六年级下册奥数第七讲整数的分拆 例题 习题 _通用版（例题含答案）

1、.第七讲 整数的分拆我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就锋利地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文程度低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中程度以上的学生都知道议论文的“三要素是论点、论

2、据、论证,也通晓议论文的根本构造:提出问题分析问题解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样,就是讲不出“为什么。根本原因还是无“米下“锅。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背的重要性,让学生积累足够的“米。 整数分拆是数论中一个既古老又活泼的问题.把自然数n分成为不计顺序的假设干个自然数之和“教书先生恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生那一行当怎么说也算

3、是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生概念并非源于教书，最初出现的“先生一词也并非有传授知识那般的含义。?孟子?中的“先生何为出此言也？；?论语?中的“有酒食，先生馔；?国策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生为父兄或有学问、有德行的长辈。其实?国策?中本身就有“先生长者，有德之称的说法。可见“先生之原意非真正的“老师之意，倒是与当今“先生的称呼更接近。看来，“先生之根源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师为“先生的记载，首见于?礼记?曲礼?，有“从于先生，不越礼而与人言，其中之“先生意为“年长、资深之传授知识者，与老师、老师之意根本一致。n=n1+n2+nmn

4、1n2nm1的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和，这就是著名的哥德巴赫猜测，中国数学家陈景润在研究中获得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的根本知识.观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，

5、引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。我加以肯定说“这是乌云滚滚。当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大

6、雨这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿可以生动形象地描绘观察对象。 一、整数分拆中的计数问题例1 有多少种方法可以把6表示为假设干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；把6分拆成两个自然数之和有3种方式

7、6=5+1=4+2=3+3；把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；把6分拆成4个自然数之和有2种方式63111=2+2+1+1；把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+111；把6分拆成6个自然数之和只有1种方式61+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成假设干个自然数之和共有1+3+32+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=11993=1992+2=21992=998996=

8、996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3 有多少种方法可以把100表示为有顺序的3个自然数之和？例如，把3+592与5+3+92看作为100的不同的表示法分析 此题仍可运用例1的解法2中的处理方法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+中每次选定两

9、个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法.因此，把100表示为3个自然数之和有种不同的方式.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n3表示为有顺序科奥林匹克数学竞赛第10题.例4 用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？分析 用1分、2分和5分硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法数是一样的.于是，此题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？解：按5分硬币的个数分21类计数；假假设5分硬币有20个，显然只有一种凑法；假假设5分硬币有19个，那么2分硬币的币值不超过100-5×1

10、9=5分，于是2分硬币可取0个、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；假假设5分硬币有18个，那么2分硬币的币值不超过100-5×18=10分，于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：1+3+6+8+1113+16+18+21+48+51=5×1+3+6+8+4×10+2030+40+51=9040051=541种.说明：本例实际上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100的非负整数解的组数.上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆问题.二、整数分拆中的最值问题在国内外的数学竞赛试题中

11、经常出现与整数分拆有关的最大值或最小值的问题.例5 试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大.解：由例2可知，把14分拆成两个自然数之和，共有7种不同的方式.对每一种分拆计算相应的乘积：14=113，1×1313；14=2+12，2×12=24；14=311，3×11=33；14=410，4×10=40；14=59，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49.因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积7×7=49最大.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n2分拆为两个自然数a与

12、bab之和，使其积a×b取最大值的条件是a=b或a-b=1ab.事实上，假设a-b=1m其中m是一个自然数，显然n=ab=a-1+b1，而有a-1×b1a×ba-b-1a×bma×b.换句话说，假设n=a+b且a-b1，那么乘积a×b不是最大的.这样，例6 试把14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.分析 由例5的说明可知，假设na+bcabc且a-c1时，乘积a×b×c不是最大的.换句话说，假设n=a+bcabc，当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c取最大值.解：因为14

13、=3×42，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a×b×c=5×5×4100为最大值.说明：此题可以推广为一般结论：把自然数n3分拆为3个自然数a、下面我们再研究一个难度更大的拆数问题.问题：给定一个自然数N，把它拆成假设干个自然数的和，使它们的积最大.这个问题与前面研究的两个拆数问题的不同点是：问题中没有规定把N拆成几个自然数的和.这也正是这题的难点，使分拆的种类要增加许多.我们仍旧走实验-观察-归纳结论这条路.先选择较小的自然数5开场实验.并把数据列表以便比较.实验表1：结果：5拆成23时，其积6最大.你注意到了吗？我们的实验结果是按把

14、5拆分数的个数多少，由多到少的次序进展的.再注意，当被拆数n3时这里n=5，为了使拆分数的乘积最大，拆分数中不能有1.因为当n3，n=1+n-1=2+n-2，且2×n-21×n-1.结果：7拆分成22+3时.其积12最大.注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和而不改变分拆的乘积.实验结果4：8拆分成23+3时，其积最大.实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最大.实验结果6：10拆分成3+3+22时，其积最大.观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：自然数=假设干个3的和；自然数=假设干个3的和+2；自然数=假设干个3的和+22

15、.因此，我们得到结论：把一个自然数N拆分成假设干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大.因为2+2+2=3+3，2×2×23×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个.例 分别拆分1993、1994、2019三个数，使分拆后的积最大.解：1993=664×31.1994=664×321994分拆成664个3的和2时，其积最大.2019=667×32019分拆成667个3的和时，其积最大.我们以上采用的“实验-观察-归纳总结方法，在数学上叫做不完全归纳法.我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前怎么去找出公式.不完全归纳法正是人们寻找公式的重要方法之一.但是这种方法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明.这一步工作要等到学