分类汇编4：数列

1、设函数,证明:()对每个,存在唯一的,满足;()对任意,由()中构成的数列满足.是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数. .综上,对每个,存在唯一的,满足;(证毕)() 由题知上式相减:.法二:（2013年高考上海卷（理）(3 分+6分+9分)给定常数,定义函数,数列满足.(1)若,求及;(2)求证:对任意,;(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由.【答案】:(1)因为,故,(2)要证明原命题,只需证明对任意都成立,即只需证明若,显然有成立;若,则显然成立综上,恒成立,即对任意的,(3)由(2)知,若为等差数列,则公差,故n无限增大时,总有此时,

2、即故,即,当时,等式成立,且时,此时为等差数列,满足题意;若,则,此时,也满足题意;综上,满足题意的的取值范围是.（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分10分.设数列,即当时,记,对于,定义集合(1)求集合中元素的个数; (2)求集合中元素的个数.【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力.(1)解:由数列的定义得:,集合中元素的个数为5(2)证明:用数学归纳法先证事实上,当时, 故原式成立假设当时,等式成立,即 故原式成立则:,时,综合得: 于是由上可知

3、:是的倍数而,所以是的倍数又不是的倍数,而所以不是的倍数故当时,集合中元素的个数为于是当时,集合中元素的个数为又故集合中元素的个数为（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）设等差数列的前n项和为,且,.()求数列的通项公式;()设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.【答案】解:()设等差数列的首项为,公差为, 由,得, 解得,因此 ()由题意知:所以时,故,所以,则两式相减得整理得所以数列数列的前n项和（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）本小题满分16分.设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,其中为实数.(1)若,且成等比数列,证明:();(

4、2)若是等差数列,证明:.【答案】证明:是首项为,公差为的等差数列,是其前项和(1) 成等比数列 左边= 右边=左边=右边原式成立(2)是等差数列设公差为,带入得: 对恒成立由式得: 由式得:法二:证:(1)若,则,. 当成等比数列, 即:,得:,又,故. 由此:,. 故:(). (2), . () 若是等差数列,则型. 观察()式后一项,分子幂低于分母幂, 故有:,即,而0, 故. 经检验,当时是等差数列. （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学）等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式.【答案】（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）已知首项为的等比数列不是递减

5、数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. () 求数列的通项公式; () 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. 【答案】（2013年高考江西卷（理）正项数列an的前项和an满足:(1)求数列an的通项公式an;(2)令,数列bn的前项和为.证明:对于任意的,都有【答案】(1)解:由,得. 由于是正项数列,所以. 于是时,. 综上,数列的通项. (2)证明:由于. 则. .（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）设数列的前项和为.已知,.() 求的值;() 求数列的通项公式;() 证明:对一切正整数,有.【答案】.(1) 解:,. 当

6、时,又,(2)解:,. 当时, 由 ,得 数列是以首项为,公差为1的等差数列.当时,上式显然成立. (3)证明:由(2)知,当时,原不等式成立.当时, ,原不等式亦成立.当时, 当时,原不等式亦成立.综上,对一切正整数,有.（2013年高考北京卷（理）已知an是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,的最小值记为Bn,dn=An-Bn .(I)若an为2,1,4,3,2,1,4,3,是一个周期为4的数列(即对任意nN*,),写出d1,d2,d3,d4的值;(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列;(III

7、)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则an的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.【答案】(I) (II)(充分性)因为是公差为的等差数列,且,所以因此,.(必要性)因为,所以.又因为,所以. 于是,.因此,即是公差为的等差数列.(III)因为,所以,.故对任意.假设中存在大于2的项.设为满足的最小正整数,则,并且对任意,.又因为,所以,且.于是,.故,与矛盾.所以对于任意,有,即非负整数列的各项只能为1或2.因此对任意,所以. 故.因此对于任意正整数,存在满足,且,即数列有无穷多项为1.（2013年高考陕西卷（理）设是公比为q的等比数列. () 导的前n项和公式; () 设q1, 证明数列不是等比数列. 【答案】解:() 分两种情况讨论.上面两式