理导数教材分析2014.9.9

1、理科导数教材分析北京一中王志伟北京一中王志伟一一. .微积分的创立微积分的创立了解数学史是了解数学科学的一个步骤 -陈省身 微积分的思想萌芽，特别是积分学，部分可以追溯到古代，我们知道，面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题，中国古代数学家刘徽的体积理论以及后来的祖冲之父子的祖暅原理及球体积的推导在公元200-500年之间就有了积分的影子。 与积分学相比，微分学的起源则要晚得多，刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值问题。十七世纪上半叶这半个世纪天文、力学等领域发生的重大事件使得确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时时变化率问题的研究成为当

2、务之急. 牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，1665年8月剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竟成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是这两年描绘的。在牛顿以前，面积计算与求切面积计算与求切线问题的互逆关系线问题的互逆关系以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确的作为一种规律揭示出来（正反流数术），并证明了二者的互逆关系，将这两种运算进一步统一成整体。正是这样的意义上，我们说牛顿发明了微积分。作为例子，牛顿算出纵坐标为y=xn的曲线下的面积是 ; 反之，纵坐标为 的曲线其切线的斜率为x

3、n .1nx1n1nx1n牛顿对流数法中的流数的概念作了如下解释: “我把时间看作是连续的流动或增长，而其他量则随着时间而连续增长，我从时间的流动性出发，把所有其他量的增长速度称之为流数流数，又从时间的瞬息性出发，把任何其他量在瞬息时间内产生的部分称之为瞬” 莱布尼茨出生于德国一个教授的家庭，1667年获法学博士学位，曾任驻法大使，莱布尼茨在巴黎居住了4年，这4年对他整个科学生涯的意义可以与牛顿在家乡躲避瘟疫的两年类比，莱布尼茨的许多重大成就，包括创立微积分，都是在这一事期完成或奠定基础的。莱布尼兹经典结论：求切线就是求差，求面积不过求切线就是求差，求面积不过是求和是求和。回到德国，在汉诺威不

4、伦瑞克公爵府任顾问和图书馆长，莱布尼茨是一位科学活动家，他的一些创举使科学受益匪浅，他是柏林科学院的创建者和首任院长，彼得堡科学院、维也纳科学院也是在他的倡议下成立的。莱布尼茨甚至曾写信给中国康熙皇帝，建议成立北京科学院。 牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎，牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著自然科学的数学原理之中。而莱布尼茨则在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学的论文，正是由于这个原因才造成了牛顿与莱布尼茨的微积分优先权的争论，为此1712年英国皇家学会专门制定了一个委员会进行调查，直到莱布尼茨和牛顿都去世后争论才逐渐得到平息和解决，经过调查，特别是对莱布

5、尼茨手稿的分析，证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨，就发表时间而言，莱布尼茨则早于牛顿。 二二. .考试说明考试说明( (理理) )导数的概念A导数的几何意义B根据导数定义求函数的导数A导数的四则运算C简单的复合函数的导数B导数公式表 B利用导数研究函数的单调性C函数的极值、最值C利用导数解决某些实际问题B定积分的概念A微积分基本定理A1 1导数的概念导数的概念（1 1）瞬时速度三三. .教学建议教学建议OV(m/s)t(s)20201010AA点说明什么（）（）导数的概念注意：导数是一个局部概念，它只与函数在x=x0处及其附近的函数值有关，与 x无关

6、 f1(x0)是一个常数，既当x时存在一个 常数与 无限接近xxfxxf)()(00（3）根据导数的定义，求函数yf(x)在点x0处导数的方法2.2.导数的几何意义导数的几何意义(1)对于导数的几何意义要注意求切线方程的三种类型： 已知曲线上一点， 已知曲线外一点， 已知切线的斜率(2)切点的三种应用: 切点在切线上； 切点在曲线上； 切线的斜率等于曲线在切点的导数。(3)曲线的切线准确理解曲线的切线，需注意的两个方面直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线可能与曲线有2个以上的交点曲线未必在其切线的“同侧”，

7、如曲线yx3在其过(0,0)点的切线y0的两侧3.3.导数的计算导数的计算1.几个常用函数的导数(1)C、(2)x、(3)x2、(4)x-1、（5）2.导数的运算法则(1)两个函数积与商的导数公式的注意点(2)不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导.x4.4.函数的单调性和导数函数的单调性和导数(1).函数的单调性和导数确定定义域求出函数的导函数求解不等式f(x) 0，求得其解集取,的交集得单调增区间,取的补集与的交集得单调减区间(2).函数的变化快慢与导数的关系导数的绝对值较大,函数值变化的快,函数图象就比较陡峭”;反之,函数图象就比较”平缓”(

8、3)明确几个关系求函数单调区间,则令f(x)0;已知函数单调区间,则令f(x)05.5.函数的极值与最值函数的极值与最值(1)函数极值 函数的极值点是一个实数，是函数取得极值时自变量的值，而不是点 函数的极值点一定出现在区间内部，区间的端点不可能成为极值点 在定义域内极大值极小值并不唯一，并且极大值和极小值无确定的大小关系 可导函数的极值点是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点 函数的极值可以有多有少，但最值只有一个. 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得.有极值的函数未必有最值，有最值函数的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值（2）函数最值的理解a0a0000

9、0000 x0 xx1x2xx0 x6.6.三次函数三次函数f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx+d(a0)+cx+d(a0)的图象：的图象：x1x2x7.7.生活的优化问题生活的优化问题利用导数解决优化问题（）抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y=f(x),要注意实际问题中变量的取值范围（）求函数f(x)的导数f1(X),并解方程f1(X)0，即求函数可能的极值点（）比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数的最大值或最小值（）根据实际问题的意义给出答案8.8.已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间D D内的单调性，求内的

10、单调性，求参数取值范围参数取值范围解题思路：（1）转化为f(x)0或f(x)0在D上恒成立问题；（注意等号不能省，否则漏解）（2）区间D 单调区间.( )f x9.9.恒成立问题恒成立问题( )af xmax( )af x或上界( )af xmin( )或下界af x恒成立 (2)恒成立 (1)(3)对任意xD,有f(x)g(x)恒成立(4)存在xD,使f(x)g(x) 成立(6)存在x1、x2D,使f(x1)g(x2) 成立(5)对任意x1、x2D,有f(x1)g(x2)恒成立10.10.讨论函数在区间讨论函数在区间a,ba,b内的的最大最小值内的的最大最小值问题问题解题思路：按方程f(x)

11、=0的解在区间(a,b)内外进行分类讨论.若在区间(a,b)内有解，则f(x)在(a,b)内有极值，若无解，则f(x)在(a,b)内单调.11.11.导数在方程导数在方程( (函数零点函数零点) )中的应用中的应用 (2)两曲线的交点问题，转化为方程x2xsinxcosxb0.通过判定零点个数来求解12.12.导数在不等式中的应用导数在不等式中的应用 (1)由极值点确定出实数m的值，然后利用导数求出函数的单调区间.(2)当m2时，转化为求f(x)min，证明f(x)min0.l一位学生发微信吐槽。“教练这和剧本写得不一样啊！” l学生考后吐槽说，“其实这次数学隐藏考题是，求：心理阴影部分的面积

12、”。l当晚网上也吐槽 “明年北京数学如果简单，请记住是用我们的血泪换来的”、“数学题写得我灵魂都出窍了”l北青报记者随机采访了15位考生，大家开始纷纷喊数学难。一位杨同学表示，她在解立体几何大题立体几何大题时，对自己“竟然连第一小题都做不出来”表示错愕，她说自己数学一般能考140分左右，立体几何平时虽然难度也较大，但是从来没有第一问就答不出来的情况，“我本来觉得有点心慌，但是上厕所时一堆人大附中的学生都在说没做出来，我安心了不少。”试卷总体难度试卷总体难度试卷总体难度试卷总体难度13.13.定积分的概念定积分的概念(1)定积分数学本质就是面积代数和的极限(2)定积分的几何意义是（曲边）梯形的面积(3)定积分的物理意义就是变速直线运动的路 程或变力做功（4）定积分的性质dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxfdxxfkdxxkfbccababababababa)()