学生版数论不定方程

1、zhangqingtao8083/1/2021不定方程大家已经学过简单的列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代著名的“鸡兔同笼”问题。如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）。所谓不定就是指它的解不唯一。通常解方程或方程组，要求方程的个数等于未知数的个数，因此，对以一般不定方程我们不能求解，但是某些特殊的不定方程，可以在整数或某一范围内求解。经典例题例 1、已知 5x+7y=613，请你写出一组整数解；【分析】将系数、常数对 x、y 系数中较小数 5 取模，有 2y3（mod5），y为整数，则 2y 不可能取 3，于是可以“耍赖”取

2、 3+5=8，即 y=4， 例 2、中华牌 2B 铅笔 7 角钱一支，2H 铅笔 3 角钱一支。高好可以买这两种不同的铅笔共多少支？x=117,y=4。用 5 元钱恰【分析】设 2B 铅笔 x 支，2H 铅笔 y 支；则 7x+3y=50；或 x=5，y=5,可以买 10 支或 14 支。x=2，y=12 ，例 3、庙里有若干个大和尚和若干个，已知 7 个大和尚每天共吃 41个馒头，29 个至少有多少个和尚？每天共吃 11 个馒头，一天里共吃了 722 个馒头，问：庙里【分析】设有 x 组 7 个大和尚，y 组有 29。和尚数为 7x+29y，馒头数为 41x+11y；41x+11y=722；

3、对 11 取模，x=5，y=47，根据“耍赖”的规律有 x=16， y=6；x=5，y=47 时，5×7+47×29=1398 个和尚；当 x=16，y=6 时，共有 286 个和尚，最少有 286 个和尚。例 4、100 匹马驮 100 筐物品，一匹大马驮 3 筐，一匹中马驮 2 筐，两匹小马驮 1 筐.问大、中、小多少？【分析】设大x 匹，中y 匹，小z 匹。则ìx + y + z = 100ï，z=100-x-y，代入第一个式子有：3y+5x=100，：y=0，ízï3x + 2 y += 100î25，10，15，2

4、0，25，30.对应的我们可以求出 x 和 z 的数量。不定方程与分数的分拆第 1 页 共 11 页zhangqingtao8083/1/2021方法总结对于整式不定方程求解的一般步骤：利用整除性质是否有整数解；化简方程；利用“同余耍赖法”求出一组特解；利用通解的规律写出满足条件的特给出最终。巩固练习练：已知 6x+4y=213，请你写出一组整数解；练习 2：求解不定方程 63x+45y=547；练习 3：求解不定方程 63x-45y=549 的解（至少 5 组）。练习 4：小明问：“你养了几只兔和鸡？”说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共 24 条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？”练习 5：带 6 元钱

5、到花店买花.如果月季花 1 元钱一盆，茉莉花 8 角钱一盆，要把 6 元钱刚好用完.问能买月季花和茉莉花各多少盆？练习 6：甲种铅笔 7 分钱一支，乙种铅笔 3 分钱一支，两种不同的铅笔共多少支？用 6 角钱恰好买以上我们研究了整式不定方程的解法，下面我们讨论分式不定方程的解法。对于形如 1 = 1 + 1 的分式不定方程：寻找整数 x、y 使之满足方程，称为求nxy分式不定方程的整数解。这里 n 是取定的一个自然数。经典例题例 4、求解不等式 1 = 1 + 1 。6xy不定方程与分数的分拆第 2 页 共 11 页zhangqingtao8083/1/2021【分析】由 1 = 1 + 1

6、，两边减去 1 ，得： 1 - 1 = 1 ；通分： x - 6 = 1 ；因6xyx6xy6xy6x此， y =，这里x6 大于 0。为了使右端的分数形式更简明，我们不妨把 xx - 66 看成一个整体，即令 t=x-6.那么 x=t+6。因此 y = 6´(6 + t) = 6´ 6 + 6 。由于 ytt是整数，上式右边也是整数，所以 6 ´ 6 也必须是整数，这样我们推知：t 是 62t的因数（约数）。由于是求不定方程 1 = 1 + 1 的整数解，这样，原先“漫无边际”的找两个未6xy知数 x、y 的问题，转换成简单的 62 的因子 t 的问题了。一个完

7、全平方数的因子必然是奇数个，如 62 的因子有 6、1 和 36，2 和 18，3 和 12，4 和 9。6 称为自补的因子。后面的 2 和 18 等都称为互补因子，这样，62t =3, t =12; t =4, t =9 也即= t1 ，'''''不妨记为：t0 =6, t =1, t =36; t2 =2, t2 =18;113344t16262111111= t4 。 x=6+t,y=+6= t +6, 6 = x + y 的所有解表示成 6 = 6 + +' 。这里''t6 + ttt4补因子也包括在内），所以 1 = 1

8、 + 1 的6xyt 和t ' 是 62=36 的互补因子（当 t= t ' =6t = t' = 6, 1 =+, (1111+全 部 整 数 解 为 ：)；00612126 + 66 + 6t = 1, t' = 36, 1 = 1 +, (+111= 2, t' = 18, 1 = 1 +, (111+) ； t) ；1167426 +16 + 362268246 + 26 +18t = 3, t' = 12, 1 = 1 +, (111+) ；3369186 + 36 +12t = 4, t' = 9, 1 =+, (11111

9、= 1 , 1 = 1+) 。由于 x、y 地位对等，的44610156 + 46 + 9x7 y42解与 1 =, 1 = 1 的情况我们都看成一种了。y42 x71以上是讨论 1 = 1 + 1 的全部解。自然会想到如果把上式的 1 再分解成两个6xyx为 1 分母为整数“的和，那么我们相当于求： 1 = 1 + 1 + 1 的nxyz“分数”（不定方程与分数的分拆第 3 页 共 11 页zhangqingtao8083/1/2021整数解。例 5、求解不等式 1 = 1 + 1 + 1 。6xyz【分析】可以利用已经求解过的 1 = 1 + 1 的 5 种解，再把其中 1 分解成6xyy

10、1 + 1 ，例如yz111+ 1 +，如此等等。112742方法总结以上情况推广到一般情况：（对于 n 较小）求不定方程 1 = 1 + 1 的整数解，nxy1 =11+只要找出n2 的全部成组互补因子t 和t ' ，则就可得到全部解。设n2n+ tn + t'的约数个数 m，则 1 = 1 + 1 有 m +1 种分拆方式。nxy2对于求不定方程 1 = 1 + 1 + 1 的整数解，我们只要将其中 1 分解成 1 + 1 即nxyzyyz可。特别，如 n 是质数，n = p, 1 =+=111+。除了 p=2 以外，p+1p2 p2 pp +1p1， 例如， 利用 ( p

11、 +1)2 有因子 1 和 ( p +1)2 ， 因此是合数。 再p +1111，所以 1 =11=+。p +1p + 2( p +1) + ( p +1)2pp + 2p( p +1)( p例如： 1 = 1 +， 1 = 1 +， 1 = 1 +111111。351220573042795672巩固练习：求解不定方程：= 1 + 1 。12xy1练练习 2：13、求不定方程 1 = 1 + 1 的全部整数解。5xy不定方程与分数的分拆第 4 页 共 11 页zhangqingtao8083/1/2021在这些基本训练基础上，我们很容易把整数 1 分拆为若干个分数之和。分成两部分，唯一方式：

12、1= 1 + 1 ；分成三部分，只有3 种方式：明显的有221 = 1 + 1 + 1 ，先有1= 1 + 1 ，再借用 1 =1111+=+这两种分解形22 +12 + 42 + 22 + 233322式（因为22 有互补因子1，4，2，2）。可有1 = 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 ，1 = 1 + 1 + 1 。244236333并且可断言只有这三种形式。为证明这一结论，先“推广的抽屉原理”（不妨称平均值原理更确切）：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值。（注意，这里的数不局限于整数。）分数之和，必有一部分 1 ，而 1 的分数只有 1 和

13、 。2311 分拆为三个33不妨设 1 ，则=或 =，问题转化成：1 =+或1 =+。111111111111xyzx2x32yz3yz对于前一种情况，1- 1 = 1 + 1 = 1 ，再用推广的抽屉原理， 1 、 1 中，不妨设2yz2yz1 1 ，必有一个 1 。 1 只有 1 和 两种情况（显然 1 1 ）。对于 1 = 1 和，11yz4y43y2y34分别必有 1 = 1 和。归之于1 =+和1 =+的情况。1111111z64236244对于后一种情况，1- 1 = 1 + 1 = 2 ，同样用推广的抽屉原理，有 1 1 ×（ 2 ）3yz3y23= 1 ，又 1 1

14、= 1 ，所以 1 = 1 。由 2 = 1 + 1 得 1 = 2 - 1 ，也归之于三种形式之中。3yx3y33yzz3 3故推断正确。经典例题例 6、求解不定方程 4 = 1 + 1 + 1 。5xyz【分析】不妨设 xyz， 1 。不小于的分数有 1 ， 两种。（4411）x151523当 1 = 1113133111111117， +=， ，则=+=+。（2）当 =， +=，x2yz10y2010510420x3yz15则 1 ，发现无解。y307不定方程与分数的分拆第 5 页 共 11 页zhangqingtao8083/1/2021方法总结推广的抽屉原理，实际上给我们求出了解的范

15、围，然后在此范围内进行逐一讨论，因此省掉了很多不必要的麻烦。巩固练习：求出= 1 + 1 + 1 的整数解，你能求出全部的10xyz7练证明没有其他的解吗？在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个分数分拆为两个分数之和即可，这里我们另一种技巧，先看：1 =11+我们这里是在讨论分数问题到此式，其实此式nn +1n(n +1)1= 1 -1又可以改变形式写成：，它在计算中也有巧妙应用，为保持原n(n +1)nn +1问题讨论的连续性，它的具体应用请看习题。1 =11+在将整数 1成若干个分数和的求解中，用起来很nn +1n(n +1)方便。例如可将 1为 3 个分母不等的分数之和：

16、1 = 1 + 1 = 1 + 1 + 1 。而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以22236成任意多个分数之和。如：把 111 （2 项）1=+22= 1 + 1 + 1 （3 项）236= 1 + 1 + 1 （4 项）124126= 1 + 1 + 1 +（5 项）112412742= 1 + 1 + 1 +（6 项）252012742111= 1 + 1 + 1 +1111（7 项）26302012742不定方程与分数的分拆第 6 页 共 11 页zhangqingtao8083/1/2021= 1 + 1 + 1 +（8 项）263020128564211111= 1 + 1

17、 + 1 +111111（9 项）263020129725642=（10 项）420907256如果要求你用两种不同的方式把 1 写成 10 个分数之和，你不妨在式用公式 1 =11111+，如选=+，即可。2021420成 9，另选nn +1n(n +1)实际上，公式 1 =11只是最初讲的 1 = 1n1 =11+的特殊nn +1n(n +1)yn + tn + t'情况，只是把n2 的互补因子选为 1 和n2 而已。所以基本功在于 1 = 1 + 1 的分解。nxy上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分解 n2 的因子，而只要求分解 n 的所有因子。经典例题例 7、求解不定

18、方程：= 1 + 1 。12xy1【分析】把 12（注意：不是122 ）的所有因子由小到大排列：1、2、3、4、6、12，6 个因子2 个配成一个组合，共有 15 种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（1，6），（2，6），（3，6），（1，12）2，12）3，12）4，12）（4，6），（6，12）ab+对于每一组合(a，b)，写成 1=，则有：a + ba + b1ab11=+=。例如：（2，3），1212(a + b)12(a + b)1212()(a + b)()(a + b)ab112311=´(+) =+。12122 + 32 +

19、33020不定方程与分数的分拆第 7 页 共 11 页zhangqingtao8083/1/20211 = 1 + 112xy有 15种方式。但这里有重复， 如由（ 1 ， 2 ） 配出的所以1+ 22 + 411=和由（2，4）配出的=是相同的。只要在因子的配1212´ (1+ 2)1212 ´(2 + 4)组中筛去这种情况即可. 因此我们以后利用此方法求解时，我们要对于 n 的因数两两求商，有几种不同的有几种不同的分拆结果。方法总结我们可以看出此方法很容易得到 1 = 1 + 1 的一种分拆方式，但是如果要求nxy将所有的情况都求出时，我们要对于 n 的因数两两求商，有

20、几种不同的有几种不同的分拆结果。这样就不如上面的方法方便了。巩固练习1练：将分数 拆成两个6分数之和，共有多少种不同的结果？经典例题1例 8、将分数分拆成两个16分数之和，共有多少种不同的结果？【分析】我们可以从因数的角度去考虑。16 的因数有 1，2，4，8，16.从这五个因数中每次取出两个求商，有几种不同的有几种不同的分拆结果。11´ (1+ 2)1111´ (1+ 4)11=+，=+，1616´ (1+ 2)48241616´ (1+ 4)802011´ (1+ 8)11´ (1+16)1111=+=+，1616´ (

21、1+ 8)144181616´ (1+16)2721711´ (1+1)11=+1616´ (1+1)32321例 9、将 分拆成两个分数之差，共有多少不同的结果？8【分析】8 的因数有 1，2，4，8.从中两个求商，共有商 1，2， 4，81 不行，所以有三种不同的结果。 1 = 1´(2 -1) = 1 - 1 ，四种情况，但88´(2 -1)48不定方程与分数的分拆第 8 页 共 11 页zhangqingtao8083/1/20211 = 1´(4 -1)1 ， 1 = 1´(8 -1)= 1 -= 1 -。188&

22、#180;(4 -1)62488´(8 -1)7565例 8、将拆成两个分数245之和，共有多少种不同的分法？【分析】虽然不是24分数，但我们也可以按照原来的方法进行分拆，但注意必须使取出的两个因数之和是 5 的倍数。24 的因数有 1，2，3，4，6，8，12，24.两个因数之和是 5 的倍数的有（1，4），（1，24），（2，3），（2，8），（3，12），（6，24），（8，12）共 7 种。但（1，4），（2，8），（3，12），（6，24）的两个因数的商相同，（2，3），（8，12）两组的商相同，因此共 3 种不同的结果。55´ (1+ 4)55´ (1

23、+ 24)1 + 11 + 1=，2424 ´ (1+ 4)2462424´ (1+ 24)120555´(2 + 3)1=+ 1 。=2424´(2 + 3)128例 9、求出的所有形如 1 + 1 的表1，其中 a,b 为自然数，并且谁也不40ab是谁的因数。1 + 1 中的 a,b 谁也不是谁的因数，只要在 40 的所有【分析】为了是表ab因数中两个没有倍数关系的因数即可。40 的因数有 1，2，4，5，8，10，20，两个商不同的因数且没有倍数关系的有（2，5），（4，5），（5，8）。40.从中所以共三种不同的结果。11´(2 + 5

24、)111´(4 + 5)111111=+，=+，=+。4040´(2 + 5)140564040´(4 + 5)90724010465方法总结上面几个例题是利用因数拆分的几个应用，我们可以看出，这种分拆方法比较灵活，适应的题型也比较多，我们只需要看出题目的要求，然后转化为因数之间的关系即可。巩固练习1练：将分数 拆成两个6分数之差，共有多少种不同的结果？不定方程与分数的分拆第 9 页 共 11 页zhangqingtao8083/1/2021练习 2：求出的所有形如 1 - 1 的表1。且 a,b 没有倍数关系。12ab练习 3：求出的所有形如 1 - 1 的表5。21ab练习 4：求不定方程= 1 + 1 的整数解中，使 x+y 为最小以及最大的两组30xy1解。经典例题47例 10、将分拆成 3 个分母是连续偶数的分数之和。120】 设47= 1 +11+【 分 析，（ 其 中 a为 偶 数 ） 由 于120aa + 2a + 4471113=+<,所以 a<7.a=2，4，6.只有