理论力学经典课件-第五章--动量定理和动量矩定理

1、 模型:研究机械运动与力的作用关系理论的普遍性: 离散型 松散介质:连续型固体、流体、刚体(包括刚体、结构、弹塑性结构、流体等)直接用于一切动力学受力的质点系意 义:2.动强度设计1.一切动力学基础经典动力学分析动力学牛顿力学、矢量动力学(物理中已阐述)两个原理为基础内容:动量主矢变化与外力主矢关系动量主矩变化与动量主矩关系任何物体具有惯性；力是改变运动的原因。 牛顿在地球上发现，总结于自然 哲学的数学原理。1.惯性定律 不受力质点，保持静止或匀速直线运动状态(相对惯性系)。表明:2. (对质点)maF 即 合力与加速度同时、同向。22ddmtrF 0Ba此时弹力，摩擦力不变:ABAAAmfm

2、mmFag A与B在F作用下匀速运动，已知突然拆去F后，求此时 AB,aa 。ABm ,mf和kBAF0Ba物块沿斜面运动， 沿斜面。 a ABAAmgmmacossinRFFG故合力沿斜面，且 已知 求物体所受合力。 0,fG,F,AB,aaABm ,m 已知 悬挂重物，求绳断时 ?BAkFGm20m xx光滑圆管在水平面匀速转动，管内小球如何运动? 三大定律适应惯性系(地球、地心、日心)不仅适应用平衡体，也适应非平衡体。第3定律可用于非惯性系。3.作用与反作用定律在x方向投影:即 小球沿管向外运动。2mxmxCa2xx x1.两种形式imt, ,rFr rxFxm Fsm 投影式 a、直角

3、坐标b、 弧坐标系矢量式 yFym zFzm 2nsmF0bF坐标与坐标导数正向相同。投影式两边正方向相同。还有柱坐标、球坐标式等。绕线轮与滑块，已知，r，m，f0，求 与x的关系。TFcosAvrABORxAvAa2.两类问题:第二类:第一类: 已知运动求力微分已知力求运动积分22cosxrx22Arvr1x4225222Tmr xFxr研究滑块AcosTAFma由 得为所求AaATF42222Ar xaxr得Axv 注意到:33222AAr avxxr 如何可使 与坐标正向一致？Aa建立图示 坐标1x，1xlx1Axa不对，A、B两点均运动。d dABlrt 对吗?ABORxAa1x质量为

4、m小球在空气中下落，试求小球的运动。20000F,y,v2mymgFmgy2 vgvm即myoyvFmgmgc设22vcvm则2200d dvtvtcvmcth()gvtcdcth()dyt00gyttc2lnch()cgytgcddyt 存在极限速度 ，小球趋于等速运动；cvm运动分析:v/cgt/cO12 mmgv即此时 阻力与重力平衡 mv空中降落伞很快达到mmgvcddeitpF5-2-1 质点系的动量5-2-2 质点系动量定理iiCiiCmmmmpvvrryiiCypm ymvxiiCxpm xmvzCzpmv(动量系的主矢) 已知m,r, 比较两环 大小?21pp ,m2m2o1o

5、mrr5-2-1 质点系的动量PC 求均质杆合动量 ， 对吗?(与内力有关吗?)mlp2p3lP 位置不对! 应在 处.(向C简化，还有动量主矩 )cL3lp123pr mr mmr22prm21 pp 故5-2-1 质点系的动量ddetpF1.微分式2.积分式3.守恒式0eF 常矢p0eRI21pp (不一定守恒)2121dteeRttppFI5-2-2 质点系动量定理(由对质点的动量定理，求和得到) 揭示外力主矢与动量变化之关系，形式上与内力无关。三种形式均有投影式ddxxpFt 21exxxppI 0 xFxp 常量则5-2-2 质点系动量定理2TFmgIImv与 成 角,v 圆锥摆，已

6、知 试求半周期内绳张力冲量 。TFImvR、 、22()(2)TFRImgmvvmvI2tgmg1 -方向:2mvmgITFIvvmRTFmg5-2-2 质点系动量定理描述了质系质心运动与外力主矢的关系。Cmpv1.定理ddtp对刚体仅描述了随质心平移的一个侧面。 eCmaF 炮弹在空中爆炸后，其质心仍沿抛物线运动，直到一个碎片落地。跳水运动员质心作抛体运动。Cimmiaa 2.质心守恒(不动)01) 0eCOFv若00CCavCr 常矢02) 0 xC xOFv若00C xC xavCx 常量 对！ Ciimxm x t，Ciimxm x 有Ciimxmx0iimx对吗?Cx 若常量，0ii

7、mx，则则故有0Cx当时，0 xF0mx有 则右移设,SAA()02AABAa bmSmS() ()BAABa b mS2 mm 0Cx,且(左移)BbaBAABm ,m ,a,b,90AS 已知 力偶使B转 后，求 。MCAB均质杆在铅垂面内滑倒，f=0,求杆端A运动轨迹? 0 0 xCF,x,2cossinAAlxyl22224 1AAxyll故杆质心C沿铅直线运动。设任意时刻t，状态如图yxCvCAB 物A置于箱B右端在水平力F作用下，B由静止开始运动已知 。B在2s内前移5m，不计B与地面摩擦。试求A在B内移动距离(B足够长)。20kg30kg120NABm,m,FFAB研究整体: A

8、ABBFm am a ,由有1202030 (1) ABaa212BBSa t ,而 有(1),代入式得21 4.5(m)2AASa t故54.50.5(m)ABBASSS ,aB2521525(m/s )2B a故 29(m/s )4Aa FAB无相对运动时:经时间t1，发生第1次碰撞。 为什么 =常量?BaBABmmFa A对B的摩擦力 大小为是常量。 Am gf2591m/s244ABBAaaa 若给定B长4m, 完全弹性碰撞以后情形?（有向后与向前之区别）,taAB21214 18 44 2(s)t Am gfFAB有相对运动时:水平管绕轴z转动，A，B两球细绳相连，22kg0.5kg

9、0.2kg mABCm,m,J,40cm/sArv,求 (不计摩擦和绳重)。100cml,图示瞬时，测得60cmAr,0.5rad/s, ArAlBzddzzJtJ d0dzLt0zzM,L常数，22() zzCA ABALJJm rml r而ddzzJJ 0t代入上式，得d22()()0.8dzA AArBAArJm r vml rvt而20.4rad/s 故不变， 变化， 变zLzJ则ArAlBz 曲柄滑槽机构。已知 ，G为导杆 重心。曲柄、滑块、导杆质量分别为 试求支 座O动约束力。 2,lBGlOA123m ,m ,m 。OABGC xiiOxmam xF 123coscos( cos

10、)22Cllmxmtm ltmlt而 2123(2)cos2OxClFmxmm2mt 故 2max123(22)2Ox lFmmm212 (2)sin2O yClFmymmt 同理2max12 (2)2O ylFmm由质心运动定理t 当时，2t 当时，OABGyxOxFOyF偏心电机转动时，支座动约束力多大？OxCFmx22d( cos)dmettOyCFmytme sin22cosmet me1OCOOxFOyF炮车放炮。已知 （对地）求反冲速度 。u1m ,m, ,v,rvuvcoscossinsinrrvv u vv上式在x，y方向投影urvvu1mmv22211() tgmvummm

11、20 xp,由有1cos0mumv解之得:11tgtgmmm可见当时1mm 11tgmmm 不计空气阻力， ?射程最远。 炮台放炮（高h） ?射程最远。45时，射程最远，此时2202ttv vvgh,，设炮弹落地速度为(能量守恒)tv可见 一定时。 大小一定，且0vh，0tvvgt0cosxvt要使水平射程 最大。1mmh002t0tg2vvvvgh 01cos22gxgtv只要 最大。即图示矢量三角形面积最大。0tv ,v因 边长一定。0tvv必有 即代入上式01210tgvmmmv2gh得 时，水平射程最大。gt0vtv)(ddeo0FMLt2. 对运动点A1. 对固定点OiiiOLrm

12、v AOLLAOPxxiixOxLL (m)L 或vL0Av(1)对两个固定点A,O 之关系(2)对固定轴x (1)绝对动量矩(数学上完全类似力矩) P 动量Aiiim Lrv绝对速度iv(2)相对动量矩(在A点固连平移系)Aiiim Lrv()AiiAim LrvviAivvv() AAAmLLACvCCLLAmACvAiiAmvrL相对速度iv(3)两者关系故C为质心，0，AC当即动点为质C时对质心得绝对与相对动量矩相等3.刚体的动量矩(对固定点A)iCvv(对动点A， 形式同上，但 为一般运动矢) ACAL()AiiCCmm LrvACvACP(1)平移且有Ar设rvk ,kjirzyx

13、(2)定轴转动对轴上一点O:dOxzyzzMmJJJLr vijkkij0LOddxzyzMMJxz m,Jyzm,可见:(可以证明任意点存在 三根主轴)0 xzyzJJ OzJ有L d22zMJxym,其中称为惯性积；为对z轴转动惯量。;O不沿 方向L一般情形, 当转轴z为主轴时， 212CJmR2112CJml常见主轴质量对称面对称轴常见刚体均质轮均质杆CO平行轴定理:2OCJJOC m2OJm工程中:(只能从质心移动)惯性半径或迴转半径CO 在刚体上建立质心平移系 ,且使 运动平面，则相对运动为绕 轴的转动，已知 对两固定点A、C C x y zCz CzCv,ACCmLLACv CCx

14、 zz yzLLJJJ ijk(3)平面运动a)一般情形Czxyb)主轴情形若 为主轴，则C z0;x zy zJJ CCJ LAC,LL()ACCmLLACv则故方位相同，可视为代数量。CzxyAm,r,L求。ACLJ mr r-h 均质轮滚动，已知ccvrAhrCCv()OCCLmvR rJ vCOCCm,R,r,v ,L ,L ,L求。 均质轮纯滚，已知vvvCCCCvLJ Jr 212CCLLmr ROvCCvrccvrrCCv 各构件质量均为m，求 。OL a1rO2rC br2lrCO2r12222122211()32OrrLml m rrmrrOCLLOCP21rrl22211(

15、2 )(2 )212mrmrmr0图(a):图(b):2296mr a1rO2rC br2lrCO2r br2lrCO2r2222112(2 )212OLmr rmrmrmrmr 2OCLJ mr rmrmr22629)3423(2C(亦可按平面运动刚体计算!)(分别对各质点，再求和，内力矩抵消)ddeOOt LMeOuM几何解释，类比ddddO,ttLrvu 矢端速度等于外力系对O点的主矩OL2121dteeOOOOtt LLMMI冲量矩定理外冲量矩(赖柴定理)1.微分式:2.积分式:3. 守恒式:0eO,若Md0dLLOO,t常矢则4 .投影式:ddexxLMt2211dteOxOxxtL

16、LMt0exM,若守恒方向性则xL常数如圆锥摆:0eO,M0eOC,M而CL守恒不守恒OLOCL守恒0eC,MvCGTFO21d0teOtt,若M12OOLL则211sin12OOLLml 已知 O为均质细杆质心， ，求A、B动约束力。,mllAB 杆细长，可略去 ，方向 22OL eO由uM cosOuL 而2sin224eOABMmlFFl故 方向如图，右手法则AF1OLBAOl21 BF 若固结点偏离质心O,如图所示， A,B处动约束力又何变化? 类似方法，可求矩形板，圆盘转动时的动约束力。2OAB,LF F均减小。相应增大。BAO1OOr1m2mm已知 ，求a。1212()m,r,m

17、,mmmddeOOLMt1212()dd()2 mmgt2m2mm r研究整体，受力如图。由(不用隔离体法)ar故 212d1()d2mmm r t即 12()mmgr1m g2m gOyFOxFamg若不计绳与滑轮的质量，则aavv21AABBOm v rm v rJ BAvv猴子爬绳比赛，已知ABArBrmm ,vv。若考虑绳与滑轮的质量，则显然，ABCBADI221312 (2)3212ABCBDIlml mvlml 两杆铰接悬吊，已知 求冲击后，求m,l,I，ABBD，。设冲击后，速度如图。研究整体，由冲量矩定理，对A轴(1)12CABBDvll且 BDABCv研究BD杆，对固定点 ，

18、由冲量矩定理有B21212CBDlI lmvml (3) (1)对固定点A、B，使用冲量矩定理，避免了未知 的约束力冲量. (2)BD杆相对固定平面作平面运动. (3)悬吊n根杆受冲击的思考.5-15 5-18 5-33 5-35 5-39 5-40 5-41 类似习题:(对固定点)(对运动点) 123由、 、 得630( )( ) 77ABBDII,mlmld,d2ABLlmgF lt由0,BF 令飞轮角加速度多大时，FB为零？2OlJmg则BABAmgBF如何设计双足机器人行走侧向稳定方案？由物理，对运动质心C，有ddCCLMtAdd?Lt 对一般运动点A imzxyOCA 在A点固连平移

19、系为任一质点。,iAx y z m 1 .定理的一般形式Oii iACALrmvLOA mvmAC viri r, iiiArirOArvvv(复合运动)A为运动点(已知vA，A)C为质点。dd AACCCAAALvmvOA mamvvmACat对一般动点AddAALMtd()()d eAAALMFACmat )(Acvv eei rFOA rF 平移系中， (绝对导数相对导数) (动系单位矢方向不变)ddddAALLtt由于修正项，工程中一般不用，用于非惯性系中。ddOOLMt 代入2. 定理的特殊形式使修正项 的情形()0AACma ddAALMt 10,( ) Aa (A固定，匀速直线，

20、加速度瞬心)(2) 即，A为质心C0AC(3) 与 共线， AaAC0AaACddAALMtddCCLMtddCLt 均质杆长l，绳段瞬时 0 AaAC有d,dAALMt2132lmlmg即如何用最简方法求?32gl故BACmgAa 均质轮滚动，已知 。0, vCvaC C 有dd vvCCLMt即232mrFr23 FmrFr,m,vCaccvrrCCvFvC 均质杆长l,沿墙滑落。cos2vCGlJCvC=常数时， 指向CvCacos2 vClJG有AFBFGBACvCvCa 半圆柱，一般位置时。 0vCvaCC当直径面水平时， 指向C，有vCaddvvCCLMtddvvCCLMtvCa不

21、指向C，COvCmgvCa 均质环滚而不滑，A球固结环上，求 绳段瞬时 。有 00Ba ,cos30BJmgr0OOCa再思考: 滚至OA水平时，再求 。O指向质心CmmrO030AmgmgBCOrAFB0JmgrFr有d,dAALMt即2222ddmrmrmrmrmgrt2()Fmrm rr而222111()2222mgrmrmrmR又由能量守恒可求4gr故24mrmgr对固定点A，COrAFB另解:若 则猫在下落过程中如何翻身？跳水时如何产生多周旋转？转椅上的人如何能自转动180 ？3. 动量矩相对守恒0CMCL 常矢对质心轴:若 则0CMCL 常量可解释:4 . 刚体平面运动微分方程,

22、eCmaF有CCJM与动量定理和动量矩定理数学上等价。ddczCZLMt 由 有 分解为随质心C平移绕C轴转动 CxCymxFmyF由常与动量定理结合，求解时间相关问题。灵活选矩心，严格守条件。结合运动学条件。5 . 典型问题 圆轮问题mRFhf， ， ， ， ，已知sCaF、 。求ChF1)解题要点 受力与加速度分析如图。由刚体平面运动方程，有:假设轮滚动，即联立解之得ChF124()3 ( ) ( ) () ( )CsNsCmaFFFmgF hRF RJ未知量 4 ( )CaR2(32 ),33 CsFhFRhaFmRRmgSFCaNF当h3R/2时， 向右sF h3R/2时， 0sFCh

23、FmgSFCaNF可见:不听话的绕线轮。已知m, r, R, f, F, 求 。caarccosrR当时，(前滚)0arccosrR当时，(后滚)0arccosrR当时，(平移)0CrFR 如图所示，长为l的均质杆AB，重量为G，从静止于直角墙角且倾角为 的初始位置开始运动。若不计摩擦，求任意 角位置时杆的角速度与角加速度。2.00GBAClcos2 (1)vCJG3cos(2)2 gl221124 vCGG lJlgg而ddddddddtt又故 当杆端A没离开墙角时，AB杆的速度瞬心在Cv点， ，在任意 角位置时，有l2vC C GBACBFAFvC003dcosd2gl 03(sin-si

24、n) gl 故 舍去正值代入式(2),并积分得1) 如何求任意位置时FA,FB大小？2) A端在何位置离开墙面？3) 考虑摩擦时，如何求解？GBACAFBFvC 水平管绕轴z转动，A，B两球细绳相连， 图示瞬时，测得 ,求 (不计摩擦 和绳重)100cml,60cm40cm/s0.5(rad/s)AArr,v,22kg0.5kg0.2kg mABCm,m,JArlzAB0zzM,L常量22() zzCA ABALJJm rml rd0dzzJ J td22()()0.8dzA AArBAArJm r vml rvt 20.4(rad/s ) ddzzJtJ d0dzLt则而代入上式，有而故zL不变， 变化，变zJArlzAB 稳定流体的动约束力。图示变截面弯管中的稳定流体各处速度不变）。已知 重力G，入、出口相邻流体压力 ，试求流体对管壁引起的附加动约束力。21FF ,21vv ,G2F1F2v1v21 将流体段所受动约束力向某定点O简化。先求其动约束力主矢量。考察该质点系动量的变化，在 t内:121 2iiiimmpppvv122 21 112()()iiiiiiiimmmmvvvv因为是稳定流，故有1212iiiimm vv(a