临沂四中诊断考试数学试题

1、临沂四中临沂四中临沂四中 利临沂四中诊断考试数学试题说明：试题分为第I卷选择题和第II卷非选择题两局部，共 4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签 字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第I卷共50分一、选择题此题包括 10小题，每题5分，共50分每题只有一个选项 符合题意X 11 M x x 34 ,N x 0,x Z ,M I Nx 2A.B. 0C. 2D. x 2 x 7A /q2.幂函数fx kxa的图象过点2可，那么k13A.B.1C.D.2223.向量a(1,3),b(2, m)，假设a与a 2b垂直，那么m的值为A. 1B.1C.11 D.2

2、224.圆 x 12y1被直线x y0分成两段圆弧，那么较短弧长与较长弧长之比为A.1： 2B.1：3C.1： 4D.1： 55.等比数列an中，a36，前二项和3S304xdx，那么公比q的值为A.1B.11C. 诚 一D. 1或12226.假设函数1f x在R上可导，且满足f x xfx，那么A. 2f 1 f2 B . 2f 1f 2C . 2f 1f 2 D . f 1f 27.直线y x2 y21与双曲线x2b21 b 0有两个不同的交点，那么此双曲线离心率的范围是A. 1q 2B. '、2,C.1,D. 1/ 2 U 、 2,8.函数f x对任意x R，都有fx 6 f x

3、0,y f x 1的图象关于1,0对称，且f 24,那么f 2022A. 0 B.4 C.8 D.169.设偶函数fx Asin xA 0,0,0的局部图象如下图，KLM为临沂四中高二下开学考试等腰直角三角形，KML90o5KL1，那么f (1)的值为0A.迴41B.4C.丄D.逅441第字恵開)10.双曲线0,b的离心率为2，假设抛物线C2 ：x22py p 0的焦点到双曲线Ci的渐近线的距离为 2 ,那么抛物线C2的方程为A.x2 43B.216 3x 2cC. x 8yD.16y二、填空题：(本大题共第II卷(非选择题，共100分)5个小题，每题5分，共25分请将答案填在答题卡指定横线上

4、 )11 .函数f xex 2x a有零点，那么a的取值范围是y12.不等式组yxx,表示的平面区域的面积为9，点P x, y在所给平面区域内，那么z 3x y的最大值为13离心率为 辽 的双曲线C :三521 a 0的左焦点与抛物线 y2 mx的焦点重4合，那么实数m14.函数 f (x) xsin x , xR，那么f(£), f (1), f (§)的由大到小的排列顺序是1415. x 0, y 0 ,且x y 1，贝U的最小值为x 1 y 1三、解答题：本大题共 6小题，共75分.16. (此题总分值12分)向量 a (sin-,cosx),b (cosx, , 3

5、cosx)，函数 f(x) a b.3333(i)求函数f x的单调递增区间；(n)如果 ABC的三边a、b c满足b2 ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及函数f x的值域.217.(此题总分值12分)如图，在七面体 ABCDMN中，四边形 ABCD是边长为2的正方形,MD 平面 ABCD，NB 平面 ABCD，且 MD 2，NB 1，MB与ND交于P点.(I)在棱 AB上找一点Q，使QP /平面AMD，并给出证明;(n)求平面 BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值19.(此题总分值2x12分)椭圆E1 :2a2 y b2E2:2 x ""2 a2yb22，过E!上

6、第一象限上点P作E1的切线,交E2于A, B两点.(I)圆x22 2 ry r 上一点 P x0,y° ,那么过点方程为xx0 yy02r，类比此结论，写出椭圆2 y b21在其上18.(此题总分值12分)等差数列an的公差d 0,它的前n项和为Sn，假设S 70，且成等比数列(I)求数列an的通项公式；(n)设数列113的前n项和为Tn,求证：Tn.S.6 n 8一点P X0,y。处的切线方程，并证明(n)求证：| AP BP .20.(此题总分值13分)函数1 In x xx(I)求函数f X的单调区间;(n)假设函数f x在区间(t,t(川)如果当x 1时，不等式0)上不是单调

7、函数，求实数t的取值范围;xJ恒成立，求实数a的取值范围x 12 2x y21.(此题总分值14分)椭圆C : 一22 1 a b 0，过焦点垂直于长轴的弦长为1,a b且焦点与短轴两端点构成等边三角形(I)求椭圆的方程；(n )过点Q 1,0的直线I交椭圆于A, B两点，交直线x 4于点E ,uurum uuuuuuAQQB,AEEB.判断是否为定值，假设是，计算出该定值；不是，说明理由.临沂四中临沂四中临沂四中 利临沂四中诊断考试数学试题参考答案一、选择题BCBBD ADBCD二、填空题11., 2 2ln2 12. 12 13. 1214. f( ) f(1) f ( )15.33 5三

8、、解答题三、解答题：本大题共 6小题，共75分.16.(此题总分值12分)XXx l X向量 a sin ,cos ,b cos, , 3cos，函数 f(x) a b .3333(I)求函数f x的单调递增区间；(n)如果 ABC的三边a、b c满足b2ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及函数f x的值域.【解析】(I)二厂 一一.一丄 门: (II) ( ;, 1+: 解析：(1 )向4 42函数f(x)令2k n故函数f量.,=(si,=? .=sin (.尸(cos兰，灵;cos£),)驾,w332kn+-2，解得 1. : 1: I -:-:.V x<(2)“ 1

9、+/(x)的单调递增区间为业兀-也I 3k兀+匹(k£Z).44 f ( x)的值域为(一；,【题文】17.(此题总分值12分)17.如图，在七面体ABCDMN 中,四边形ABCD是边长为2的正方形，MD 平面ABCD ,NB 平面 ABCD，且 MD 2,NB 1, MB与ND交于P点.B(I)在棱 AB上找一点Q，使QP /平面AMD，并给出证明;(n)求平面 BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值解析:(1)当BQ1-AB时，有QP/平面AMD.3证明:因为MD平面ABCD NB平面ABCD所以MD/NB ,BPNB1QB1 丁 QB NB 丁亠亠所以,又-所以，所以在 MAB

10、中，OP/AMPMMD2QA2QA MD又 0P 面 AMD AM 面 AMD： OP/ 面 AMD.(2)以DA DC DM所在直线分别为x轴、B (2, 2, 0), C ( 0, 2, 0), M( 0,0, 2)y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 那么D( 0 , 0 , 0),UUUUUULT1),所以 CM = (0 , -2 , 2), CN = (2 ,N (2, 2,0),UULT0 , 1), DC = (0, 2 ,设平面CMN的法向量为irn1 = (x, y ,z)那么uui CM UJU CN0,所以02y 2x2x z 0所以u1= (1 ,-2 , -2 ).UU

11、 UULT又NB 平面ABCD二NB DQ BCDC DC 平面BNC二平面 BNC的法向量为n2 =DC =(0 , 2 , 0),设所求锐二面角为，那么cosurruJ42n23考点：利用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定18.(此题总分值12分)等差数列an的公差d 0,它的前n项和为Sn，假设70，且a2,a7,a22成等比数列(I)求数列 an的通项公式;(n)设数列11的前n项和为Tn,求证：一 TnS6 n解得 a1=6, d=4,或 a1=14, d=0 舍，.an=4n+2.4由I得% =2n2+4n,1 = _ u l _ 1 2n2t4n 4 血曲'-上

12、丄亠亠84n+1 n421n+3T 碁丄-丄+丄*亠-丄 "4 P2 4 3 5r r- 1n+1 n13数列Tn是递增数列，Tn36 8【思路点拨】I)由条件推导出25a1+10d=70, a7 a2能求出数列an的通项公式.(n)由(I)得 £ =2n2+4n，从而得到a22，由此求出首项和公差，从而)，由此利用裂项求和法能求出数列丄的前n项和Tn的值.19.此题总分值12分椭圆E1 :2E : X匚2 ：2a2 y_ b22，过Ei上第一象限上一点 P作Ei的切线，交E于A, B两点.I圆X2r2上一点PXo，y。，那么过点P x0, y0的切线方程为XXoyyo2r

13、，类比此结论，写出椭圆2*1在其上一点P Xo，y。处的切线方程，并证明(n)求证：|AP BP .Xoxyoy【答案解析】12aXoX解析：1切线方程2ab21yoyb2(2)见解析在第一象限内，由2X2a2 y b21可得yb-a x , yoa2Xo ,椭圆在点P处的切线斜率ky (xo)bXoa a2 Xd2b2Xoa2yo切线方程为yb>(X a yoXo)yo,即XoXyoya2b22证明：设AX1,y1,B X2,y2XoX2a2X2ayoyb22 y b2b24Xo b 22 yo a2Xob42" yo4a ba2b20yo2Xob42yo2 4X1X2222

14、Xo2bb 2 yo a2Xoa b2 2 . 2 2 yo a b Xo2. 2Xoa b2X02 a b b Xo aXo所以P为代B中点,AP BP20.(此题总分值13分)函数f X1 In x(I)求函数f X的单调区间;(n)假设函数f x在区间(t,t0)上不是单调函数，求实数 t的取值范围;(川)如果当x 1时，不等式f x解析：(1)因为f (x) h " 恒成立，求实数a的取值范围.x 1,x>0,那么；，当 0<x< 1 时，f '( x)> 0;当 x> 1 时，f ' 所以f (x)在(0, 1)上单调递增；在(

15、 得极大值.(x) < 0.1, +R)上单调递减，所以函数f (x)在x=1处取因为函数f (x)在区间(t，t4)(其中t >0)上存在极值,*1所以诸1，解得十t <1.(3)不等式f (x)'x+1恒成立，即为(计1(1+Ihk)>a恒成立,记 g (x) =" -，所以 h ( x)在1 , +s)上单调递增， h ( 故g (x)在1 , +s)上也单调递增，所以x)gmin=h (1) =1> 0，从而 g'( x)> 0,(x) min=g (1) =2,所以 aw 2.2 2x y21.(此题总分值14分)椭圆C

16、： 22 1 aa b0 ，过焦点垂直于长轴的弦长为1,且焦点与短轴两端点构成等边三角形(1)求椭圆的方程;(2 )过点Q1,0的直线I交椭圆于A,B两点，交直线x4于点E ,uurum uuuuuuAQQB,AEEB.判断是否为定值，假设是，计算出该定值；不是，说明理由2b21解析：(1)由条件得a '2b aa 2，所以方程y21b 14G+1)(1+1 站)P x- (kH) CHln x) Hi-lmi2令 h (x) =x - Inx，那么 h'.厂一，T x> 1 , h'( x)> 0,k(x(2)易知直线 I 斜率存在，令 l : y k(x 1), AX, yj, B(x2, y2), E( 4, y0)248k2 i6 0i)2 2 2 2(i 4k2)x2 8k2x 4k24xix28k2i 4k2，XiX24k2 4i 4k2uu