抛物样条曲线的原理说明

1、 抛物样条曲线的原理说明及抛物曲线程序说明 假如我们采用矢量表达式来表示参数化的二次曲线，那么可以把抛物线的表达式写成如下的一般形式： P(t)=A1+ A2t+ A3t2 (0=<t<=1) 该抛物线过P1, P2, P3三个点，并且：1. 抛物线以P1点为始点。当参变量t=0时，曲线过P1点；2. 抛物线以P3点为终点。当参变量t=0时，曲线过P3点；3. 当参变量t=0.5时，曲线过P2点,且切矢量等于P3P1。t=0: P(0)= A1= P1t=1: P(1)= A1 + A2+ A3=P3t=0.5:P(0.5)= A1 + 0.5A2+0.25 A3=P2通过解联立方

2、程，得到三个参数A1 、 A2、 A3分别为：A1 = P1A2=4 P2P33P1A3=2P1+2P34P2把求出的这三个系数的值，代入抛物线的表达式P(t)=A1+ A2t+ A3t2得：P(t)=（2t3t+1）P1 +(4t4t2)P2+(4t2t)P3 (0=<t<=1) 设有一离散型值点列Pi（i=1,2,n）,每经过相邻三点作一段抛物线，由于有n个型值点，所以可以做n-2条抛物线段。 在这n2条抛物线段中，第i条抛物线段为经过Pi, Pi+1, Pi+2三点，所以它的表达式应为：Si(ti)=（2t2i3ti+1）Pi +(4 ti4 t2i) Pi+1 +(2t2i

3、ti) Pi+2 (0=< ti <=1) 同理，第i+1条抛物线段为经过Pi+1, Pi+2, Pi+3三点，所以它的表达式应为：Si+1(ti+1)=（2t2i+13ti+1+1）Pi+1 +(4 ti+14 t2i+1) Pi+2 +(2t2i+1ti+1) Pi+3 (0=< ti+1 <=1) 一般来说，每两段曲线之间的搭接区间，两条抛物线是不可能重合的。如下图所示： Si+1 Si Pi+1 Pi+2 Pi+3Pi 显然，对于拟合曲线来说，整个型值点必须只能用一条光滑的曲线连接起来。为了做到这一点，必须找一种方法把Si和Si+1 这样的曲线段的共同区间结合起

4、来。这种方法就是加权合成方法。 我们设共同区间的函数是Pi+1(t)=f (T ) Si(ti)+g ( T) Si+1(ti+1). 其中f (T ) 和 g ( T) 是权函数。在抛物样条曲线中我们取简单的一次函数为权函数，且具有互补性，设f (T ) =1Tg ( T) =T这样Pi+1(t)= (1T ) Si(ti)+ T Si+1(ti+1).因为 函数中有T、ti和ti+1三个参数，因此接下来我们的工作是统一参数。我们可以三个参变量统一形式为：T=2tti=0.5+tti+1=t这样Pi+1(t)= （2t3+4t2t）Pi +(12t3410t2+1) Pi+1 +(12t3+

5、8t2+t) Pi+2 +(4t32t2) Pi+3 (0=< ti <=0.5) 从几何意义上说，函数Pi+1(t)表示的上图的点Pi+1,到Pi+2 之间的线段。但是我们应该看到这种方法从n个点中只能得到n3段曲线。但是n个型值点应有n1段曲线。一个直接的想法是添加两个辅助点。那么如何添加呢？方法一：两个辅助点为P0和Pn+1, P0=P1，Pn+1= Pn ,这样画出的曲线为一条不闭合的自由曲线。方法二：添加三个辅助点，P0、Pn+1和Pn+2，然后P0=Pn，Pn+1= P1, ，Pn+2= P2,这样画出的曲线为一条闭合的曲线。抛物曲线程序说明：这个程序主要是通过新建一个class CParspl来实现的，即将存贮控制点，画自由端抛物曲线以及封闭抛物曲线都封装在这个类里。在class CCurve2View主要实现设置线型、线宽和线色以及客户区的一下操作。当然这个程序还有改进的空间，比如我在class CParspl已经有了一个序列化函数，但是还没有实现文档