华师大版一元二次方程的解法

1、一元二次方程的解法 【学习目标】1理解配方法的意义，会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程2理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法3会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理 【基础知识精讲】1一元二次方程的解法(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如(a0)，(b0)类的一元二次方程，则；，对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为或的形式，也可以用此法解(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易

2、分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解要清楚使乘积ab0的条件是a0或b0，使方程x(x3)0的条件是x0或x30x的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x3)0有两个根，而不是一个根(3)配方法：任何一个形如的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程如解时，可把方程化为，即，从而得解注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点(3)公式法：一元二次方程(a0)的根是由方程的系数a、b、c确定的在的前提下，用公式法解一元二次方程的一般

3、步骤：先把方程化为一般形式，即(a0)的形式；正确地确定方程各项的系数a、b、c的值(要注意它们的符号)； 计算时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；将a、b、c的值代入求根公式，求出方程的两个根说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法解题时要根据方程的特征灵活选用方法2一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根而根的情况，由的值来确定因此叫做一元二次方程的根的判别式>0方程有两个不相等的实数根0方程有两个相等的实数根<0方程没有实数根判别式的应用(1)不解

4、方程判定方程根的情况；(2)根据参数系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题3韦达定理及其应用定理：如果方程(a0)的两个根是，那么当a1时，应用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；(4)已知两数和与积求两数4一元二次方程的应用(1)面积问题；(2)数字问题；(3)平均增长率问题步骤：分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；找出相等关系，并用它列出方程；解方程求出题中未知数的值

5、；检验所求的答数是否符合题意，并做答这里关键性的步骤是和注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义 【经典例题精讲】例1 解方程分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好解：，x±5 例2 解方程分析：如果把x3看作一个字母y，就变成解方程了解：， 例3 解方程分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好解：整理，注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若，则；若，则 例4 解方程

6、分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解解法一：，(x2)(x1)0，x20，x10，解法二：a1，b3，c2，注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a、b、c的值，先计算“”的值，若<0，则方程无解，就不必解了 例5 解关于x的方程分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x的方程，即x为未知数，m，n为已知数在确定的情况下，利用公式法求解解：把原方程左边展开，整理，得a1，b3m，注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a、b、c和的值，然后求解但解字母系数方程

7、时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a、b、c与方程中字母系数的a、b、c相混淆；(3)在开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此， 例6 用配方法解方程分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住解：，注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方 例7 不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)；(2)；(3)分析：要判定上述方

8、程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了解：(1)a2，b3，c4，方程有两个不相等的实数根(2)a16，b24，c9，方程有两个相等的实数解(3)将方程化为一般形式，a4，b7，c5，4910051<0方程无实数解注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a、b、c的符号 例8 已知方程的一个根是2，求另一根及k的值分析：根据韦达定理易得另一根和k的值再是根据方程解的意义可知x2时方程成立，即把x2代入原方程，先求出k值，再求出方程的另一根但方法不如第一种解：设另一根为，则，k7即方程的另一根为，k的值为7注意：一元二次方程的两根之和为，两根之积为 

9、例9 利用根与系数的关系，求一元二次方程两根的(1)平方和；(2)倒数和分析：已知要求(1)，(2)，关键是把、转化为含有的式子因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即，所以，由此可求出(1)同样，可用两数和与积表示两数的倒数和解：(1)，；(2)3注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式 例10 已知方程的两根平方和是34，求m的值分析：已知，求m就要在上面三个式子中设法用来表示，m便可求出解：设方程的两根为，则，30，m30注意：解此题的关键是把式子变成含的式子，从而求得m的值 

10、;例11 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)的形式如设其根为，根据根与系数的关系，得将p、q的值代入方程中，即得所求方程解：设所求的方程为210p，2×10q，p12，q20所求的方程为注意：以为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个 例12 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数解：设这两个数为，以这两个数为根的一元二次方程为，方程为解这个方程得

11、，这两个数为 例13 如图22-2-1，在长为32m，宽为20m的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为，那么道路的宽度应是多少？分析：设道路的宽度为x m，则两条道路的面积和为题中的等量关系为：草地面积道路面积长方形面积解：设道路的宽度为x m，则，(x2)(x50)0，x20，x500，x50不合题意，取x2答：道路的宽度为2m注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积 例14 某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？分

12、析：设平均每月增长的百分率为x，则增长一次后的产量为5000(1x)，增长两次后的产量是，增长n次后的产量b是这就是重要的增长率公式解：设平均每月增长的百分率为x则，(不合题意，舍去)答：平均每月增长的百分率是20%注意：解方程时，由1x的值求x，并舍去负值 【中考考点】一元二次方程是初中代数的重要内容，因此，它是历年来各地中考的必考内容可单独命题，也常与函数、四边形、圆等知识点综合在一起考查例15 (2003·济南市)已知方程组的两个解为，且是两个不相等的实数，若，(1)求a的值；(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都为正数，为什么？分析：是方程组中x的两个解，故应首先

13、消去y，得到关于x的方程再根据根的判别式及根与系数的关系可得解解：(1)由得yx1，代入整理，得方程有两个不相等的实数根，又，代入，得整理，得解得而，(2)，且，存在方程组的两个解都是正数注意：数学的转化思想，本题就是将方程组的问题转化为一元二次方程的问题 例16 (2003·深圳)已知一元二次方程有两个实数根，直线l经过点A(，0)，B(0，)，则直线l的解析式为( )Ay2x3By2x3Cy2x3Dy2x3分析：本题重点考查一元二次方程根与系数的关系以及用待定系数法求直线的解析式，先求与的值，再求直线解析式解：，B(0，3)将A、B代入ykxb中，得， 直线l的解析式为

14、y2x3故选A 【常见错误分析】例17 已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是_错解：要使方程有两个实数根0，4m10，m的取值范围是误区分析：要保证方程为一元二次方程，即要考虑二次项系数m0，而上述解法只考虑0，而忽视了m0正解：要使方程有两个实数根，需满足，4m10，m的取值范围是，且m0 例18 如果方程的两个根和2和3，求p，q错解：根据根与系数的关系2(3)p，2×(3)q，故p1，q6误区分析：若方程的两根为，根据根与系数的关系，而题中2(3)应为(p)，因题中的b为p，b就为(p)错解原因是将两根之和等于b了正解：根据根与系数的关系2(3)(

15、p)，2×(3)q，p1，q6 【学习方法指导】本节知识是初中数学的重要内容，也是以后进一步学习和研究函数及四边形、圆的基础，要熟练掌握好要重视一元二次方程四种解法的探索过程其中的配方法虽然在解方程中很少直接用，但配方、比较、转化等思想方法，及其所渗透的思维多向性都有助于我们思维能力的培养，不能因为解方程很少用而忽视它 【规律总结】1一元二次方程的解法(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如(a0)，(b0)类的一元二次方程，则；，对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为或的形式，也可以用此法解(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，

16、而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解要清楚使乘积ab0的条件是a0或b0，使方程x(x3)0的条件是x0或x30x的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x3)0有两个根，而不是一个根(3)配方法：任何一个形如的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程如解时，可把方程化为，即，从而得解注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点(3)公式法：一元二次方程(a0)的根是由方程的系数a、b、c确定的在的前提下，用公式法解一元二次

17、方程的一般步骤：先把方程化为一般形式，即(a0)的形式；正确地确定方程各项的系数a、b、c的值(要注意它们的符号)； 计算时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；将a、b、c的值代入求根公式，求出方程的两个根说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法解题时要根据方程的特征灵活选用方法2一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根而根的情况，由的值来确定因此叫做一元二次方程的根的判别式>0方程有两个不相等的实数根0方程有两个相等的实数根<0方程没有实数根判别式的应用

18、(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参数系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题3韦达定理及其应用定理：如果方程(a0)的两个根是，那么当a1时，应用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；(4)已知两数和与积求两数4一元二次方程的应用(1)面积问题；(2)数字问题；(3)平均增长率问题步骤：分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；找出相等关系，并用它列出方程；解方程求出题中

19、未知数的值；检验所求的答数是否符合题意，并做答这里关键性的步骤是和注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义 【同步达纲练习】一、填空题1方程的解是_2已知方程的一个根是2，那么a的值是_，方程的另一根是_3如果互为相反数，则x的值为_4已知5和2分别是方程的两个根，则mn的值是_5方程的根的判别式_，它的根的情况是_6已知方程的判别式的值是16，则m_7方程有两个相等的实数根，则k_8如果关于x的方程没有实数根，则c的取值范围是_9长方形的长比宽多2cm，面积为，则它的周长是_10某

20、小商店今年一月营业额为5000元，三月份上升到7200元，平均每月增长的百分率为_ 二、选择题11方程的解是( )Ax±1Bx0CDx112关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )Ak>9Bk<9Ck9，且k0Dk<9，且k013把方程化成的形式得( )ABCD14用下列哪种方法解方程比较简便( )A直接开平方法B配方法C公式法D因式分解法15已知方程(xy)(1xy)60，那么xy的值是( )A2B3C2或3D3或216下列关于x的方程中，没有实数根的是( )ABCD17已知方程的两根之和为4，两根之积为3，则p和q的值为( )Ap8，q6Bp4，q3Cp3，q4Dp8，q618若是方程的一个根，则另一根和k的值为( )A，k6B，k6C，k6D，k619两根均为负数的一元二次方程是( )ABCD20以3和2为根的一元二次方程是( )ABCD  三、解答题21用适当的方法解关于x的方程(1)；   (2)；  &#