a 1，B11 a， B2 2a 3且两直线互相垂直 (a 2)( a 1)(1a)(2a3)0，解之得a 1 -注意：假设用斜率来解,那么需讨论"敞三、探索研究思考1:直线11、12的方程为11:AxB1 y C10，12 :x

8、B2y C20 (A1B1C10, A2B2C20)求证：11 /12的充要条件是A邑C1A2B2C2思考2：直线11和12的一般式方程为11:A1x B1 yC10，12 :A,xB2 y C20,那么 1112A A2B-i B20 王四、课堂练习：1有以下命题：O1假设两条直线平行，那么其斜率必相等；O 2假设两条直线垂直, 那么其斜率乘积必是1 ; C5过点1,1且斜率为2的直线方程是 山 2 ;x 1同垂直于x轴的两条直线都和y轴平行。其中真命题的个数是(A )A、0B、1C、22.如果直线2xy a0和直线x1y2A、a 0,b1B、a 2bC、3.如果直线ax2y 20和直线3x

9、y32A、B、c、234.如果两直线xay2a 2 和 axyA、0B、1C、1D、4b 0平行，那么(D )a b 0D、a 2b20平行，那么a( D )3D、一 6a 1平行，那么a( D )D、15、如果直线x 2ay 1和2x 2ay 1平行，那么a A A、0B、1C、一 1D、16、 两条直线A1X B1y C1 0, A2x B2y C2 0，垂直的充要条件是A A-IA2Bl B2B1B2a A?7、假设两条直线(a2 a 6)x 12y 30与(a 1)x (a 2)y 4 a 0互相垂直,那么a的值等于 (C )A、A1A2 B1B2 0 B、A,A2 BB2 0 C、

10、1 21 D1A、3B5C、3或2或5 D、58 直线 l1 : x ay 2a 2 0 , l2 : ax y 1 a 0 -(i )假设11 / I2，试求a的值；(ii)假设h丄12，试求a的值-【教学目的】1. 明确理解直线h到12的角及两直线夹角的定义2. 掌握直线h到12的角及两直线夹角的计算公式3. 能根据直线方程求直线h到12的角及两直线夹角 重点难点：两条直线的夹角， 夹角概念的理解. 教学过程：一、复习引入：1. 特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1) 当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°,互相平行；(2) 当另

11、一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾 斜角为0°,两直线互相垂直-2. 斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之， 如果它们的斜率相等，贝尼们平行，即 hl2 & = k2且bi b2直线li、丨2的方程为li : Aix Biy Ci 0，12: A2X B2 y C20 (Ai BiCi 0, A2 B2C20)li / I2的充要条件是殂邑 C! 一A2 B2 C2两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是ki和k2，那么这两条直线垂直的充要条件是kik2 i.直线li和l2的一般

12、式方程为li : AiX Biy Ci 0，12: A2X B2 y C2 0，那么 li l? Ai A2 BiB2 0 -、讲解新课：i. 直线li到l2的角的定义:两条直线li和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线li按逆 时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做li到l2的角li 到 l2 的角 ：0°v v i80°在图中,直线li到l2的角是i, l2到li的角是2.2. 直线li到I2的夹角定义:如图，li到l2的角是i, l2到li的角是 i,当li与l2 交但不垂直时，i和i仅有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线h丄l 2时

13、，直线ll与12的夹角是2夹角：o°v <90° 说明：1 >0,2 >0,且 1+ 2k2k11k2k1kixbi,12 ： yk2x b2.如果11,那么2由图如果1那么tank1 k20,即 k1k2y不iox11tantan( 21)或 tantan( 21) tan( 21)于是tantan 2 tan 1k2 k11 tan 2 tan 11 k2k14.直线11 , 12的夹角公式：+k2 kJtan|1 k2kj2根据两直线的夹角定义可知，夹角在0 ,90范围内变化，所以夹角3 直线11到12的角的公式：tan 推导：设直线1i到12的角，

14、h ： y例1求直线11 : y2x解：由两条直线的斜率k1tan1 ( 2)11(2)正切值大于或等于 0。故可以由11到12的角取绝对值而得到11与12的夹角 公式这一公式由夹角定义可得-、讲解范例：33,12 : y x 的夹角用角度制表示22, k21,得利用计算器计算或查表可得：-71° 34'- 说明:应用了两直线夹角公式，要求学生熟练掌握 例2等腰三角形一腰所在直线11的方程是x 2y 2 0,底边所在直线12的方程是x y 10,点-2,0在另一腰上,求这条腰所在直线13的方程.解:设h，2，3的斜率分别为k1,k2,k3, h到l2的角是1, l2到l3的角是那么 k1, k21.2k2 k11 k2k11£31 .1 12因为11 ,12 ,13所围成的三角形是等腰三角形k3 k212, tan 2 tan 13. 即1将k21代入得1因为I3经过点 得:2x y 40.四、课堂练习：k3 13,解得 k3k3-2,0,斜率为即直线13的方程2.2,写出其点斜式方程为2x2),1、直线2xA、x 3y2、直线2x0绕它与x轴的交点逆时针旋转一，所得直线方程是4y 6y a3 arcta n2 2B、3x0与直线y 60 C、3xx 3 0的夹角为2arctan3C、 arctan33、直线11 ,2夹角的平分线为y x，如果h