上海春考数学参试题(含答案)

1、2022年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意:1. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码2. 本试卷共有20道试题，总分值150分.考试时间120分钟.一.填空题本大题总分值 60分本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对 得5分，否那么一律得零分.1.函数 y log2x 1的定义域是 2计算：1 i2 i为虚数单位x3函数y cos的最小正周期T.24.假设集合 A x |x| 1，集合 B x 0 x 2，那么 AB .5 .抛物线y2 x的准线方程是 .6. a 3, b 2 .假设a b 3，

2、那么a与b夹角的大小为7.过点A(4,1和双曲线2y161右焦点的直线方程为&在厶ABC中，假设AB 3,ABC 75 , ACB 60，那么 BC 等于fx.假设方程fx 0有2022个实数解,9.对于任意实数 x，函数fx满足f x那么这2022个实数解之和为.10. 一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘.假设每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，那么出现单词"monkey 的概率为 结果用数值表示.?11以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数02轴上截取与闭区间0,1对应的线段，对折后坐标 1所对应的点与原点

3、重合再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作1311例如在第一次操作完成后，原来的坐标丄、3变成-，原来的坐标-变成1,等等4 422那么原闭区间0, 1上除两个端点外的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是 ;原闭区间0, 1上(除两个端点外)的点，在第n次操作完成后(n 1)，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 二选择题(本大题总分值 16分)本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得4分，否那么一律得零分.12在空间中，“两条直线没有公共点是“这两条直线平行的(A )充分不必要条

4、件.(B )必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件13过点P(0, 1)与圆x22x0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线答(方程是(A) x 0 .(B)1.(C) xy 10.(D) x y 10.14.函数f(x)3“ ,x 0,假设 f log 2 x, x 0.0,X。3，那么x0的取值范围是(A)X。8.(B) x00 或 x08.(C)0 x08.(D) x°0或 0X°8.15.函数 y 1.1 x2(1x0)的反函数图像是三解答题本大题总分值 74分本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸的规定区域对应的题号内写出必要的步骤16.此题

5、总分值12分如图，在斜三棱柱 ABC AEG中,AACACB ,AA|C，侧棱BBi与底面所成的2 6角为一，AA 4. 3 , BC 4 .求斜三棱柱 ABC AEG 3的体积V .CB117.此题总分值14分此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.数列 an的前n项和为Sn, a1 1，且3a“ 1 2Sn 3 n为正整数.1求数列 an的通项公式；2 记S a1 a2an.假设对任意正整数n , kS Sn恒成立，求实数k的最大值.18.此题总分值14分我国方案发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星其半径R 34百公里的中心F为一个焦点的椭圆.如图，探测器的近火星点

6、轨道上离火星外表最近的点A到火星外表的距离为8百公里，远火星点轨道上离火星外表最远的点B到火星外表的距离为 800百公里.假定探测器由近火星点 A第一 次逆时针运行到与轨道中心 O的距离为 ab百公里时进行变轨，其 中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星外表的距离精确到 1百公里.19.(此题总分值16分)此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值5分，第3小题总分值如图，在直角坐标系 xOy中，有一组对角线.长为an的正方形AnBnCnDn (n 1, 2,),其对角线BnDn依次放置在x轴上(相邻顶点重合).设an是首项为a，公差为d(d 0)的等差数列，点

7、B1的坐标为(d, 0).(1) 当 a 8, d 4 时，证明：顶点 A、A、A3不在同一条直线上；(2) 在(1)的条件下，证明：所有顶点 An均落在抛物线y2 2x上;(3) 为使所有顶点 An均落在抛物线y2 2px ( p求a与d之间所应满足的关系式.20.(此题总分值18分)此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值4分，第3小题总分值10分.设函数fn( ) sinn ( 1)ncosn ,0,其中n为正整数.4(1) 判断函数 仃()、f3()的单调性，并就 匚()的情形证明你的结论；(2) 证明： 2 f6 ( ) f 4( )cos4sin4cos2sin2；(3

8、) 对于任意给定的正整数 n,求函数fn()的最大值和最小值.2022年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继局部，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面局部的给分,这时原那么上不应超过后面局部应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分3.第16题至第20题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数4.给分

9、或扣分均以1分为单位.答案及评分标准.第1至11题每一个空格正确的给5分,否那么一律得零分.1.(1,).2. 2i.3.4. x 15.26.-3111.-47. y x 5.8.9.0.10.1x45肓.4 ；去，j为1, 2n中的所有奇数.二.第12至15题每一题正确的给 4分，否那么一律得零分.三.第16.解43题号12131415代号BCAC16至20题)在 Rt AAC 中，AC AA tan AA1C作B1H 平面ABC，垂足为H，那么 B1BH在 Rt B1BH 中，B1H BB1 sin B1BHAA, sin4 3 6.3212分1V S abc BiH 4 4 648.2

10、17.解(1)3an1 2Sn 3，a n 1an数列an(2)2时,，得ai3a n 2Sn 13.3an1， 3a21 3an 2an2).2a!3，解得0.a2an是首项为n 1ag公比为q1的等比数列.3n为正整数.Sna1(1)知,a1q10分由题意可知,对于任意的正整数，恒有，解得k数列1n单调递增,1时,数列中的最小项为必有k2即实数k的最大值为-.314分18.解设所求轨道方程为1 (ab 0)，c . a2b2 .80034,34，a 438, c 396.是b2a2c235028.所求轨道方程为2x19184435028设变轨时,探测器位于P x。,y°，那么2X

11、02y。ab 81975.1,2Xo2y。19184435028解得x0239.7，y°156.7 (由题意)10分探测器在变轨时与火星外表的距离为22(X。c)y。R 187.3.13分答：探测器在变轨时与火星外表的距离约为187百公里.14分19.证明(1)由题意可知,18,6 , A3 32, 8，641% 18 8 5k a2a,汽328 618kkA2A3，顶点A|, A2, A3不在同一条直线上(2)由题意可知，顶点 An的横坐标Xnan 112an2(n 1)2，顶点An的纵坐标yn1訐2(n1).对任意正整数n，点An xn, yn的坐标满足方程2x，所有顶点An均落

12、在抛物线y2 2x上.(3)解法一由题意可知，顶点 An的横、纵坐标分别是Xn d221)a 2(n 1) d, yn12 1)d消去n 1，可得xn押da(d a)2d为使得所有顶点An均落在抛物线y22px ( p 0)上，那么有2p,a(d a)2d解之，得 d 4p, a0.8p.a、d所应满足的关系式是：a 2d解法二点A为，y的坐标为1a,2y11a.22点A1 x1, y1在抛物线y 2px上,2 y12x1a24(2d a)12分14分16分11分X2又点A2 X2,讨2的坐标为y233 .a d,22 且点A2 x2 , y2也在抛物线上,-(a d).2a 0,把点A2 X

13、2,y2代入抛物线方程，解得a2d .13分因此，p抛物线方程为Xn又ynd la2；【a (n21 2(n 1)a-(n 1)2d2n 1 .1)dd.2所有顶点An Xn , yn落在抛物线tX上.15分a、d所应满足的关系式是：a2d .16分20.解(1) f1( )、f3()在0,上均为单调递增的函数4对于函数h() sincos ，设 12 ,1、20, ，那么4f1(1) h( 2)sin 1 sin 2cos 2 cos 1 ，sin 1 sin 2, cos 2 cos 1，f1 1 f12 ,函数f1()在(2)原式左边66442sincossincos22242sinco

14、ssinsin1sin2 2cos2 2又原式右边cos2.2 2sin2f6()f4()4 cos4 sincos2cos4 sin4cos42小cos 2(3)当n 1时，函数 仇()在0,上单调递增,40,上单调递增.4分4cos2sin2. 8 分f1 ()的最大值为人一 0 ,最小值为f1 01.4当n 2时，f21 , 函数f2()的最大、最小值均为1.当n 3时，函数f3()在 0, 上为单调递增4f3 ()的最大值为f30，最小值为f3 01 .41 2当n 4时，函数f4( )1sin2 2在0, 上单调递减，241f4()的最大值为f4 0 1，最小值为f4.11分42下面讨论正整数n 5的情形：当n为奇:数时，对任意1、20,且12 ,4fn(1) fn( 2)nsin1nsin2cosn2ncos 1 ,以及0sin 1 sin21,0cos2cos 11,nsinn1 sin 2,cosn2ncos1，从而fn(1) fn( 2)fn()在0,上为单调递增，那么4f n ()的最大值为f n0，最小值为4f4 014分当n为偶数时，一方面有f