和2005华南理工数学分析考研试题及解答

1、华南理工大学2004年数学分析考研试题及解答1 求极限。解 由，得。2 设，求。解 对两边求导，有，于是有 ， ，对两边求导，得，故。3 设，试证：收敛，并求。证明 令，则有，在上是严格递减的；当时，；当时，；若，则有显然，；将代入，得，由，得单调递减，单调递增，设，在，中，令取极限，得，从而有，故或者 注意到，我们有当时，当时，于是，知 ，往证递减，递增，实际上从中，解出 当为偶数时，当为奇数时，从而由单调有界原理，存在使得 ，在，中，令，取极限，有 ，解之得，故。4 设为单位圆周，逆时针方向为正向，求。解 设， ，取充分小，利用格林公式。5求的收敛区间，并求级数的和。解：设，当时，原级数收

2、敛，当时，原级数发散，当时，发散当时，收敛所以收敛区间为 这是由于 于是。6.设S为单位球面的上半部分，外侧为正向，计算解：设 利用高斯公式得 7.设，是平面上的任一单位向量求在处沿方向的导数试讨论在处的连续性与可微性解：设 由知在处连续极限不存在（）所以在处不可微8.设连续，试证： 证明：由 ，即，显然有，结论得证。9.设函数在上三次可导，且，试证：存在，使得。证明：当时，由展式，存在，使得，由此可得，当时，亦由展式，存在使得，由此，得，综合以上情况，结论得证。10.试讨论函数项级数在上的一致收敛性，以及在上的有界性。解：设，在上连续，显然发散，所以在上不一致收敛，在上不一致收敛于0，在上不

3、一致收敛；另一方面在上无界，事实上，假若在有界，则存在常数,使得，在上式中，令，得 ，(任意正整数)，这里是矛盾的，故在上无界。11.设在上连续，令，试证明：对每一个有界连续函数，均有。证明： ，显然，且是局部一致的，（），收敛，其中;由积分控制收敛定理，得，故有，结论得证。12.试证明。证明： 。13.设，为上连续非负函数，满足，（），试证明：。证明：由条件知，在上单调递增， 由，（）得 ， 令，则有 ， 由此得， 从而有 ， ， 于是,， 结论得证。13、设，为上连续非负函数，满足，（），试证明：。证明：由条件知，在上单调递增， 由，（）得 ， 令，则有 ， 由此得， 从而有 ， ， 于是

4、 ， ，故。华南理工大学2005年数学分析考研试题及解答1 设，求极限。解 由得可知单减有下界，存在，设，在中，令，取极限，得 ，解之得：。2 求积分。其中是单位圆周，逆时针为正向。解 。3 讨论函数序列在上的一致收敛性。解 方法一 显然，对任意，有，关于是一致的；对任意，当时，于是在上是一致收敛于的，综合以上结果，故在上是一致收敛于的.方法二 由，即得在上是一致收敛于的。4 设由方程所确定，证明：。 证明 设， 在方程中分别对，求偏导数，则有，从而有， ，故。5.设是偶函数，在的某个领域中有连续的二阶导数，且，试证明：绝对收敛。证明 由是偶函数，知是奇函数 于是 ，（充分大） 其中，显然收敛

5、，于是绝对收敛。6.设曲线由方程组确定，求该曲线在处的切线方程和法线方程解：由得由知，解之得，于是，曲线在处的切线方程为，法线方程为。7.求幂级数的收敛域，并求该级数的和。解：设，当时，显然，当时，原级数收敛，当时，原级数发散，故原幂级数的收敛域为。由 ，知。8.求，其中为椭球面的上半部分，其定向为下侧。解：设，为上半部分椭球面的上侧，利用高斯定理，得 。9.（1）设，证明积分关于一致收敛；（2）设，计算积分和。 证明：（1）由， ， ，（），而收敛，所以关于一致收敛；（2） ， 。10.设在上二阶连续可导，且，（）试证明：，（）证明：首先，,因为，假若，则，无界。对任意，由展式，得，从而，（），特别取，则有,（）。11.设在上一致连续，且收敛，试证明。11、设在上连续，且收敛，若在上一致连续，则必有 .证明 由在上一致连续，得，对，当，且时，便有；由于收敛，则有，由积分平均值定理，存在，使得，于是有