北师大版八年级数学下册 第三章 图形的平移与旋转（全章题型归纳）

第三章图形的平移与旋转（举一反三讲义）全章题型归纳

【新教材北师大版】

题型归纳

【基础巩固】..........................................................................1

【题型1平移的概念】...........................................................................1

【题型2利用平移的性质作图】..................................................................3

【题型3根据平移前的点求平移后的点】..........................................................7

【题型4根据平移后的点求平移前的点】.........................................................10

【题型5根据平移前后关系求值】...............................................................14

【题型6根据平移确定点的位置】...............................................................15

【题型7旋转的相关概念】......................................................................18

【题型8中心对称图形】.......................................................................20

【题型9利用旋转的性质作图】.................................................................22

【能力提升】..........................................................................27

【题型10利用平移的基本性质解决问题】........................................................27

【题型11利用旋转的性质判断结论正误】........................................................29

【题型12利用旋转的性质求解】................................................................33

【题型13利用旋转的性质证明】................................................................35

【题型14利用中心对称的性质解决问题】........................................................38

【思维拓展】..........................................................................41

【题型15分析图案的形成过程】................................................................41

【题型16利用图形变换构建图案】..............................................................43

【题型17平移、轴对称、旋转之间的关系】......................................................47

【题型18设计美丽的图案】.....................................................................52

【题型19与旋转有关规律问题】................................................................56

举一反三

【基础巩固】

【题型1平移的概念】

【例1】（25-26八年级上•山东青岛・期末）如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国

人齐头并进、步步登高.从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（）

A.平移B.旋转C.轴对称D.中心对称

【答案】A

【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键；

根据平移可进行求解.

【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移，

故选：A.

【变式1-1］（25-26七年级上•浙江•假期作业）在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的.

☆明依食AAA

①②③④

【答案】①②④

【分析】本题考查平移的概念，正确掌握平移的概念是解题的关继.

根据平移的概念逐一判断即可求解.

【详解】解：根据平移的概念可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到.

故答案为：①②④.

【变式1-2］（24-25七年级下•甘肃工凉・月考）下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是.

（I）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）

汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落卜.的球（球不旋转）.

【答案】（2）（6）

【分析】本题主要考查了图形的平移，平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定

的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可.

【详解】解：由平移的定义可得只有（2）（6）是平移，（1）（3）（4）（5）都不是平移，

故答案为：（2）（6）.

【变式1-3］（24-25七年级下•全国•课后作业）如图所示的是一个用火柴摆成的“田”字图案，至少平移其中

的根火柴，可以变成一个“品”字图案.

【答案】3

【分析】本题考杳图形的平移，保持“田”字的“十”字不变，再移动3根变成“品”字图案即可;

【详解】解：如图：相同数字表示移动前后位置，

3

由图形可得“田”字图案，至少平移其中的3根火柴，可以变成一个“品”字图案,

故答案为：3.

【题型2利用平移的性质作图】

【例2】（25-26八年级上•浙江丽水•期末）如图,已知点A坐标为（一2,3）,点C坐标为（一2,-1）,点4,B

（2）连结A8,力C,8C,将△ABC平移，使点A平移到点A,画出△ABC平移后所得的A4呼。.

【答案】⑴见解析，5（-1,3）

⑵见解析

【分析】（1）根据点的坐标画出点A,C,再根据点8的位置写出坐标；

（2）画出△48C,利用平移变换的性质分别作出&C的对应点夕，L即可.

【详解】（1）解：如图，点4,。即为所求，5（-1,3）.

(2)解：如图，AABC,△44'C'即为所求.

【变式2-1］如图，在正方形网格中，如果把三角形ABC的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点C',

连接BC',则线段BL与线段AC的关系是()

A.垂直B.相等C.平分D.平分且垂直

【答案】D

【分析】此题考查了图形的平移，线段的位置及数量关系，根据平移的规律画出图形，即可得到答案，熟练

掌握平移的性质是解题的关键

【详解】解：由平移可得把三角形48。先向右平移3格，再向上平移1格，

••・线段3U与线段AC的关系是平分且垂直,

故选：D

【变式2-2](25-26七年级上.北京海淀•期末)如图，三角形4BC的顶点坐标分别为4(一1,4),3(-4,-1),

6(1,1).若将三角形A8C向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形481',其中点A,

(1)画出三角形A8'C'；

(2)若三角形力BC内有一点P(a,b)经过上述平移后的对应点为尸，直接写出点P'的坐标;

⑶若点。在x轴上且三角形80D的面积为4,直接写出点。的坐标.

【答案】(1)见解析

(2)(a+3,b-2)

(3)(8,0)或(一8,0)

【分析】本题考查作图-平移变换，平移变换的性质，三角形的面枳，解题的关键是掌握平移变换的性质.

(1)利用平移变换的性质分别作用力，B,C的对应点A,B’，C即可;

(2)利用平移变换的性质判断即可;

(3)设。(m,0),结合三角形面积公式建立方程求解，即可解题.

【详解】(1)解：如图，三角形AB工'即为所求;

(2)解：若三角形A8。内有一点P(a,b)经过上述平移后的时应点为P,

则点P'的坐标为：(Q+3/-2)；

(3)解：设点。(m,0).

则有1x|TH|=4,

•••m=±8,

•••点。的坐标为(8,0)或(一8,0).

【变式2-3］如图所示的方格纸中，正方形力BCD要向右平移2格，再向下平移2格，得到正方形彳BCD',则

正方形48CD与A夕重叠部分面积为.(每小方格的边长为1)

【答案】1

【分析】本题考查了图形的平移，先根据题意画出平移后的图形，然后根据图形即可得出正方形4BCD与

AE'C'D'重叠部分面积，正确理解图形经过或覆盖的区域的形状是解题的关键.

【详解】解：•••正方形要向右平移2格，再向下平移2格，得到正方形4夕厂少，

二如图，

根据图形可得正方形力BCD与4‘夕C'D'重叠部分面积为1,

故答案为：1.

【题型3根据平移前的点求平移后的点】

【例3】（24-25七年级下•山东潍坊・期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（2,0）,“炮”

位干点（-1,3）,则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是.

【分析】本题考查平面直角坐标系的建立、用坐标表示表示位置及平面直角坐标系中点的平移，由题意，建

立平面直角坐标系，求出“马”位于点（2,0）,再由点的平移即可得到答案，熟记平面直角坐标系坐标表示位

置及点的平移是解决问题的关键.

【详解】解：根据“帅”位于点（2,。），“炮”位于点（-1,3）,建立平面直角坐标系，如图所示：

.・.“马”位于点（4,2）,

二将棋子"马''向上平移两个单位长度后位于点（4,4）,

故答案为：（4,4）.

【变式3-1]（24-25八年级下•福建泉州•期末）将点4（-2,-4）先向左平移3个单位长度，再向上平移5个

单位长度得到点A,则点力'在象限.

【答案】二

【分析】本题考查了坐标与图形的变化•平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标

上移加，下移减是解题的关键.根据平移的性质，向左平移a,则横坐标减a；向上平移b,则纵坐标加b.

【详解】解.：•••A（-2,-4）先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点A,

—2—3=-5,-4+5=1,

•••点4的坐标是（一5,1）,

•••点4在二象限

故答案为：二.

【变式3-2]（24-25八年级下•山东临沂•期中）在平面直角坐标系中，平行四边形48CD顶点4、B、C的坐标

分别是（一1,1）,（2,1）,（1,-1）,将平行四边形力BCD沿％轴向右平移3个单位长度，则顶点。的对应点。1的

坐标是.

【答案】（1,一1）

【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形变化平移，先画出平行四边形

ABCD,得出;）（一2,-1）,然后根据平移的性质可得点Di的坐标.

【详解】解：如图，

由图可知，。（一2,-1）,

•••将平行四边形4BCD沿》轴向右平移3个单位长度，则顶点。的对应点5的坐标是

故答案为：（1,一1）.

【变式3-3]（24-25七年级下•北京期中）如图所示,已知式（一3,2）,C（3,4）三点坐标.将三角形ABC

平移至三角形处，点A,B,。的对应点分别为点Bi，G，其中点G的坐标为

⑴①在图中画出平移后的三角形为/C］；

②其中三角形力8C上一点P(a,b)平移后对应点P的坐标为:

(2)求三角形力BC的面积；

(3)设点。在y轴上，且三角形4QG与三角形力BC的面积相等，求点。的坐标.

【答案】(1)①见解析；②(。一33一5)；

(2)8；

(3)(0,-5)或(0,3).

【分析】本题考查作图-平移变换，涉及到三角形面积公式以及方程的应用，熟练掌握平移的性质是解答本题

的关键.

(1)①根据平移的性质作图即可；

②由题意知三角形力8c向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度得到三角形4&G，结合平移的性

质可得答案；

(2)直接利用割补法求三角形的面积即可；

⑶设点Q的坐标为(0,6)，根据题意可列方程为*|m—(_l)|x4-8,求出m的值，即可得出答案.

【详解】(1)解：①如图，三角形481G即为所求；

②由题意知，三角形ABC向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度得到三角形&&G，

三角形ABC上一点P(a,b)平移后对应点P'的坐标为(a-3,b-5)：

故答案为：(a—3,b—5)：

(2)三角形力BC的面积为TX4X2+：X4X2=8；

(3)设点Q的坐标为(0,/n),

v三角形&QCi与三角形48C的面积相等，

x\m—(—1)|x4=8»

解得m=-5或3,

.••点Q的坐标为(0,-5)或(0,3).

【题型4根据平移后的点求平移前的点】

【例4】(24-25七年级下•山西朔州•期中)如图，在平面直角坐标系中，第二象限有一点4将点A水平向右

平移3个单位长度得到点过点4分别向”轴、y轴作垂线，垂足分别为8,C.若A'B=5,4C=2,则点4的

A.(-1,5)B.(-3,5)C.(-1,2)D.(2,5)

【答案】A

【分析】本题考杳了平移变换以及点的坐标，根据题意得出4（2,5）,进而根据平移得出点A的坐标，即可求

解.

【详解】解：♦.乂'8=5,AC=2,

•••4（2,5）,

•.•第二象限有一点4将点4水平向右平移3个单位长度得到点A,

故选：A.

【变式4-1]（24-25七年级下•贵那期末）在平面直角坐标系中，将点P（x,y）向右平移3个单位，再向上平移2

个单位长度后与点Q（・l,2）重合，则点P的坐标为.

【答案】（-4,0）

【分析】逆向思考，把点（-1，2）先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后可得到P点坐标.

【详解】在坐标系中，点Q（-1,2）先向左平移3个单位得（-4,2）,再把（-4,2）向下平移2个单位后

的坐标为（＞4,0）,则P点的坐标为（-4,0）.

故答案为（~4,0）.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减

去）一个整数a,相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标

都加（或减去）一个整数a,相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度.（即：横坐标,

右移加，左移减；纵坐标，上移加，卜移减.

【变式4-2]（24-25七年级下•内蒙古鄂尔多斯•期中）如图，在平面直角坐标系中，△AB'L是由aABC平移

得到的，平移前点A的坐标为（一5,4）.

(1)画出平移前的△/18C,并写出点B和点C的坐标；

(2)已知点P(a,b)为△A8C内的一点，则点P在内的对应点P'的坐标为；

⑶求△ABC的面积.

【答案】⑴画图见详解，8(-3,0),C(O,2)

(2)(a+4,b-3)

(3)8

【分析】本题主要考查了坐标与图形，图形变换，

(1)先得出力'(一1,1),再结合4(一5,4),可知△4*0是由△ABC先向右平移4个单位，再向下平移3个单

位得到的，据此画出即可求解：

(2)根据△4夕U是由△力BC先向右平移4个单位，再下平移3个单位得到的，即可求解；

(3)利用割补法即可求解.

【详解】⑴如图可知：A(-1,1),

••?1(-5,4),

.,・将△A8C先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△A'B'C',

如图，△A8C即为所;R；

由图可知：B(-3,0),C(0,2)；

(2)解：解.：根据题意得：是由△ABC先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的，

•••点「(见切在449。内的对应点)的坐标是(a+4,b-3).

故答案为：(Q+4,b—3)；

(3)解：△4BC的面积=4x5-：x2x4-Tx2x3-gx5x2

=20-4-3-5

=8.

【变式4-3](24-25八年级下.山东聊城.阶段练习)将点4(a,6)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个

单位长度得到点8(-从Q),则点4的坐标是.

【答案】(_]

【分析】根据平移得到关于a，b的方程，求出a,b的值即可解题.

【详解】将点力(a，b)平移后点的坐标为(a-2,b-3),

由题可得：2=一。，解得：《2,

<D-3=ab=-

2

・・•点B的坐标是(一?一^,

故答案为：(―3，一：).

【点睛】本题考查平移，二元一次方程组，掌握平移规律是解题的关键.

【题型5根据平移前后关系求值】

【例5】(24-25七年级下•全国•课后作业)(1)把点向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长

度到一个位置P2后坐标为「2(。而)，则〃?，〃，》之间存在的关系是:

(2)将点P(—3,y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x,-1),则孙=.

【答案】a=m+3,b=n-2—10

【分析】(1)根据点平移的规律，得到平移后点的坐标，又因为已知平移后点坐标，2(Q，b),得到等量关系

即可求解；

(2)根据点平移的规律，得到平移后点的坐标，又因为已知平移后点坐标得到等量关系即可求解

x,y值，即可求解xy的值；

【详解】解：(1)・••点Pi(m,7i)向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，得到点坐标为〔771+3/-2),

P2(a,b)为平移后点的坐标：

■,•a=m+3,b=n—2：

故答案为：Q=m+3,b=n—2.

(2)•.•将点P(-3,y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点坐标为(-5/-3),Q(%-1)为平移后的

点坐标，

用工解得:落；

'.xy=—10.

故答案为:—10.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化■平移，平移中点的变化规律是：横坐标右加，左减；纵坐标上加，下减.

【变式5-1](24-25七年级下•全国•专题练习)将点吊(2,m)向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长

度后，得到点「2(珥-1)，则点Q(mm)的坐标为.

【答案】(2,3)

【分析】本题考直了点的平移，根据点的平移规则，左减右加，上加下减，求出mm的值，即可.

【详解】解：由题意，n=2+l,m-3=-l,

••Tl=3,7Tl=2,

••Q23),

故答案为：(2,3).

【变式5-2](24-25七年级下•吉林通化•阶段练习)将点尸(-4,y)向下平移3个单位长度，再向左平移2个

单位长度后得到点Q(%-2),,则X+y=.

【答案】-5

【分析】本题考查点的平移，掌握点的坐标平移特点”左减右加，上加下减”是解题的关键.

【详解】解：由平移可得：一4一2="，y-3=-2,

解得％=-6,y=1,

•••x+y=-6+1=-5,

故答案为：—5.

【变式5-3](24-25七年级下•辽宁鞍山•期中)对于平面直角坐标系xOy中的任意一点M(x,y),给出如下定

义:记a=x+y,b=-x+y,将点P(a,匕)与点Q(b,a)称为点M的一对卫星点.例如，点P(l,-5)与点Q(-5,l)

为点M(3,-2)的一对卫星点.将点C(2m-1,-m+l)(m>0)向右平移m个单位长度,向下移动m个单位,

得到点C',若点U的一对卫星点重合，则爪=.

【答案】；

【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，新定义，根据卫星点的定义列方程求解即可.

【详解】解：由题意得，。'(3加一l,-2m+1),

止匕时，a=3m—1+(—2m+1)=?n,b=—(3m—1)+(—2m4-1)=-5m4-2,

则C'点的R星点为(m,-5m+2)和(-5m+2,m),

•••这两个卫星点重合，(即两点的横、纵坐标分别相等)，

•'-m=-57几+2,

解得，7九二；，

«3

故答案为:

【题型6根据平移确定点的位置】

【例6】(24-25七年级下•北京朝阳•期末)在平面直角坐标系X。)，中，将一个横、纵坐标都是整数的点，沿

平行(或垂直)于坐标轴的直线平移1个单位长度，称为该点走了I步.点4(1,0),8(2,4),。(3,1)各走了

若干步后到达同一点P,当点P的坐标为时，三个点的步数和最小，为.

【答案】(2,1)6

【分析】根据网格的特点求解即可.

【详解】如图所示，

"I

当点P的坐标为(2,1)时，

点A先向上走1步，再向右走1,

点8向下走3步，点C向左走1步，

•••此时二个点的步数和最小，为6步.

故答案为：(2,1),6.

【点睛】此题考查了坐标与图形，点的平移，解题的关键是熟练掌握网格的特点.

【变式6-1](24-25八年级下•全国•期中)将点2(3加一1,6+2)向上平移1个单位得到点。，且点。在x

轴上，则点P的坐标为()

A.(-5,0)B.(-7,-1)C.(-10,0)D.(-10,-1)

【答案】D

【分析】本题主要考查了点的平移，点在坐标轴上的特点，根据将点P(3m-Lm+2)向上平移1个单位得

到点Q，点Q在x轴上，可得出7九+3=0,进而可求出〃?的值，进一步即可求出点P的坐标.

【详解】解：将点P(37n-l,m+2)向上平移1个单位得到点Q,

则Q(3m—l,zn+3)

••,点。在x轴上，

•••m+3=0,

•­m=-3,

••3tn—1=-10,m+2=-1

・•・点P(-10,-1),

故选：D.

【变式6-2](24-25七年级下•内蒙古巴彦淖尔•期末)点P(阳+2,2m+l)向右平移1个单位长度后,正好

落在)，轴上，则产(〃?+2,2m+l)在第一象限.

【答案】三

【分析】根据向右平移横坐标加，y轴上的横坐标为0列方程求解出的值，可得出点P的坐标，根据象限

的特征即可得出结果.

【详解】•••点产(/H+2,2M1)向右平移1个单位长度后，正好落在)，轴上，

m+2+1=0,

•••m=-3,

m+2=—1,2m4-1=—5>

二点户的坐标为(-b-5),

故答案为：三.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减：纵坐标上移加，下移

减.

【变式6-3](24-25七年级下•湖北随州♦期末)如图，在第一象限内有两点P(m—2,n),Q(m,n-3),将线段

PQ平移使点P，。分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是.

【答案】(0,3)或(一2,0).

【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P、Q'.分两种情况进行讨论：①P'在y轴上，Q'在％轴上；②P'在

x轴上，Q'在y轴上.此题主要考查图形的平移及平移特征.在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某

点的平移规律相同.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移城.

【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P'、Q'.

分两种情况：

①P'在y轴上，Q'在x轴上；

则P'横坐标为0,Q'纵坐标为0,

•••0-(n—3)=-n+3,

•••九一九+3=3,

・••点P平移后的对应点的坐标是（0,3）；

②P'在%轴上,Q'在y轴上.

则P'纵坐标为0,Q'横坐标为0,

•••0-m=-m,

•••m—2—m=—2,

•••点2平移后的对应点的坐标是（一2,0）；

综上可知，点尸平移后的对应点的坐标是（0,3）或（一2.0）.

故答案为：（0,3）或（一2,0）.

【题型7旋转的相关概念】

【例7】（25-26八年级下•全国•课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物

品；④雨刮器来回摆动.其中属于旋转的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【分析】本题考瓷了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为

数学问题.

根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可.

【详解】•••①荡秋千是围绕固定点摆动，属「旋转；

②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转；

③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转；

④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转.

•••属于旋转的是①和④.

故选：D.

【变式7-1］（25-26八年级上•山东威海・期末）如图，在4x4的正方形网格中，格点△MNP绕某点旋转一定

角度，可得格点△MiMPi，则旋转中心是（）

N\

c.点。D.点〃

【答案】B

【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上,

则连接0片,NN1,分别作出OP1，NN】的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求.

【详解】解：如图，连接PR,NN[,分别作出PPi，NN1的垂直平分线，

PP],NNi的垂直平分线的交点为B,

・•・旋转中心是点

故选：B.

【变式7-2]（25-26九年级上•江西赣州•期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（）

*C6空

【答案】C

【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点.利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形

旋转后的形状和大小不变，即可得解.

【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意；

C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意；

故选:C.

【变式7-3］如图，如果将正方形曰旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（)

乙

甲

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A出C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置.

【详解】解：如图，

口

绕A点逆时针旋转90。，可到正方乙的位置；

绕C点顺时针旋转90。，可到正方乙的位置；

绕AC的中点8旋转180。，可到正方乙的位置；

故选:C.

【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,

对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B.

【题型8中心对称图形】

【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义.

根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后

的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

【详解】解.：A.该选项图形不是中心对称图形，不符合题意；

B.该选项图形是中心对称图形，符合题意；

C.该选项图形不是中心对称图形，不符合题意：

D.该选项图形不是中心对称图形，不符合题意；

故选:B.

【变式8-1］如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（）

C.线段3c的中点D.线段FC的中点

【答案】D

【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段BE中点或浅段rC中点,

进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键.

【详解】解：•.•此图形是中心对称图形，

对称中心是线段尸C的中点.

故选：D.

【变式8-2】（2026九年级下•全国,专题练习）如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方

形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是.

I

【答案】②

【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.

根据中心对称图形的特点进行判断即可.

【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形.

故答案为：②.

【变式8-3](2025八年级上•全国・专题练习)观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上.

⑴(2)(3)(4)

Q®®

(5)(6)(7)(8)

是轴对称图形的有.

是中心对称图形的有.

既是轴对称图形又是中心对称图形的有.

既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有—.

【答案】(2)、(3)、(5)、(6)(1)、(3)、(4)(3)(7)、(8)

【分析】考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是掌握相关概念.轴对称图形：把图形沿某

条直线折叠，如果直线两旁的部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对

称图形：把一个图形绕着某个点旋转180。后能够与原图形重合，则这个图形称为中心对称图形，据此求解

即可.

【详解】解：是轴对称图形的有(2)、(3)、(5)、(6)；

是中心对称图形的有(1)、(3)、(4)；

既是轴对称图形又是中心对称图形的有(3)；

既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有(7)、(8)；.

故答案为：(2)、(3)、(5)、(6)；(1)、(3)、(4)；(3)；(7)、(8)

【题型9利用旋转的性质作图】

【例9】(25-26八年级上•山东烟台•期末)在直角坐标系中，"的顶点坐标分别为

A(-5,3),B(—3,0),C(-l,l).

(1)请在图中画出△/18C：

(2)画出△/18C关于原点。成中心对称的△&B1Q；

⑶洛△&当6向上平移4个单位长度后得到△&B2C2，请在图中画出

(4)将△A8C绕原点。按逆时针方向旋转90。后得到△力3%。3，请在图中画出△/I383C3.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

⑶见解析

(4)见解析

【分析】本题考杳了平移作图、作中心对称图形以及旋转作图，解题关键是掌握作图的关键步骤，即描点与

连线.本题先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图.

(1)先确定对应点的坐标,再描点连线即可■作图.

(2)先确定对应点的坐标,再描点连线即可作图.

(3)先确定对应点的坐标,再描点连线即可作图.

(4)先确定对应点的坐标,再描点连线即可作图.

【详解】(1)解：如图所示:

-5-

4

-3

45x

r---)

4卜一,3-r--i

-III4..I.TI

（2）如图所示:

（3）如图所取:

（4）如图所示:

【变式9-1］如图，△408绕点。旋转后，点G是点8的对应点，画出AAOB旋转后的三角形.

•G

【分析】根据旋转变换的性质画出图形即可.

【详解】解.：连接。G,将线段04绕点0按顺时针方向旋转一个等于MOG的角度，得到线段0F,连接rG,

便得到旋转后的△FOG.

如图，OOG即为所求三角形，

【点睛】本题主要考杳了旋转变换，熟练掌握旋转的性质，并根据旋转的性质找到对应点的位置是解题的关

键.

【变式9-2](25-26九年级上•安徽阜阳•期末)如图，在平面直角坐标系中，△力BC的三个顶点分别为4(1,3),

8(4,2),C(2,l).

(1)画出△ABC关于原点中心对称的图形△力/IG.

(2)将4力8c绕原点顺时针旋转90。得到△A2B2C2,画出△4282c2，并写出点B的对应点外的坐标.

【答案】(1)见解析

(2)见解析：点&的坐标为(2,-4)

【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等,

由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.也

考查了中心对称变换.

(I)根据关于原点对称的点的坐标特征得到点力I、/、Q的坐标，然后顺次连接即可得到△4当的；

(2)利用网格特点和旋转的性质分别画出点A、B、C的对应点(，&,Q，从而得到△峰B2c2.

【详解】(1)解：如图，△AiBiG为所作；

(2)解：如图，△必为心为所作；点%的坐标为(2,-4).

【变式9-3](25-26九年级上•湖北•月考)已知△力8C的顶点4B,C在格点上，按下列要求在网格中画图.

⑴洛ZM8C绕点C顺时针旋转90。得到AABIC(点A的对应点是点儿),画出△4B】C；

⑵若△4B2c2与AABiC关于点。中心对称，其中力2，82分别为点儿,Bi的对应点,画出A42&C2.

【答案】(1)作图见解析

(2)作图见解析

【分析】本题考查图形的旋转与中心对称作图，核心是掌握“旋转时对•应点到旋转中心的距离相等、夹角等

于旋转角”以及“中心对称时时应点的连线经过对称中心且被对称中心平分''的性质.

(1)根据旋转的性质作出图形，如图所示，△&当。即为所求作的三角形；

(2)根据中心对称的性质作出图形，如图所示，2G即为所求作的三角形•

【详解】(1)解：作出△48C绕点C顺时针旋转90。得到的^ABiC如图所示；

(2)解：作出关于点。的中心对称的图形△//Q如图所示;

【能力提升】

【题型10利用平移的基本性质解决问题】

【例10】（24-25七年级下•全国•课后作业）如图所示是由两个完全重叠的直角三角形，将其中一个直角三角

形沿8。方向平移线段8E的长度得到的图形，试求图中阴影部分的面积.

AFD-

B5ECF

【答案】32.5

【分析】本题考查了平移、梯形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

根据平移的性质推出S梯形DHCF=5梯形进而求解・

【详解】解：’••SfBC=5梯形ABEH+S&EHC,

S&CEF=S梯形DHCF+S&EHC'

SA48C=S&DEF，

,•S梯形DHC尸=,梯形48EH；

由题意知DE=AB=8,

.-.EH=8-3=5,

C_《_（EH+AB）EB_（8-3+8）x5__

,阴影=、梯形84EH=2=2=

【变式10-1］（25-26七年级下•全国・周测）如图，将线段4B沿箭头方向平移3cm得到线段CD.若48=4cm,

则四边形48CD的周长为（）

一，D

A.8cmB.14cmC.16cmD.20cm

【答案】B

【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段相等，平移距离等于对应点连线的长度是解题的关键.

根据平移的性质，得到与相等，40与8C等于平移距离，再将四条边长相加求出四边形的周长.

【详解】解：♦.♦将线段平移得到线段CD

MB=CD,AD=BC

'-'AB=4

:.CD=4

•••平移的距离为3cm

-'-AD=3,BC=3

•••四边形ABC。的周长为：AB+BC+CD+DA=4+3+4+3=14cm

故选:B.

【变式10-2］（24-25七年级下•福建泉州•期末）如图是公园某一段步行区的示意图，可抽象成长方形/BCD,

长48=12m,宽BC=5m.为方便观赏，公园特意修建了如图所示的步行小路（图中非阴影部分），小路

的宽均为1m,若沿着小路的正中间步行，从入口4到出1」3步行的路线（图中虚线）的长为（）

DC

AB

A.24mB.22mC.20mD.18m

【答案】C

【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离

等于A8,纵向距离等于040-1）x2,求出即可.

【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于纵向距离等于Q4D-l）x

2,

所以从入口人到出口B步行的路线（图中虚线）的长为12+（5-1）x2=20（m）,

故选：C.

【变式10-3］（25-26七年级上.全国•课后作业）如图，占城河在43处直角转弯，河宽相等，从M处到达N

处，须经过两座桥：CD,EF,问如何恰当造桥使得M到N路程最短.

r1rp

o-

1r

J

n1c

—c

U—

Jr

n1

Jc

u1r

—

nk

—J

c

uT

J

BDc

1

c

cJ

〕-uA

==n

K

V

【答案】见解析

【分析】本题考查了利用平移解决最短路径问题，解题的关键是通过平移将折线路程转化为直线距离，利用

“两点之间线段最短”的原理确定最短路径.

将点M沿垂直于河岸AP的方向平移河宽的距离得到点“，将点N沿垂直于河岸/1K的方向平移河宽的距离得

到点N）连接MW,使其与河岸分别交于。、F两点;过。、尸分别作垂直于对应河岸的线段CD、"，即为所

求的桥的位置，此时M到N的路程最短.

【详解】解：如图，作MM'_L力P,且M'M=河宽，作NN'J.力K,且NN'=河宽，连结M'N’与河岸相交于

/两点，作DC1AP,EF1AK,CD,E"即为所求造的桥使得M到N路程最短.

【题型11利用旋转的性质判断结论正误】

【例11】（25-26九年级上•广东广州•期末）如图，把aOAB绕点0逆时针旋转一定角度，得到AOCD,则下

列结论不一定正确的是（）

A.0D=OBB.AB=OCC.乙力=4。D.cAOC=cBOD

【答案】B

【分析】本题主要考杳了旋转的性质，旋转前后的图形，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心所连

线段的夹角等于旋转角，据此逐•判断即可.

【详解】解：由旋转的性质可得。。=。8,LA=ZC,乙AOC=^BOD,

根据现有条件无法得到力B=0C,

故选:B.

【变式11-1]如图,将绕点4逆时针旋转,旋转角为a（0。vav180。），得到△4DE,这时点B,C,D恰

好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）

A.AB=EDB.EALBCC.=90°--D.Z.EAC=90°+-

22

【答案】C

【分析】由旋转的性质可得AB=AD,zBAD=a,由等腰三角形的性质可求解.

【详解】•••将AABC绕点A逆时针旋转，旋转角为a,

•••AB=AD»zBAD=a,

.•ZB=些』=90°--

22

故选：c.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键.

【变式11-2]（2024.天津•中考真题）如图,△斐BC中,乙B=30。，将△ABC绕点C顺时针旋转60•得到△DEC,

点48的对应点分别为D,E,延长B4交OE于点凡下列结论一定正确的是（）

A.Z.ACB=乙/ICOB.AC||DE

C.AB=EFD.BF1CE

【答案】D

【分析】本题考查r旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质

内容是解题的关键.先根据旋转性质得4BCK=乙4。0=60。，结合48=30。，即可得证BF1CE,再根据

同旁内角互补证明两直线平行，来分析ACIIDE不•定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出

A和C选项是错误的.

【详解】解：记B尸与CE相交于一点“，如图所示：

C

•••△ABC中,将^ABC绕点C顺时针旋转60。得到△DEC,

“BCE=Z.ACD=60°

MB=30°

•••在4中，lBHC=180°一乙BCE一乙B=90°

:・BF1CE

故D选项是正确的，符合题意；

设/ACH=x°

"ACB=60°-x°,

"B=30°

"DC=^BAC=180°-30°-(60°-x°)=90°+x°

:/EDC+Z.ACD=90°+%°+60°=150°+x°

•.•%。不一定等于30。

:ZEDC+々AC。不一定等于180°

••.ACIIDE不一定成立，

故B选项不正确，不符合题意；

­.^ACB=60°-x°,^ACD=60°,不一定等于0°

:/ACB=44co不一定成立,

故A选项不正确，不符合题意；

•.•将△力8。绕点GI页时针旋转60。得到△DEC,

-t-AB=ED=EF+FD

••B4>EF

故C选项不正确，不符合题意;

故选：D

【变式11-3]（24-25八年级下•陕西西安•期中）如图，△4BC中.Z.BAC=45°,^ACB=30°,将△48C绕

点川顿时针旋转得到△AB16，当点G、C三点共线时，旋转角为a,连接B8],交AC于点D.下列结论:

①A力。传为等腰三角形；②a=145。；®CA=CB^其中所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.①③C.②③D.①②

【答案】B

【分析】

本题主要考查r旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是

熟练掌握旋转的性质.

利用旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理逐项判定即可.

【详解】解：①根据题意得，4C与4G是对应边，

:.AC=ACr

.••△4GC为等腰三角形，故①止确，符合题意；

②由①证得△4cle为等腰三角形，

vZ.ACB=30°,

©=乙ACB=30°,

ZG4C1=180°-24G=120°,

・•・旋转角度为120。，故②错误，不符合题意；

③根据题意得NB；4c=NG4&=45°,

由②得4c4cl=120°,

z.CAB1=Z.CAC1—Z.C1AB1=75°»

•••△/ICiC为等腰三角形，

:.z.ACC1=z.C1