圆锥曲线中的最值问题

1、圆锥曲线中的最值问题主讲：秦岭老师9816秦岭数学18届群：3071813569816秦岭数学19届群：1512194719816秦岭数学20届群：481591151一、知识回顾1圆锥曲线的定义（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距即：|MF1|MF2|2a2c|F1F2|；（2）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距即：|MF1|MF2|2a0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线

2、相切；0直线与圆锥曲线相离(2)若a0，b0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合3圆锥曲线的弦长设斜率为k (k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x1|二、典例剖析方法一：利用圆锥曲线定义和平面几何知识求最值（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）例1. 已知椭圆C：1内有一点M(2，3)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上一点，则|PM|PF1|的最大值为_，最小值为_

3、.解析由椭圆的定义，得|PF1|2a|PF2|，即|PF1|10|PF2|，所以|PF1|PM|10|PM|PF2|.由三角形中“两边之差小于第三边”可知，当P，M，F2三点共线时，|PM|PF2|取得最大值|MF2|，最小值|MF2|.由椭圆的标准方程1可得点F2(3，0).又|MF2|，所以|PF1|PM|取得最大值10，最小值10.例2.（12四川）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是_.【解析】易证当直线过右焦点（1,0）时，的周长最大，.将代入，解得；所以此时.方法二：利用二次函数求最值例3.（13全国卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(ab0)右焦点的

4、直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则，由此可得.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23. 所以M的方程为.(2)由解得或 因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为y=x+n，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.，|CD|.所以四边形ACBD的面积.当n0时，S取得最大值.即四边形ACBD面积的最大值为

5、.方法三：利用基本不等式求最值例4.（16四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM斜率的最大值为（ ）A B C D1【解析】如图，由题可知，设点坐标为显然，当时，；时，要求最大值，不妨设.则，当且仅当等号成立. 故选C例5.（17课标卷）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10【解析】设直线的方程为，联立方程 得，同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知：当且仅当（或 -1）时，取得等号.

6、所以|AB|+|DE|的最小值为16.例6. (14四川)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3 C. D. 解析设直线AB的方程为xnym(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，x1x2y1y22. 又yx1，yx2，y1y22.联立得y2nym0，y1y2m2，m2，即M(2,0)又SABOSAMOSBMO|OM|y1|OM|y2|y1y2，SAFO|OF|y1|y1，SABOSAFOy1y2y1y123，当且仅当y1时，等号成立. 故选B.方法四：换元法求最值例7.（14全国卷）

7、已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.()求的方程；（）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.注：若分式的分子、分母为一次式和二次式，一般是设一次式为t,进行换元。例8.（16全国卷）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点（）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围解析：圆A整理为，A，如图所示，则，由，则，所以E的轨迹为一个椭圆，2a=4,c=1，b2=3， 又直线与轴不重合，所以点不在x轴上，点的轨迹方程为().；设，又，设，联立得；则；圆心到距离，所以， 方法五：利用正余弦函数的有界性求最值例6.（17课标卷）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10例8.（16全国卷）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点（）证明为定值