多元函数求导法则

1、理论与实验课教案首页第17 次课 授课时间2016年12月23日 第35节课 教案完成时间2016年12月16日课程名称高等数学教 员职 称副教授专业层次药学四年制本科年 级2016授课方式理论学时3授课题目（章，节）第七章 多元函数及其微分法§3.全微分 §4. 多元复合函数与隐函数的偏导数基本教材、主要参考书和相关网站基本教材：高等数学，顾作林主编，人民卫生出版社，2011年，第五版主要参考书：医科高等数学，张选群主编，高教出版社，2009年，第二版教学目标与要求：了解：全微分存在的必要条件和充分条件；一阶全微分形式的不变性；全微分的概念掌握：全微分的求法；复合函数、隐

2、函数的偏导数的求法教学内容与时间分配：复习 5分钟 全微分概念 5分钟 可微与可导间的关系 5分钟 全微分的算法及应用 25分钟复合函数求导法则（推广及特例4种） 40分钟一阶全微分形式的不变性 15分钟 隐函数求导法 20分钟小结 5分钟教学重点与难点：重点：全微分的概念；复合函数求导规则；隐函数求导法难点：全微分的概念；全微分存在的充分条件；锁链法则的理解；函数结构图的分析教学方法与手段：教学方法：讲授式为主，启发式和讨论式相结合，借助示意图及实例分析，加深对抽象概念理解。教学手段：传统教学手段（板书）与现代化教学手段（多媒体）相结合，既有演算推导过程，又提高单位时间授课信息量。教学组长审

3、阅意见：签名： 年 月 日教研室主任审阅意见：签名： 年 月 日理论与实验课教案续页基 本 内 容教学方法手段和时间分配复习回顾：一元复合函数求导法则 第三节 全微分及其应用一元函数：，在点可导； 二元函数：，在点存在；希望全增量为 （1）其中是不依赖于（仅与点有关）的常数，下面给出全微分的定义、存在的充要条件。一、全微分概念定义：若（1）式成立，则称，在点可微分，而称为在该点的全微分（total differential），记为： （2）二、可微与可导间的关系 P222定理1（必要条件）在点全微分存在 存在（+连续） （1）式成立） P223定理2（充分条件） A B几点说明： 1）P222

4、定理1为全微分存在的必要条件定理，即（1）式成立在点存在且； 2）反之不成立。反例见分段函数（即不是的高阶无穷小）3）反之何时成立？这就是P223定理2（充分条件）（+偏导连续） 4）定理2的证明中用到拉格朗日中值定理（P80，（3-1-2）5）将自变量的增量称为自变量的微分，记为，从而 （3） 6）可以推广到多元函数（>二元）三、算法 例：求全微分。 （1） （2） （3）求在点的 四、全微分应用 1近似计算例（P224例4）求的近似值。例（P224例3）求已知两端封闭的金属圆桶的底面半径为30厘米，高为120厘米。要将它刷上0.02厘米厚的油漆，问共需多少油漆？ 2误差估计（自学）课

5、堂练习：1求下列函数的全微分。（1） （2）2一矩形边长分别为米，米。如果边增加5厘米，而边减少10厘米，求该矩形对角线的近似变化情况。第四节 多元复合函数与隐函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则（一）复合函数的偏导数 定理（P229）如果1）在点存在；2）在对应点，连续，则在点有 （1） （2） 例1 ，求。 例2 ，求。推广及特殊情形： （1）自变量多于2个 ， （2）中间变量多于2个 ， 例3 ，求。 （3）只有一个中间变量 ， 例4 ，求。 （4）只有一个自变量（全导数，total derivative） ， （5）一个中间变量，一个自变量（4）中） ， 例5 ，求。（二）一阶全微

6、分形式的不变性一元函数： 二元函数： 在点可微1） （为自变量）（全微分公式）2）若，则仍成立。 证：画出函数结构图，所以+）对应加 （1） （2）注意：1）这里不变性是指形式不变。 2）多元函数全微分四则运算公式同一元情形形式上一样（见P207四条公式） 3）利用一阶全微分形式不变性来计算全微分与偏导数与按全微分定义求全微分的路线相反。例6 ，求。 例7 ，求，。练习：习题七 27（1）；28(2) ; 31(1)二、隐函数微分法 （一）一元隐函数求导公式 方法一：两边对求导，解出（不足：无法用一般公式表述） 方法二：由 例8 设，求。 （二）二元隐函数求导公式 例9 设，求。例10 设，求

7、。练习：习题七 - 35(1); 36(3)小结5难点55重点难点讨论式两个偏微分之和10推广：三元为三个偏微分之和启发式互动板书5板书10通过练习加深对方法的理解10“锁链法则”注意两点：1）搞清函数复合关系；2）对某个自变量求偏导，应经过一切中间变量而归结到该自变量。10板书20借用上图和上式：视为的函数，固定，对求导；：视为的函数，固定，对求导。带入为一元函数，故15注意体会利用一阶全微分形式不变性求全微分和偏导数与按定义求全微分不同10公式公式首先构造105理论与实验课教案末页小结 1. 掌握全微分公式及应用；2. 多元复合函数的求导法则；3. 一阶全微分形式的不变性；4. 隐函数求导