吴赣昌版线性代数_第三章课后习题答案

1、第三章第一节L选样趣.(1) 设/为 皿疋川 矩阵，齐次线性方程组川戈=0仅科枣解的充分必要条件昱亲数矩阵的秋r(4)()(A)小于m;(B)小于强；(C)寻于m;(D)等于n 解 由銭巾生方程组解的判定定理知, 应选(D).1. 逸择題.(2) 齐次线性方程组 Ax -b的导出组为 4r二(k 戏口果 Ax (I 1又有零解,贝Ax=h( ).(A)必有无穷多解;(B)必有唯一箱;(C)必定无解；(D选项(A), (B), (C)均不对稱 由线性方程组解的判走走理知.应选(D).L选择题.(3) 设川是剜X”矩阵一非齐次线性芳程组60导出组为川兀=0 如果 m<n，贝!J ()(A)

2、Ax=b必冇无穷多解；(B) .4xb必冇唯一解；(C)理有非零解；(D) Ax= 0必有唯一解.解 由线性方程组解的判定定理知，应选(C).2.用 消元法解下列齐次线性方程组：x + 2x2 x3 = 02x1 + 4x2 + 7x5 = 0 '解 对系数矩阵 A施以初等行变换变为行最简形矩阵：1 2 0 0 0 1/乍 91 2 -1oo I 12-10 0 9?f x1 + 2x2 = 012,即*3 = 0X = -lx2 "、12 (心可任息取值).x3 = 0令x2 = c,得所求方程组的解为Xt = -2cx2 = c ,其中C为任意实数.“0得原方程组的同解方

3、程组2.用消元法解下列齐次线性方程组:Xj + 2x2 - 3x3 = 0(2)2x1 + 5x2 + 2x5 = 0 ;3xj - x2 - 4x3 = 0解对系数矩阵A施以初务行变换:可知r(z4) =3,所以此齐次线性方程组只有零解.2. 用消 元法解下列齐次线性方程组:(石+兀2 +2兀3_兀4 = °(3) 2x + x2-x-x4 = 0；I 2X + 2x2 + X3 + 2x4 = 0p 1 2 -110 0 -4/32 11-10 1 032 2 1 2 丿7k 0 () 1 -4/3解对系数矩阵实施行变换：即心x2 =-3x4故方程组的解为kwR.2用消元法解下列

4、齐次线性方程组：X + 2口 + X3 X4 二 0(4)3兀+ 6兀2 一心一 3斗=°、5xj 4-1 Ox2 +- 5x4 = 0解对系数矩阵实施行变换：/ 、兀2=kV1十kr010L0< °J丿故方程组的解为3用消元法解下列非齐次线性方程组：4x1 + 2x2(1) 3x- x2 + 2*3 = 1° ；11x + 3x2= 8解 对系数的土曾广矩阵施行行变换，有因为r(/l) = 2而尸()=3,故方程组无解3.用消元法解下列非齐次线性方程组:2x+3y+ 乙=4x-2y+4乙=一53x+8y-2乙=13，4x j += 6解对系数的增广矩阵施行

5、彳亍交换：2+003 -28 一120丿x = -2z-l j = z + 2 z = z,kwR3. 用消元法解下列非齐次线性方程组：2兀+ y- z + w = 1(3) 4A：+2y-2z + w=2 ；2x+ y- z -= 1解对系数的增广矩阵施行行变换：21-1 1121-111、4 2-21 2 0 0 0 1 021-1-11z0 0 0 0 0；3.用消元法解下列非齐次线性方程组:2x+ y- z+ tv = 1(4) 3x-2y + z-3hj = 4 x+4j 一 3z + 5w = 2解对系数的增广矩阵施彳亍行变换:00o06/7、一 5/70 ,116x = z +

6、用 + 777595y = z 777即y1=k1/75/71+ «2'1/7、-9/70+6/7、 -5/70、0< >< 0丿-1/79/7 00 -1/7 1 一 5/70 0Ar19 kiR.4 三个工厂分别有3吨、2吨和1吨产品要送到两个仓库 储薮,两个仓库各能储藏产品4吨和2吨.用X表示从第i 个工厂送到笫/个仓库的产品数（21,2,3; ；=1,2）,试列出Xij所足的关系式，并求解由此得到的线性方程组.-vii +尤12 = 3V21 + *22 = 2稱 勺 所应满尺的关系式为X31 + 兀32 = 1Xii+%21 +*31 = 4.v1

7、2 + .v22 +v32 = 2-Vll + A|2 十 *21X22 + -Vj| + X32 = 60-11012002111000000兀11=1+兀22 +兀32X2 = X22 X32解兀21 =X22X22 X22（X22,】c32可任怠取值）.X31 = 1 X32-X32 = X32fXur 2< 、xn2-1-1所求方程组的解为X21X22=20+ G-11+ C200,c9c2eR.心110-1kX32>丿< 0丿< 1>解a- -a1 一“ -a2/“2=C|1+ C'2r-n0宀丿、0，I ij5.确定a. b的值使下列齐次线性方

8、程组有非零解9并在有 非零解时求其仝部解. !0rruri()Va、1 一“()(2+ “)丿当a = 1时，r(z4) = 1,齐次线4生方程组黃非零解；1 1 1 当/ = 1时，系数矩阵经初等彳亍变换变为 ()00,U 0 0;x = -x2-x3傅 x2 = x2(x2, X；可任意取值).所求方程组的解为Xi = X3当“ =-2时9 r(J) = 2,齐次线性方程组冇非零解； 当“ =-2时，系数矩阵经初等行变换5.确定“9 b的值使下列齐次线性方程组有非寺解,并在有 非零解时求其全部解.2X - x2 + 3屯=0(2) 3X_4x2 + 7xj= 0、xl-lx2axs= 0当

9、“=3时，/-(/I ) = 2,齐次线性方程组冇非零解；系数矩阵 经初等行变换变为g可任意取值)方程组的解为(ce/?).(ab21 (ab21 A0h-100b-10ab-b3-2丄lo0一 l-b2-2b)(a111 )0b-10lo0 + b2(方-1)丿ax x +稱所以当a H 0 , 卫±1时,有唯一解:- 5-方22 一 b+a 10方一1lo 01 0 + b 2(6-l)J6确定"b的值使下列非齐次线性方程组有解，并求其解. «X + bx2 + 2x3= 1(1) 1 (ft-l)x2+x3 = O；bx2 + (1 一 6)*3 = 3 2

10、6所以当b =时9有无穷多解： xt = (l-c)/a9 x2 = c9 x5=0,b = l时，有无穷多解：xx = (-c)/a, x2 = c, x3=0,当a =()9 = 1时，有无穷多解：X| = C，*2 = 1，兀3=0,当a = 0, = 5时，有无穷多解：X = C9 x2 = -1/3 , *3=4/3.6.确定a, b的值使下列WE齐次线性方程组有解9并求其解.X| + 2x2 - 2x3 + 2x4 = 2 x2-x3-x4 = l xlx2-x3-b3x4 = a X| 一兀2 + 3 + 5x4 = b12222) |f 10040 '011 -11 _

11、.01 -1-1111131004a-l1-115h.< 100410040 )01-1-1100000000b + 1 )X="4C2故当4=1,方=-1时，冇无穷多个稱:-X2= 1 +C1 + C2X3 = ctggwR.357设/为mx n去巨阵9证明：(1)方阵 AX=Em充要条件为r(A) = m;证方程 AX二E血欣解r(/l) = r(A9 Eni)r(A) = m(必要1生由不等式ni< r(A9Ent) = r(A)<m到; 充分性由不等式 m= r(A) <尸(/, Eni)<m 得到).T殳乂为mxn矩阵,证明：(2)方程VAEi

12、t有解的充要条件为rA)-n证方程YA=Elt有解方程A rY r = Efl有解r(AT) = n (由(1) 3)二旳(矩阵秩的性质).注 当皿二即/为71阶方阵时,显然AX E及YA E有解r(A) = n,并有Xi""当酬H押时,按题锻:条件的解 X和 F不是唯一的.& iA 3 mx/1 矩阵,证明：若 =且 r(J) = H,贝 u x = y +解设为旳冥想阶矩阵*X = (i7“卫聖)，Y =(队勺、0)由 AXAY) = 0/(勺-对)=0 (7=1,2<-,5)t r(A) = n.方程组 昇(幻一角)=0 只有零解勺=0(7 = 1,2,

13、 5 ):.X = Y.第二节1设 =(1,1,0)r, P2 = (O,1 J)； v3 = (3,4,0)r,求力一 及 3v)+ 2vz- v3 解儿一巾=(1,1,0)卩一(0,1)卩= (l-O,l-l,O-l)r=(1,0厂1几3pI4-2p2-v3=3(1,1,0)r + 2(0J,1)r-(3,4,()r=(3x1 + 2x0-3, 3x1+ 2x1-4,3x04-2x1-0)r = («J,2/2.将下列各题中向册 0 表示为其他向好的线性组合：0 = (3,5,-6)9 a = (1,0,1),a2 = (1,1,1)9 勺=(0,-1,-1) 解法1 对矩阵/3

14、t)仅施以初等行变换( 103、1 10 3力卩）0 1-150 1-15、1 1 -1 -6;<0 0 -1 一9所以 0 = -11&1+14&2 +9旳解法2 设有一组数兀19 X2,心使0 = XQ+兀2©2 +兀3剂 X+ X2 = 3贝！J< x2- x3= 5曲+*2-心=一6对方程组增广矩阵施以初等行变换II o ； 3 A r (10 ； 3、Ir r i彳号 X = 11 9 兀2 = 14 9 X 3 = 9 9所以 0 = -11©1+14©2 +9©33.已如向量升9 r2由向量0i，02，03线性表

15、示的表示式为71 = 30 - 02 + 03，卩 2 = 01 + 202 + 403，向量 09 029 03由向量 5，勺43线性表示的表示式为01 = la + a2-5ayti /?2 =<2| + 3«2 + «3,卩、= -a1 + 4«2-av求向量 门,/2由向量rz2, 6Zj的线性表示式. 解法一 将 Q, 02，03的表达式"别代入 /1 , Yi的表达 式中有升=3( 2a, + tr2 - 5<73) - (a,+ 3<72 + <73) + (-67,4-42-6/3) =6a)+ 3a2-15a3-

16、a, - 3a2-a3-a! + 4a2-a3 =4如+ 4理2 17勺,y2 =(26/ + &2一53)+ 2(5 + 302 + 5)+ 4(- a x-va=2d + 勺 一 5幻 + 24 + 62 + 203-4% + 162一45=23a,-7a,解法一 将01,02 9 03的表达式分别代入”，卩2的表达式中有儿=46? + 4口2一17&3 9Yi =23<2-注：此方法适用于向哥个数校少情况，否则书写畳较大. 而解法二贝!J几乎不用写明向量，借助于分块矩阵的运算知 识亦可求解万法二、 丿12 3000、丿I 2 3 00” ZF k负2色丿11U4已知

17、向旨组：卩、卩"卩、由向好组M： 口922，3线'1主 表示的表示式为01 = 5 - 5 + 5，02 = 5 + 5 - 5 03 = -5 + 勺 +。3试将向量组 A 的向量用向量组 B的向量线性表示.解法一 类似于解方程组勺把a9a29ay看成未知量,利用 消元法求解0=如一©2 + 502 =如+理2_50厂-5+5+5 +右2创=0|+02+有23=| + 03 + 有 22 =02+03所以 口1=三（01 + 02），°2= +（02+03），幻=£（尸 1一“3）解法二 将已知式子用分块矩阵乘法表示1 -1 1V因所以下面用初

18、等变换法求逆矩阵：02-2 0,故0 0 2"J0203丿11 -1 可逆.1 1 1丿1 -1； 01 1； 010 0)001001/rsx1/2ri-iolo0 :0：1/201/20 -1/2101/2丿r2 x 1/2(0 01 : 1/20 1/2 J(1-11、-1< 1/21/20、即11 -101/21/21一 111丿<1/201/2丿001/201/21/201/20 : o :十子2？-*)+=&<0 +£)+ = & V+0)十 H &團乂炎底zs(3m GZ'PE 二 H(a= 口“弾蒸圮世毀M輪

19、£73 z宋卑盒也盘(弋d)世界检気(丫0二谥)(9<)：(0二"(34£幽尉？/片鞘7ra(sw)HC0二送)Hi世景凹肖6.设有向量(1 1% 二1I1)92 =1 + 2、1丿，«3 =1试问当2取何值时9(1) 0可由a, a2. ay线性表示,且表达式唯一 ？(2) 0可由a19 a29 ay线性表示，但表达式不唯一 ？(3) 0不能由al9 a29 a3线性表示？解 I% a2 cr3| =/l2(2 + 3)(1) 当；IhO且；1工-3时，0可由, a2, ay唯一地线性表示.(2) 当2 = 0时，0 可由ax.a2.ay线性表示

20、,但表达式不唯(3)当A = -3时,0 不能由a，线性表示r 、' 2)7.设有向咼a=1，2 =3，3 =39 4 =2<2J、一 3丿A 是三阶去巨阵q且冇/IQ二a 2、= 3,力3二Q" 试求力4则有 cr4= 2a-a2ay ,于是z4a4 = /t(2a1-6r2+6r3)=2Aa-Aa2 + Aa(7、=2a2-a3+a4= 5JL 一个采矿兮司有两Q矿井,矿井月每天开采的矿产中含 20吨矿和550千克银矿”矿井B 毎天开采的矿产中含30 吨铜矿和500千免银矿.设a - (20,550)3C,500)7,贝!偽b分别表示矿井/和矿井B “每天的产呈7(

21、1)向量和的实际意义足什么？=5(550>100-<2750>向量5“表示矿井 A开采5天的矿严产雄中即铜矿100吨“ 银矿2750千克.(2)假£密该公司让矿井/杓矿井号分别开采曲天和心天.诜 宅出表示该公司矿产产"S(铜矿、银矿)的向量.解 矿井A开采石天的矿产产量(铜矿银矿)用心盘表示- 矿井R 开采心天的矿产产量(铜矿、以艮矿)用 用申表示. 因此该公司的矿产总产蚤铜矿、银矿)为xa + x2b.(3)若有开采150吨铜矿坏口 2 825千克银矿*母个矿井需要 开采的天数.解由题息得到矩阵方程xa + x2b< 150、 <2825,0

22、500;<150><2825；解之碍龙1=1爲x; = 4.即矿井 A开口矿井B 需要分别开釆15天和4天”第三节I.判定下列向螢组线性相关还是线性无关：(1) «1 = (l,0,-l)J；a2=(-2,2,0)r, a3 = (3,-5,2)r;所以8，a29 线性相关.1.判定下列向旨组线，1生相关还是线性无关：£7(1,!,3,1)r,勺= (3,7 2,4)1 5=(2,2,7，-1)2解所以0一 437122 5 '3 44 70 -14,1.判定下列向哥组线性相关还是线性无关:(3)如=(1,0,0,2,5)食勺=(0丄0,3,厂食勺

23、珂。，4,7几«4 = (2,-3,4,11,12)r.10 0 2010300142 34 11所以aaltaa4线性无关2.问a取什 么值时下列向毎组线性相关，z 、 aI< r'1、Q=192 =a9巾=-1、Ja1 1解 Q9 Q2 9勺线性相关1a -1=01-1 aa 11.由1 a-1=（4+1）2（。一 2） = 04 = 2 或0 = - 1 1 -1a3设 a" a2线性无关9卩、J +卩 线性相关，求向鸯p由Q，口2线性表示的表示式.解法一 因 5 + 0,02 + 0 线性相关，故存在不全为零的常 数給,2,使1(如+0) + 他(02

24、+0)=0(*)(kl + k2)/3 = -klal-k2(X2.因ai,a2线性无关，故k、+&2 H0,不然，由上式彳鼻kxax + A26r2 = 0Aj = A2 = 0,这与k、A2不全为零矛盾.于是由(*)式得k“k作 R,k、+ k2HQ免+灯 k、+k2解法二因Q + 09Q2 + 0线性相关9故(Q+0)-(02+0), Q2+0 线性相关， 即-cr2, a2+卩线性相关.又因Q, a2线性无关9故 41-420,于是存在几使a2 +#= 2(% _勺) 0=加一(2+1)&2，几丘 R 这与解一的结果相同4.设如，Q线性相关,01, 02也线性相关，问5

25、+01, 口2+2是否一定线性相关？试举例说明之.6Z|,a2线性相关9 019 02也线性相关9但ax +01，理2 + 2线性无关5设02 = 5+ 2,，/九=5 + "2 + + 且向量组，匕 线性无关,证明向量组 01，29，0线性无关解设处01+&2 02+心0尸=厲则(A| + + &)& + (斤2 + + 任)6 + (岛 + + &)©/> + krar =0因向量组©.勺-一勺线性无关，故kr = 01r00 1 1 ”2=060 i丿1心丿"丿免+佥2十十匚=0 幻+ &= 0因为01

26、1 =10,故方程组只有零解. 则k、= 4= = Ar = 0,所以01,02,，0线性无关.6. 7丈向量组如92,9匕线性相关，且其中任意$-1个 向量都线性无关,试证明：必存在一组全都不为零的数 处,酿,，使 k、a、+ kgi + 化。、=0稱 由a】，a?。，"、线性相关，故存在不全为零白勺数 糾9 k" ° ° °9 k屮 TfcAr 冋 + 九6/2+ + *、a.、=0，若k,k”、k、全都不为零，即得证.若处，处9，心中至少有一个为零，不妨设k =0, 则有不全为零的灯，丛、，使伦如+ + /$ "9线性相关与题设

27、矛盾7.设三维列向董G，仅29。3线性无关9 ,4是3阶矩阵9且冇 Aa = a + 22+ 3q.9 力灯 =2a2 + 35，Aai = 3a2 - 4q“ 试求 A.解由条件知A(al9a29a) = (Aal9 Aa29 Aa= (al + 2a2 +33, 2勺 +3a“ 3a2-4a3)1 0 0= (ana29 a3) 223U 3 -4丿由于 al9 a2, Q3线性无关，贝！J | al 9 a2,勺| h 0,1 0 0故|创=2 23 =-173 3-48设向话组 A : «! = (1,2,1,3)r, 6r2 = (4, 1,-5, 6)r; 向量组 B:

28、0产(-1,3,4,7几 /2=(2,-l,-3,-4) 试证明：向量组A与向址组B等价14 -12（如皿2，1，爲）=；_；4 -3、3-67 -4）-95 -5-95 -5-18 10 -10；1 0 11/9 0 1 -5/9 0 0 00 002/95/90易见向量组 A 与向量组有相同的秩，故向量组/与向量 组K等价证毕.0严心十十+乙I 0产旳+ 6 +证明向鸯组川：Q”。"勺Q沖与向琶组：/?门/?小等价. 证 列向覺'组畀才口 B 依次枸成矩阵”轉口 E,于是右11= AK、<0其中礙数矩阵h为1 0其行列武 |Zf| = (w*l)(-1)fl-,0(

29、/i>2X 故 X 可逆.由(1)式叩得卫二BAT打此表明 A组能由B组线片生表示，其 表示的系数矩阵为 £_| , 从而 A 组与 B 组寻价.L 判断下列各命题是否正确.如栗正确，请简述理由； 如果不正确,请举出反例：(1) T丈/ 为"阶矩阵,r (A) = r< h 贝U矩阵 A 的任意r 个列向量线性无关>解不正确.(1 G 0)例如A,r(A)=,但/中后用一 1个向量,毎一个均线tfc相关，贝!U吉论不成立1. 判断下列各命题是否正确.如果正确,请简述理由;如 果不正确，情举出反例：(2) 设向罟组勺,°2,，冬线性无关,且可由向晋

30、组/人，/", 、4线性表示，则必有$ 解不正确0T(0如0=d丿9 a 2 =，0i =9,02 二 2 /1.判昕下列各命题是否正确如果正确9请简述理由；如果不正确9请举出反例：(3) 设 A为加X”阶矩阵，如果矩阵 A 的n 个列向量线，1生 无关，那么/-(/!) = «.解正确.夫巨阵 A的秩等于 A的行向哥组的秩,也等于 A的列 向哥组的秋.1.判断下列各命题是否正确.如果正确9请简述理由；如 果不正确，请举电反例：(4) 如果向量组 ,色9，乙 的秋为5,则向量组al9 a29 ,冬 中任一部分组都线性无关.解正确.因龙吱口果一个向畐组有线，|生相关的若F分组

31、，贝!J这个 向量组线性相关解 一2% =0L | =1、2-1,a2 =< 9、10010,=，-2、-42< 4,k_8>2.求下列向绘组的秩9并求一个极大无关组：( 卩、°1< 12-14、<12-14、由910010 408219 -32H丿k J /k-2-42-比<000 0?ax, ay线性相关秩为2 9 一组极大线性无关组为2. 求下列向9组的秩,并求一个极大无关组：(2) = (1, 2,1,3), a=(4,-l,-5,-6), aJ = (l,-3,-4,-7).1213| |1213解=4 -1 -5 -60 -9 -9 -

32、18、1 一 3 4 一7/1 10 -5 -5 -id(213、0-9-9 -18Io 0 0 0?秩为2,极大线性无关组为.3求下列向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此 极大无关组线性表示.(1) = (1,1 J)1； = (1,1,0)； a3 = (l,0,0)r, a4 = (l,2,-3)r;向量组的秩为3, ”门是向量组的个极大无关组9且(74 = -3«! + 5cr2-cr3e3.求下列向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极 大无关组线性表示.(2) 2 = ( 2? 1 9 1 9 1 )9 乂2 = ( 1, 1 9 了9 10)卩 95= (3,1,

33、 1,-2)T9=(8,5,9,11)丁；卩-138 ) rl-lrl0 -31一211151 1 1517 -19r4-r20 6-241110-211 1,0 9 -36,0=(,2，仪3，4)二尸 i+20 1-1/31 1 1口*(-3)002/35001 一 1/30004/3002/3 '13/300丿向世组的秩为2,OC X _ (X1Ct33 13旳山2是向毎组的一个最大无关组,2，5 =学+扌 S3. 求下列向醤组的一个极大无关组9并将其余向晋用此极大无关组线性表示.创=(1,1,3,1),5=( 1,1, 1,3),巾=(5厂2,8,9),。4 = (一1，3,1,

34、7).解一对矩阵 A = （a a； a； a）仅施以初等行交换ir fl -15 1)fl03/2r2 二 01-7/22巳01 -7/22r 0000r0000lo000丿loo0oz由最后_个矩阵知，a, a2是一个极大无关组,且a4=at+2a2解二 对柜阵aa a）T 施以初等行变换400/A 0,所以。19 a2线性无关.r（a； aj 町）=2 故a , Q 2是一个极大线性无关组70 = a3-5a1 + -（a2+crI）解二 对矩阵仅施以初等行变换工0,所以 a2线性无关.1 10 2a a) = 2 故al9 a2是一个极大线性无关组737勺_5%+办勺+ 心二旳-严 +

35、严 a4 + al-2(a2 + al) = a4-a-2a2 7所以 a3 = -aa 4= a 2a 2.4. 求下列矩阵的列向蚤组的一个极大无关组.1 0、0 0 -1/2 1 丿第一列利第三列向量是矩阵的列向量组的一个极大无关组.4.求下列矩阵的列向哥组的一个极大无关组.解25 310 10 10 11723250003117 43、2 34.求下列夫巨阵的列向量组的_个极大无关组.12210 _2002 15 -12 一2所以第1、2、3列构成一个极大无关组.0 Oy5. 设向量组«1 =r a39 a产2、b，3 =<r2，«4 =23<!>4

36、d丿的秩为2?求Q、b解法一 因03与不成比例，故它们线性无关9从而其 秩为2于是,a2, a3, a匕的秩为2均可由向量组 仪加°4线性农示det(Q|, 3,6t4) = 0 且 det(a2,a3,a4) = 0.又 dct(d,仪3,2-a, dct(tr2,6r3,a*4) = A-5,所以/?(8，s,s,6) = 2的充要亲件是 a = 2且6 = 5.解法二 对含参数a和b的矩阵(a“ «4,a2)作初等 行变换，以求其行阶梯形.于是 /?(ap a23a39 a4) = l/?(a5,a4, a|9a2) = 2“ = 2 且 =5 6. 设有两个向蛊组(

37、、2 -19乞=5 a9 &3 =03'、3丿卫丿< 丿r 1、< 3、0卩 =aa2-5，02 =3 + 39 03 =16 '7 )、11 )2丿如果角可由Q,勺，6 线性表示，试判昕这两个向宣组是 否等价？并说明理由.解 由于/?可由线性表示，从1 “一20(1 2 -1, ° 、_ 0 1 25 5 50 0。+ 10 0 0、因为r(«H a29 «3)=&2 aO故知a = 4,由此彳鼻01 = 3a + 2 a 2°类似地9将“=4代入色与029同样稱得02 =如+理2， 色二山+乙所以向最组 &

38、quot;1，02, “3可由 5, a» a3线性表示.但是 0, “2, 01仅由J , 6Z 2线性表示，且 仪9。2线性无关9( 01 9 02 9 03 )二 2 9 而尸(少1 9 勺9 勺)二 3 9即r(Q,理2，巾)工“01，02，03)故这两 T向量组不等价7. 设a9a299 an是一组 巾维向螢,证明它们线性无关的充分必要条件是：任H维向量都可由它们线性表示.证 设G，6,，勺为一组维单位向量，对于任怠维向量 。=仏1，处，“)S则有。=£,1 + £2%2+ 6 紀， 即任一 H维向量都可由单位向量线性表示. 必要性 a I： S，乙线性

39、无关，且 , a?，Q”能由单位 向址线性表示，即ax = k £ +12 *2 + kn £nt a2 = Xr21 + Ar226：24- + Ar2n证必要性打、*11*12*1/T6_*21*22kln2 .an )、*"1心25eT "nJl乙二心4+忍2勺+代m岛11 12n1« k“rT222“12Aid( T5令 Ann = *22 kn2n e ,则有 =/f-1T2 < m1111 lnn >FT bn )T4 ,nn Jk. /r 1 n nlJ仅“丿G；丿即£、5、5都能由5 , 2,，0丹线性表示

40、，因为任一 ”级向量能由单位向&线性表示9故任一巾维向慢都可以 由al9 a2 9，an线性农示.充分性 已知任一n维向量都可由al9色9，為线性衷示9 则单位向址组：g，&2,可由a 1,5,a“线性表示,故 5,29,线性无关.8. 设向気组 ,如,，5 线性相关,且 工0,证明存在某 个向気 a* （2S A S加）使& *能由a？乞9,乙-1线性表示. 证法一 反证法：即证若不存在满足题中所要求的向羞， 则向"S组 5，9 %“必线性无关.设冇kxax +k2a2 h=0,由于向量 am 不为邑由其前面的 m-个向量线性表示， 故frm = O;由于向

41、毎am_不能由其前面的/”-2个向哥线性 表示9 故 *m_! = 0;同理 km2 = kni_3= = k2=0于是（1）式 成为*如=0但由题设 如工0,于足Aj = 0这样9若（1）式 成立9必冇所冇系数&,紅,均为零9由定义知向母'组 巾,2,9乙”线性无关，此与题设该向量组线性相关矛膚 因此，命题成立.证法二 因为向号组。,仪2,9乞线I主相关,由定义知9 存在不全为零的数右9心昇，2炳，使仏务+几2色+心5 = °（2）在（2）式中，自右至左考察这些系数.设其第一个不为零的数为几9也即血工°9但血-1二血+产 = >im =0,此足标i夂

42、大于等于 2 ,如若不然,式（2）成为 仏 =0,由 m工0知 仏=0,此与这些系数不全为零矛盾.这时今式（2）敢为右& +久2&2 +血勺=山且兄,式0,冷2 亠几久7-1-r = -y«ia,于是，上述向爆 5 即满足要求.证法三 采用 类似算法的思想来寻找满足要求的向量.初始时,因 理H0,于兄向量组线性无关；弟1步：考察 9&2若它线性相关，贝U a2就能由（唯一 地）线性表示，a2即为所求,寻找过程结来；否则 第2步：al9a2线性无关，现考察 口卫2，巾若它线 性相关，贝!J就能由创，"2（唯一地）线性表示，Q3即为所求，号找过程结束；否

43、则轶下一步但此过程必在華 m- 步之前结束，这是因为向苛组 “5心 线性相关的. 假设它在第A-1步结束（2<*</«）,则向苛 ak就满足题中 要求.证法四考察齐次方程 4丫=0, 其中矩阵 M由列向量组©，勺，Q”？构成；因 它线性相关，故方程一定有非零解. 若设 力是/!的一个行阶梯疳，则 A中一定存在不含韭零 首元的列.注怠到 A的弟1列一定含零首元，故在 A 的 第2列至第 m 列中一定有不含非零首元的列，设为孔，因 ak解由 岔，ak_l线性表示9故 A中对应的ak也能由ar|9,线性农示.9. 已知3阶矩阵/与3维列向哥x满足A3x = 3Ax-2

44、A2x9且向址组x, Ax.A2x生无关9(1)记 P=(x, Ax,A2x).求 3 阶矩阵 使 AP=PB;解 因方阵P的列向量组线性无关，故P可逆9从而 B = P4P本題的困难在于没有具体给出力和“的元素， 而只知它们之间的一些关系式.下面就利用这些关系式 来计算 B1己向愷y = /4x9 z - A 2x, 则所给矩阵P可写为P = (x,j,z),并且由分块矩阵乘法规贝！J，有,4/, = z4(x, y ,z) = (/4x, Ay 比)因 /4x = j, Ay = zy Az = Ax因 Ax = y, Ay = z, Az = Ayx = 3Ax-2A2x =3j-2z,

45、故r0 0 O'0 0 0AP=(y ,z,3y-2z) = (x，/, z)1 0 3=P10 3,、0 1 -2；0 1-2 丿U) 0 (八于是 B = P4P =1<00 31 -2 J实际上，矩阵B就是向 堡组Ax, Ay9 Az由向S组x,y9z线 性表示的系数矩9已知3阶矩阵力与3维列向量x满足 A3x = 3Ax- 2A2x 且向量组 x, Ax,A2x线性无关.求I"稱B = P AP,两边取行列式，便冇A = B = 9.第五节xt + 2 + - + xfl = 0 y2 =x = (XnX2< *f Xrt)r (JCn - - , XWG

46、 j?满足x( + x2 +x=l问匕，匕是不是疋子空间，为什么？解X是向置空间因为若设tZ = (<Tn tf ；< >rtj7中崔+盘2卡十盘”二°0 = 3门叽、b)F、枷十+6 =。则理+ 0二(叭+力,“2 +勺+且 (“I十1) + (心+血2)十+(© +办二(巾$ + b2 + * + bfl ) +(£/(+ G 2+八+“打)二0£/ = («, wrt)rt ka - (Zup/ittj 爭,),2e 7fX是向量空间，故a十0 g Vx = («n 幻， 5)丁，Aa = (/tavAa2 &

47、lt;*, Anfl)r,入 wRK(1 j +几皿2 +，* +几“打=2(阿+盘2丰“ + "川):=兄-0 = 0,故 2a e Vx *匕不是向量空问亍因龙（"I + J + （心 + 方2）+ （心 + 銭）=（A 4- A2 + 办”）+（氐+ 口 2 + + 緝J解X是向量空间，故a+0北故岭不是向昴空间，因为（a + b）十（巾2 6三）十十（q“十b”）=（力+方 2+八，+ 方“）+ （"|+2 + + “）= 1 + 1 = 2 故U+0g岭9 HP勺关于加法不封闭，从而岭不是子空间.2.试证：由 5= （0,1,1）7, Z2=（l,0,l

48、）/ 3 = （ 1,1）/ 所生成的向量空间就是R证设，4 =（如，2,5）于是3） =3,故Q9勺，6线性无关.由于 5心 心 均为三维向量，且这个向量组秋为3, 所以 理，理2,理3为此三维空间的一组基, 故由aaay所生成的向量空间就是 /3判断 R-中与向量（0,0,1）不平行的全体向量所组成的 集合是否构成向量空间.解 /?3中与向量（°,°, 1）不平行的全体向s所组成的集合 不构成向蜃空间.对向量 G=（0,0）9 2=（。9 一 *,1）（"0）9如，©2均不平行于（0,0,1）,但 al + «2 = （0,0,1）.因此 R'中与向 昼（0,0,1）不平行的全体向量所组成的集 合对加法不封闭 故所给向苛栗合不构成向苗空间.4.验证 吋(1,-1,0几 a2=(2,l,3)r, a3=(3,l92)TR3 的一个基，并把 勺二门)8 = (-9,-8,-13)厂用 这个基线性表示.123