切线的性质和判定

1、切线的性质和判定练习一解答题（共11小题）1（2018宿迁）如图，AB、AC分别是O的直径和弦，ODAC于点D过点A作O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F（1）求证：PC是O的切线；（2）若ABC=60°，AB=10，求线段CF的长2（2018常德）如图，已知O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AEBC交CF于E（1）求证：EA是O的切线；（2）求证：BD=CF3（2018官渡区二模）如图，AB是O的直径，AM和BN是O的两条切线，点D是AM上一点，连接OD，过点B作BEOD交O于点E，连接DE并延长交BN于点C（1

2、）求证：DE是O的切线；（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长4（2018洪泽区一模）如图，已知AB为O的直径，AD，BD是O的弦，BC是O的切线，切点为B，OCAD，BA，CD的延长线相交于点E（1）求证：DC是O的切线；（2）若O半径为4，OCE=30°，求OCE的面积5（2018淅川县二模）如图，已知O的半径为1，AC是O的直径，过点C作O的切线BC，E是BC的中点，AB交O于D点（1）直接写出ED和EC的数量关系： ；（2）DE是O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；（3）填空：当BC= 时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是 6（

3、2018东河区二模）已知如图，以RtABC的AC边为直径作O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OFAB交BC于点F，连接EF（1）求证：OFCE（2）求证：EF是O的切线；（3）若O的半径为3，EAC=60°，求AD的长7（2018海淀区二模）如图，AB是O的直径，M是OA的中点，弦CDAB于点M，过点D作DECA交CA的延长线于点E（1）连接AD，则OAD= °；（2）求证：DE与O相切；（3）点F在上，CDF=45°，DF交AB于点N若DE=3，求FN的长8（2018朝阳区二模）AB为O直径，C为O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交

4、于点D，CA=CD（1）连接BC，求证：BC=OB；（2）E是中点，连接CE，BE，若BE=2，求CE的长9（2018苏州）如图，AB是O的直径，点C在O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E延长DA交O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE，求证：CEO是等腰直角三角形10（2017黄石）如图，O是ABC的外接圆，BC为O的直径，点E为ABC的内心，连接AE并延长交O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为O的切线11（2018长沙）如图，在ABC中，AD

5、是边BC上的中线，BAD=CAD，CEAD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3（1）求CE的长；（2）求证：ABC为等腰三角形（3）求ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离切线的性质和判定参考答案与试题解析一解答题（共11小题）1（2018宿迁）如图，AB、AC分别是O的直径和弦，ODAC于点D过点A作O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F（1）求证：PC是O的切线；（2）若ABC=60°，AB=10，求线段CF的长【分析】（1）连接OC，可以证得OAPOCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：OCP=90°，即OC

6、PC，即可证得；（2）先证OBC是等边三角形得COB=60°，再由（1）中所证切线可得OCF=90°，结合半径OC=5可得答案【解答】解：（1）连接OC，ODAC，OD经过圆心O，AD=CD，PA=PC，在OAP和OCP中，OAPOCP（SSS），OCP=OAPPA是半O的切线，OAP=90°OCP=90°，即OCPCPC是O的切线（2）OB=OC，OBC=60°，OBC是等边三角形，COB=60°，AB=10，OC=5，由（1）知OCF=90°，CF=OCtanCOB=5【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直

7、角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题2（2018常德）如图，已知O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AEBC交CF于E（1）求证：EA是O的切线；（2）求证：BD=CF【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：OAC=30°，BCA=60°，证明OAE=90°，可得：AE是O的切线；（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，BAC=ABC=60°，由四点共圆的性质得：ADF=ABC=60°，得ADF是等边三角形，证明BADCAF，可得结论【解答】

8、证明：（1）连接OD，O是等边三角形ABC的外接圆，OAC=30°，BCA=60°，AEBC，EAC=BCA=60°，OAE=OAC+EAC=30°+60°=90°，AE是O的切线；（2）ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=ABC=60°，A、B、C、D四点共圆，ADF=ABC=60°，AD=DF，ADF是等边三角形，AD=AF，DAF=60°，BAC+CAD=DAF+CAD，即BAF=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF，BD=CF【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四

9、点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键3（2018官渡区二模）如图，AB是O的直径，AM和BN是O的两条切线，点D是AM上一点，连接OD，过点B作BEOD交O于点E，连接DE并延长交BN于点C（1）求证：DE是O的切线；（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长【分析】（1）求出AOD=EOD，根据全等三角形的判定和性质推出DEO=DAO，根据切线的判定得出即可；（2）根据矩形的性质和判定得出AB=DH，AD=BH=1，根据切线长定理求出DC，根据勾股定理求出DH即可【解答】（1）证明：连接OE，OA=OE=OB，OBE=PEB，ODBE，AOD=OBE，OEB=

10、DOE，AOD=EOD，在AOD和EOD中AODEOD，OAD=OED，AM是O的切线，OAD=90°，OED=90°，即OEDE，OE为O半径，DE是O的切线；（2）解：过D作DHBC于H，AM和BN是O的两条切线，DAB=ABH=DHB=90°，四边形ABHD是矩形，AB=DH，AD=BH，AD=l，BC=4，BH=1，CH=41=3，AM和BN是O的两条切线，DE切O于E，AD=1，BC=4，DE=AD=1，BC=CE=4，DC=1+4=5，在RtDHC中，由勾股定理得：DH=4，即AB=4【点评】本题考查了切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等腰三角

11、形的性质、勾股定理、矩形的性质和判定、切线长定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键4（2018洪泽区一模）如图，已知AB为O的直径，AD，BD是O的弦，BC是O的切线，切点为B，OCAD，BA，CD的延长线相交于点E（1）求证：DC是O的切线；（2）若O半径为4，OCE=30°，求OCE的面积【分析】（1）连接DO，如图，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明COD=COB则根据“SAS”可判断CODCOB，所以CDO=CBO再根据切线的性质得CBO=90°，则CDO=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先利用OCB=OCD=30&#

12、176;得到DCB=60°，则E=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系计算出DE=4，DC=OD=4，然后根据三角形面积公式计算【解答】（1）证明：连接DO，如图，ADOC，DAO=COB，ADO=COD， 又OA=OD，DAO=ADO，COD=COB在COD和COB中CODCOB（SAS），CDO=CBOBC是O的切线，CBO=90°，CDO=90°，ODCE，又点D在O上，CD是O的切线；（2）解：由（1）可知OCB=OCD=30°，DCB=60°，又BCBE，E=30°，在RtODE中，tanE=，DE=4，同

13、理DC=OD=4，SOCE=ODCE=×4×8=16【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”也考查了解直角三角形5（2018淅川县二模）如图，已知O的半径为1，AC是O的直径，过点C作O的切线BC，E是BC的中点，AB交O于D点（1）直接写出ED和EC的数量关系：ED=EC；（2）DE是O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；（3）填空：当BC=2时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D

14、、E、C为顶点的四边形是正方形【分析】（1）连结CD，如图，由圆周角定理得到ADC=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到DE=CE=BE；（2）连结OD，如图，利用切线性质得2+4=90°，再利用等腰三角形的性质得1=2，3=4，所以1+3=2+4=90°，于是根据切线的判定定理可判断DE是O的切线；（3）要判断四边形AOED是平行四边形，则DE=OA=1，所以BC=2，当BC=2时，ACB为等腰直角三角形，则B=45°，又可判断BCD为等腰直角三角形，于是得到DEBC，DE=BC=1，所以四边形AOED是平行四边形；然后利用OD=OC=CE=

15、DE=1，OCE=90°可判断四边形OCED为正方形【解答】解：（1）连结CD，如图，AC是O的直径，ADC=90°，E是BC的中点，DE=CE=BE；（2）DE是O的切线理由如下：连结OD，如图，BC为切线，OCBC，OCB=90°，即2+4=90°，OC=OD，ED=EC，1=2，3=4，1+3=2+4=90°，即ODB=90°，ODDE，DE是O的切线；（3）当BC=2时，CA=CB=2，ACB为等腰直角三角形，B=45°，BCD为等腰直角三角形，DEBC，DE=BC=1，OA=DE=1，AODE，四边形AOED是平行

16、四边形；OD=OC=CE=DE=1，OCE=90°，四边形OCED为正方形故答案为ED=EC；2，正方形【点评】本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线常见的辅助线为：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”解决（3）小题的关键是熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法6（2018东河区二模）已知如图，以RtABC的AC边为直径作O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OFAB交BC于点F，连接EF（1）求证：OFCE（2）求证：EF是O的

17、切线；（3）若O的半径为3，EAC=60°，求AD的长【分析】（1）由于AC是O的直径，得出CEAE，根据OFAB，得出OFCE，（2）得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由ACB=90°，即可得到结论（3）证出AOE是等边三角形，得到EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果【解答】证明：（1）如图，连接CE，AC是O的直径，CEAE，OFAB，OFCE（2）OFCEOF所在直线垂直平分CE，FC=FE，OE=OC，FEC=FCE，OEC=OCE，ACB=90°，即：OCE+FCE=90°，OEC+FEC=90&

18、#176;，即：FEO=90°，FE为O的切线；（3）如图，O的半径为3，AO=CO=EO=3，EAC=60°，OA=OE，EOA=60°COD=EOA=60°，在RtOCD中，COD=60°，OC=3，CD=3，在RtACD中，ACD=90°，CD=3，AC=6，AD=3【点评】本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键7（2018海淀区二模）如图，AB是O的直径，M是OA的中点，弦CDAB于点M，过点D作DECA交CA的延长线于点E（1）连接AD，则

19、OAD=60°；（2）求证：DE与O相切；（3）点F在上，CDF=45°，DF交AB于点N若DE=3，求FN的长【分析】（1）由CDAB和M是OA的中点，利用三角函数可以得到DOM=60°，进而得到OAD是等边三角形，OAD=60°（2）只需证明DEOD便可以得到DE与O相切（3）利用圆的综合知识，可以证明，CND=90°，CFN=60°，根据特殊角的三角函数值可以得到FN的数值【解答】解：（1）如图1，连接OD，ADAB是O的直径，CDABAB垂直平分CDM是OA的中点，OM=OA=ODcosDOM=DOM=60°又：OA

20、=ODOAD是等边三角形OAD=60°故答案为：60°（2）CDAB，AB是O的直径，CM=MDM是OA的中点，AM=MO又AMC=DMO，AMCOMDACM=ODMCAODDECA，E=90°ODE=180°E=90°DEODDE与O相切（3）如图2，连接CF，CN，OACD于M，M是CD中点NC=NDCDF=45°，NCD=NDC=45°CND=90°CNF=90°由（1）可知AOD=60°在RtCDE中，E=90°，ECD=30°，DE=3，在RtCND中，CND=90

21、°，CDN=45°，CD=6，由（1）知CAD=2OAD=120°，CFD=180°CAD=60°在RtCNF中，CNF=90°，CFN=60°，【点评】本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时对于特殊角的三角函数值的运用有所考察，需要学生能具有较强的推理和运算能力8（2018朝阳区二模）AB为O直径，C为O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA=CD（1）连接BC，求证：BC=OB；（2）E是中点，连接CE，BE，若BE=2，求CE的长【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理、切线的性质得

22、到ACO=DCB，根据CA=CD得到CAD=D，证明COB=CBO，根据等角对等边证明；（2）连接AE，过点B作BFCE于点F，根据勾股定理计算即可【解答】（1）证明：连接OCAB为O直径，ACB=90°，CD为O切线OCD=90°，ACO=DCB=90°OCB，CA=CD，CAD=DCOB=CBOOC=BCOB=BC；（2）解：连接AE，过点B作BFCE于点FE是AB中点，=，AE=BE=2AB为O直径，AEB=90°ECB=BAE=45°，CF=BF=1【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是

23、解题的关键9（2018苏州）如图，AB是O的直径，点C在O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E延长DA交O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE，求证：CEO是等腰直角三角形【分析】（1）连接AC，根据切线的性质和已知得：ADOC，得DAC=ACO，根据AAS证明CDACEA（AAS），可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据CDACEA，得DCA=ECA，由等腰三角形三线合一得：F=ACE=DCA=ECG，在直角三角形中得：F=DCA=ACE=ECG=22.5°，可得结论；证法二：设F=x，则AOC=2F

24、=2x，根据平角的定义得：DAC+EAC+OAF=180°，则3x+3x+2x=180，可得结论【解答】证明：（1）连接AC，CD是O的切线，OCCD，ADCD，DCO=D=90°，ADOC，DAC=ACO，OC=OA，CAO=ACO，DAC=CAO，CEAB，CEA=90°，在CDA和CEA中，CDACEA（AAS），CD=CE；（2）证法一：连接BC，CDACEA，DCA=ECA，CEAG，AE=EG，CA=CG，ECA=ECG，AB是O的直径，ACB=90°，CEAB，ACE=B，B=F，F=ACE=DCA=ECG，D=90°，DCF+F

25、=90°，F=DCA=ACE=ECG=22.5°，AOC=2F=45°，CEO是等腰直角三角形；证法二：设F=x，则AOC=2F=2x，ADOC，OAF=AOC=2x，CGA=OAF+F=3x，CEAG，AE=EG，CA=CG，EAC=CGA，CEAG，AE=EG，CA=CG，EAC=CGA，DAC=EAC=CGA=3x，DAC+EAC+OAF=180°，3x+3x+2x=180，x=22.5°，AOC=2x=45°，CEO是等腰直角三角形【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用10（2017黄石）如图，O是ABC的外接圆，BC为O的直径，点E为ABC的内心，连接AE并延长交O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为O的切线【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明DBE=DEB；（2）欲证明直线CF为O的切线，只要证明BCCF即可；【解答】（1）证明：