函数的单调性与导数

1、1.3.1函数的单调性与导数教案谷城一中 杨 超教学目标1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间.教学难点：利用导数判断函数的单调性教学过程一回顾与思考1、函数单调性的定义是什么？2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）3、函数怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？二新知探究 函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的

2、这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢? 【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数相应地，（2）从最高点到入水，运动员离水面的高随时间的增加

3、而减少，即是减函数相应地，【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？【探究】观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系（1）函数的定义域为 R ，并且在定义域上是 增函数 ，其导数 大于零 ；（2）函数的定义域为 R ，在上单调 递减 ，在上单调 递增 ；而，当时，其导数小于零；当时，其导数大于零；当时，其导数 为零。（3）函数的定义域为 R ，在定义域上为 增函数 ；而，若，则其导数大于零，当时，其导数为零；（4）函数的定义域为，在上单调递减 ，在上单调 递减 而，因为，显然.【总结】以上四个

4、函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间内，如果函数在这个区间内单调递增，那么 ；如果函数在这个区间内单调递减，那么 .【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？知识归纳 函数的单调性与导数的关系:在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内 单调递增；如果，那么函数在这个区间内 单调递减 特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数三典例分析例1已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状解：当时，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”综上，函数图像的大致形状如上图所示例

5、2判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1）； （2）（3）； （4）解：（1）因为，所以， 因此，在R上单调递增，如图1.3-5（1）所示（2）因为，所以， 当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；函数的图像如图1.3-5（2）所示（3）因为，所以， 因此，函数在单调递减，如图1.3-5（3）所示（4）因为，所以 当，即 时，函数 ；当，即 时，函数 ；函数的图像如图所示练习：求解函数单调区间的步骤：（1） 确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，得到函数的单调递增区间；（4）解不等式，得到函数的单调递减区间；例3 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像解：思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些如图1.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的