单自由度系统的自由振动题解

1、习 题1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。题1-1图等效弹簧系数为k则 其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知= 则 = 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 所以固有频率1-2 一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。qFsinaaFhmgqF题1-2图解：给杆一个微转角qqha2Fcosa

2、mg由动量矩定理：其中 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1和k3，悬臂梁的质量忽略不计。题1-3图解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1。k1与k3并联，设总刚度为k2。k2与k4串联，设总刚度为k。即为，1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J1、J2和J3是三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。解：题1-4图 （1） （2） （3） （4）1-5如题1-5图所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的

3、弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。题1-5图解：此系统是一个保守系统，能量守恒.如图题中的广义坐标，设系统的振动方程为：则系统运动过程中速度表达式为：系统最大位移和速度分别为：系统在运动过程中，动能表达式为：弹性势能为：系统最大动能为：最大弹性势能为：由于系统机械能守恒，因此：由上式可解得系统的固有频率为：1-6如题1-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为，求系统的固有频率。题1-6图解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为。很小，系统的动能为所以， 取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为，由， （A）由题意可知，系统势能为（B）将（A

4、）式代入（B）式，可得系统最大势能为，由， 得 所以，有1-7一个有阻尼的弹簧-质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。解：振动衰减曲线得包络方程为：振动20个循环后，振幅比为：代入,得：又 c = 6.9 N s /m，1-8一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和固有频率的表达式。OmgjXOYOFKFC题1-8图解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：当npn时，ccC题1-9图

5、1-9如题1-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。解：题1-10图1-10如题1-10图所示，质量为2000 kg的重物以3 cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为所以有 +x =0 其特征方程为：+r+=0 r =-0.494.875i所以：x =cos4.875t+sin4.875t由于n pn，由已知条件， m/s。故通解为其中，。代入初始条件，得，得 =0.006sin4.875t=0.006(-0.49) sin4.875t+0.006物体达到最大振幅时，有既得t = 0.30 s时，物体最大振幅为 cm1-11