证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全

1、证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用大全证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.一、利用数列的单调性例1证明：当时，. 证法一：令，则,所以当时，.因此当时，于是当时， 证法二：可用数学归纳法证.(1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，.二、借助数列递推关系例2.已知.证明：.证明：，.例3. 已知函数f(x)=，设正项数列满足=l， (1) 试比较与的大小，并说明

2、理由； (2) 设数列满足=，记Sn=证明：当n2时,Sn(2n1)分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1) 因为所以,因为所以与同号，因为，即（2）当时，所以，所以.例4. 已知不等式其中为不大于2的整数，表示不超过的最大整数。设数列的各项为正且满足.证明：，.证明：由得：, , , ,以上各式两边分别相加得：，=， .3、 裂项放缩例5.求证: 解析:因为,所以又 当时,当时,当时,所以综上有.例6.已知，求证：证明：由于 例7. 已知，数列的首项.(1) 求证：；(2) 求证：时.证明： ，都大于0，.（2） ，.故,又，. , . 四、分类放缩

3、例8.当时，求证:证明:当时不等式显然成立.例9. 已知.证明：对任意整数，有.分析：不等式左边很复杂，要设法对左边的项进行适当放缩，使之能够求和。 而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时， （2）当是奇数时，为偶数，.所以对任意整数，有。 五、利用函数单调性（导数）放缩例10. 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（） （）若则当n2时,.分析：第（1）问用数学归纳法证明

4、；第（2）问利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。证明：()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立；（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0<x<1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)<f()<f(1),即0<. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0<x<1, 由,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0. 因为,所以,即>0,从而() 因为

5、 ,所以, , 所以 由()知:, 所以= , 因为, n2, 所以 <<= 由 两式可知: . 例11.求证：. 证明:先构造函数有,从而因为 所以高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。一、 放缩后转化为等比数列。例1. 满足：（1） 用数学归纳法证明：（2） ，求证：解：(1)略(2

6、) 又 ， 迭乘得： 点评：把握“”这一特征对“”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2数列，其前项和为求证：解：令，的前项和为当时， 点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。例3.已知函数的图象在处的切线方程为（1）用表示出（2）若在上恒成立，求的取值范围（3）证明：解：（1）（2）略（3）由（II）知：当令且当令即将上述n个不等式依次相加得整理得点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。三、 放缩后迭乘例4.（1） 求（2