多维随机变量及其分布总结

1、第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量一、二维随机变量的分布函数 设E是一个随机试验, 它的样本空间是S. 设X、Y是定义在S上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X, Y)称为二维随机向量或二维随机变量.一般地, (X, Y)的性质不仅与X有关, 与Y有关, 而且还依赖于X、Y的相互关系, 因此必须把(X, Y)作为一个整体来研究. 首先引入(X, Y)的分布函数的概念.定义 设(X, Y)为二维随机变量, 对于任意实数x、y, 二元函数F(x, y) = P(X £ x)(Y £ y)= PX £ x, Y £ y称为二维随机变量(X,

2、Y)的分布函数, 或称为随机变量X和y的联合分布函数. 分布函数F(x, y)表示事件(X £ x)与事件(Y £ y)同时发生的概率. 如果把(X, Y)看成平面上具有随机坐标(X, Y)的点, 则分布函数F(x, y)在(x, y)处的函数值就是随机点(X, Y)落在平面上的以(x, y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.由上面的几何解释, 容易得到随机点(X, Y)落在矩形区域x1 < X £ x2, y1 < Y £ y2的概率为Px1 < X £ x2, y1 < Y £ y2 = F(x2,

3、 y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1)(1)与二元函数类似, 二元分布函数F(x, y)也具有如下一些性质:1° F(x, y)是变量x和y的单调不减函数, 即当x1 < x2时, F(x1, y) £ F(x2, y); 当y1 < y2时, F(x, y1) £ F(x, y2).2° 0 £ F(x, y) £ 1, 且F(-¥, y) = 0, F(x, -¥) = 0, F(-¥,-¥) = 0, F(+¥,+¥

4、) = 1.（凡含-¥的概率分布为0）3° F(x, y)关于x和y都是右连续的, 即F(x + 0, y) = F(x, y), F(x, y + 0) = F(x, y).4° 对任意的(x1, y1)、(x2, y2), x1 < x2, y1 < y2, 有F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1) ³ 0.注: 二元分布函数具有性质1° 4°, 其逆也成立(2°中0 £ F(x, y) £ 1可去), 即若二元实值函数F(x, y)(x

5、 Î R, y Î R)满足1° 4°, 则F(x, y)必是某二维随机变量的(X, Y)的分布函数. 其中4°是必不可少的, 即它不能由1° 3°推出(除去0 £ F(x, y) £ 1).二、二维离散型随机变量如果二维随机变量(X, Y)的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X, Y)是二维离散型随机变量.设二维离散型随机变量(X, Y)所有可能取的值为(xi, yj) (i , j= 1, 2, 3, ).记PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, )则

6、由概率定义有 pij ³ 0; .我们称PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, )为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律(概率分布)或随机变量X和Y的联合分布律, (X, Y)的分布律也可用表格表示. 其分布函数为=这里表示对一切xi £ x, yj £ y的那些指标i、j求和.例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X、Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X、Y的联合分布律与分布函数.解: (X, Y)的可能取值为

7、(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). PX = 1, Y = 2= PX = 1PY = 2 / X = 1=.同理, 有 PX = 2, Y = 1= , PX = 2, Y = 2=.即(X, Y)的分布律如右表所示. 当x < 1, 或y < 1时, Fx, y = 0; 当1 £ x < 2, 1 £ y <2时, Fx, y = 0;当1 £ x < 2, y ³ 2时, Fx, y = ; 当x ³ 2, 1 £ y <2时, Fx, y =;当x ³ 2, y 

8、9; 2时, Fx, y = 1.所以, (X, Y)的分布函数为三、二维连续型随机变量设二维随机变量(X, Y)的分布函数为Fx, y, 若存在非负函数f (x, y), 使对任意的x、y有，则称(X, Y)为连续型的二维随机变量, f (x, y)称为二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度, 或称随机变量X、Y的联合概率密度.概率密度f (x, y)具有以下性质:1° f (x, y) ³ 0;2° 3° 若f (x, y)在点(x, y)处连续, 则有4° 设G是xOy平面上的一个区域, 则点(X, Y)落在G内的概率为 (2)例2 设

9、二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为求: (1) 系数A; (2) 分布函数F(x, y); (3) 概率P(X, Y)ÎD, 其中D: x ³ 0, y ³ 0, x + y £ 1.解: (1) 由, 得.(2) =(3) .例3 设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为 , 求PY ³ X.解: PY ³ X=.以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到n(n > 2)维随机变量的情形. 一般地, 设E是一个随机试验, 它的样本空间为S, 设X1、X2、Xn是定义在S上的随机变量, 则由它们构成的一个n维向量(X1

10、, X2, , Xn)称为n维随机向量或n维随机变量.对任意n个实数x1、x2、xn, n元函数F(x1, x2, , xn) = PX1 £ x1, X2 £ x2, , Xn £ xn称为n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数或随机变量(X1, X2, , Xn)的联合分布函数, 它具有与二元分布函数类似的性质.第二节 边 缘 分 布设(X, Y)是二维随机变量, 其分布函数为F(x, y), 事件X £ x即为 X £ x, Y < +¥, 从而由(X, Y)的分布函数可定出X的分布函数, 记为FX (x).F

11、X (x) = PX £ x = P X £ x, Y < +¥ = F(x, +¥)=.我们称FX (x)为关于X的边缘分布函数. 类似的可定义关于Y的边缘分布函数为FY (y) = PY £ y = PX < +¥, Y £ y= F(+¥, y) = .一、离散型设(X, Y)为二维离散型随机变量, 其分布律为PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, ), 则, .从而X与Y的分布律分别为, i = 1, 2, ; , j = 1, 2, ;记, i = 1,

12、2, ;, j = 1, 2, .分别称pi ×和p× j为(X, Y)关于X与Y的边缘分布律.注: 1° 边缘分布律具有一维分布律的一般性质.2° 联合分布律唯一决定边缘分布律, 反之不然.二、连续型设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y), 由;.知X与Y都是连续型随机变量. 它们的概率密度分别为;.称fX (x)与fY (y)分别为(X, Y)关于X与Y的边缘概率密度.例2 设D是平面上的有界区域, 其面积为A, 若二维随机变量(X, Y)的概率密度为则称(X, Y)在D上服从均匀分布.现(X, Y)在以原点为中心、1为半径的圆

13、域上服从均匀分布, 求边缘概率密度.解: 由, 得A = p.当|x| < 1时, ; 当|x| ³ 1时, fX (x) = 0, 即 同理可得, 例3 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 .其中m1、m2、s1、s2、r 都是常数, 且s1 > 0, s2 > 0, -1 < r < 1. 我们称(X, Y)为服从参数为m1、m2、s1、s2、r的二维正态分布, 试求二维正态随机变量的边缘概率密度. 解: 令m = .所以, =.令, 则, 从而,.所以, (). 同理可得, ().表明, , .此例说明, 二维正态随机变量(X, Y)中的X、Y

14、都服从正态分布, 并且与参数r 无关. 所以对于确定的m1、m2、s1、s2而取不同的r, 对应了不同的二维正态分布, 但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布. 因此, 仅由关于X和Y的边缘概率密度(分布), 一般不能确定X和Y的联合概率密度(分布).第四节 相互独立的随机变量我们知道, 两事件A、B相互独立的充要条件是P(AB) = P(A)P(B)由此我们引进随机变量相互独立的定义. 定义 设F(x, y)及FX (x)、FY (y)分别是二维随机变量(X, Y)的分布函数及边缘分布函数, 若对于所有的x、y, 有 PX £ x, Y £ y = PX £

15、; x PY £ y, 即F(x, y) = FX (x)FY (y)(1)则称随机变量X和Y是相互独立的. 可见, 在随机变量X和Y相互独立的情况下, 由关于X和Y的边缘分布函数就唯一地确定(X, Y)的联合分布函数, 而且还可推得= FY (y) = PY £ y.这就是说在X和Y相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同, 即条件分布化成了无条件分布.一、离散型 设二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, ),(X, Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为, i = 1, 2, ;, j = 1

16、, 2, .则X和Y相互独立的充要条件是PX = xi, Y = yj = PX = xi PY = yj, 即pij = (2)二、连续型 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合概率密度为f (x, y), 关于X和Y的边缘概率密度为fX (x)和fY (y), 则X和Y相互独立的充要条件是等式f (x, y) = fX (x) fY (y)(3)几乎处处成立. 例3 设(X, Y)服从二维正态分布, 即其联合概率密度为 .证明: X和Y相互独立的充要条件是r = 0. 例4 若(X, Y)的联合概率密度为则X和Y相互独立. 证: 显然 故有f (x, y) = fX (x) fY (y).

17、 从而X和Y相互独立. 例5 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在0, 0.2上服从均匀分布, Y的概率密度为试求: (1) X与Y的联合概率密度;(2) PY £ X. 解: (1) 由已知条件, 得 从而得X与Y的联合概率密度为 (2) PY £ X= PY - X,积分区域如图, 化成二次积分后得.以上关于二维随机变量的一些概念, 很容易推广到n维随机变量的情形.设n维随机变量(X1, X2, , Xn)的联合分布函数为F(x1, x2, , xn), 若存在非负函数f (x1, x2, , xn), 使得对于任意实数x1、x2、xn, 有F(x1, x2, ,

18、xn) = ,则称f (x1, x2, , xn)为n维随机变量(X1, X2, , Xn)的联合概率密度. 称, , 为关于X1, (X1, X2), 的边缘分布函数, , 为关于X1, (X1, X2), 的边缘概率密度. 若对于所有的x1、x2、xn, 有F(x1, x2, , xn), 则称X1, X2, , Xn是相互独立的, 对离散型即连续型随机变量, 也有类似的结论. 若对于所有的x1、x2、xm; y1、y2、yn, 有F(x1, x2, , xm; y1, y2, , yn) = F1 (x1, x2, , xm) F2 (y1, y2, , yn)其中F1、F2和F依次为(X1, X2, , Xm)、(Y1, Y2,