同步讲台九立体几何空间地距离

1、同步讲台 第5课 空间的距离 考点搜索1.点到直线距离从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这点到这条直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3. 两平行直线间的距离两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的距离.4.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.5.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距

2、离.6.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 实例点津【例1】 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.例1题图(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；(2)求AB和CD间的距离；(3)求EF和AC所成角的大小.【解答】 (1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF.又因为AE=BE，所以FEAB交AB于E.同理EFDC交DC于点F.所以EF是AB和CD的公垂线.(2)在RtBEF中，BF=,BE=,所以EF2=BF2-BE2=2，即E

3、F=.由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为.(3)过E点作EGAC交BC于G，因为E为AB的中点，所以G为BC的中点.所以FEG即为异面直线EF和AC所成的角.在FEG中，EF=,EG=,FG=,cosFEG=.所以 FEG=45°所以异面直线EF与AC所成的角为45°【归纳】 本题考查平面及其基本性质.平面图形直观图的画法、平行直线、异面直线所成的角，异面直线的公垂线和异面直线的距离等知识的综合应用.【例2】 菱形ABCD中，BAD=60°,AB=10 cm,PA平面ABCD,且PA5 cm,求(1)P到CD的距离；（2）P到BD的距离

4、；（3）P到AD的距离.【点津】 如图,因为A是P在平面ABCD上的射影，所以只要过点A在平面ABCD内分别作CD、BD的垂线，确定垂足的位置，由三垂线定理和勾股定理，求得点P到CD、BD的距离.【解答】 （1）PA平面ABCD，点P在平面ABCD上的射影为A，过A在平面ABCD内作AECD于E例2题图(ADC=120°，E在CD的延长线上).连PE，由三垂线定理得PECD.线段PE之长就是P到CD的距离.在RtADE中，AE5cm在RtPAE中，PE=10cm ,P到CD的距离为10cm .(2)连AC、BD，交点为O，ACBD,POBD,线段PO之长就是P到BD的距离，易知PO1

5、0cm.()PA平面ABCD,AD平面ABCD，PAAD.故线段PA之长就是P到AD的距离，PA5cm.【归纳】 求点到直线的距离，除利用平面图形性质和直线与平面垂直的性质外，三垂线定理和它的逆定理是不可忽视的重要方法.例3题图（1）【例3】 如图(1),正四面体ABCD的棱长为1，求：（1）A到平面BCD的距离；（2）异面直线AB、CD之间的距离.【解答】 （1）过A作AO平面BCD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE.AB=AC=AD,OB=OC=OD.O是BCD的外心.又BDBCCD，O是BCD的中心，BO=BE=.又AB1，且AOB=90°,AO=.A到平面BCD的距离是

6、.(2)如图（2）,设AB中点为E，连CE、ED.例3题图（2）AC=BC,AE=EB.CDAB.同理DEAB.AB平面CED.设CD的中点为F,连EF，则ABEF.同理可证CDEF.EF是异面直线AB、CD的距离.CE=,CF=FD=,EFC=90°,EF=.AB、CD的距离是.【归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.【例4】 在梯形ABCD中,

7、ADBC,ABC=,AB=a,AD=3a且ADC=arcsin,又PA平面ABCD,PA=a,求：(1)二面角PCDA的大小;(2)点A到平面PBC的距离.【解答】 (1)作AFDC于F,连结PF,AP平面ABCD,AFDC,PFDC,PFA就是二面角PCDA的平面角.在ADF中,AFD=90°,ADF=arcsin,AD=3a,AF=,在RtPAF中tanPFA=,PFA=arc tan.(2)PA平面ABCD,PABC,又BCAB,BC平面PAB,作AHPB,则BCAH,AH平面PBC,PAAB,PA=AB=a,PB=a,AH=.【归纳】 利用定义法求点到平面的距离常常需借助三垂

8、线定理及其逆定理. 对应训练一、选择题1.把边长为a的正ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是 ( )A.a B. C. D.2.ABC中，AB=9，AC=15，BAC=120°.ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面的距离为 ( )A.7 B.9 C.11 D.133.从平面外一点P向引两条斜线PA,PB.A,B为斜足,它们与所成角的差是45°,它们在内的射影长分别是2cm和12cm ,则P到的距离是 ( )A.4cm B.3cm或4cm C.6cm D.4cm或6cm4.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线

9、段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为 ( )A. B. C. D.a5.在四面体PABC中，PA、PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点M到三个面PAB、PBC、PCA的距离分别为2、3、6，则点M到顶点P的距离是 ( )A.7 B.8 C.9 D.106.如图，将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD的距离是 ( )A. B. C. D. 第7题图第6题图7.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD，PD=AD1，设点C到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为

10、d2，则有 ( )A.1<d1<d2 B.d1<d2<1C.d1<1<d2 D.d2<d1<18.如图所示，在平面的同侧有三点A、B、C，ABC的重心为G.如果A、B、C、G到平面的距离分别为a、b、c、d，那么a+b+c等于 ( )A.2d B.3d C.4d D.以上都不对第8题图第9题图9.如图，菱形ABCD边长为a，A=60°，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点且，沿EH和FG把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点A到平面EFGH的距离是 ( )A. B. C. D.二、填空题10.二面角-MN-等于60

11、6;，平面内一点A到平面的距离AB的长为4，则点B到的距离为 . 11.在60°的二面角l中，A,ACl于C，B，BDl于D，又AC=BD=a,CD=a，则A、B两点间距离为 . 12.设平面外两点A和B到平面的距离分别为4cm和1cm，AB与平面所成的角是60°，则线段AB的长是 .13.在直角坐标系中,已知A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把直角坐标系折成平面角为的二面角AOyB后,AOB=90°，则cos的值是 .三、解答题14.在边长为a的菱形ABCD中，ABC=60°，PC平面ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离15.在直三棱柱

12、ABCA1B1C1中，ACB为直角，侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60°，M为AA1上的点.A1MC1=30°，BMC1=90°，AB=a.(1)求BM与侧面AC1所成角的正切值.第15题图(2)求顶点A到面BMC1的距离. 16.已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直.ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1A1C,AA1=A1C.（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离.17.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1

13、D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点，EF与BD交于H.(1)求二面角B1EFB的大小.(2)试在棱B1B上找一点M，使D1M面EFB1，并证明你的结论.(3)求点D1到面EFB1的距离. 第17题图 对应答案1.D 折后BC=,点A到BC的距离为.2.A BC=.ABC外接圆半径R=,点P到的距离为3.D 设PO垂足为O,|PO|=xcm ,OAP=,OBP=,那么-=45°,tan=,tan=,tan (-)=tan 45°展开左边并整理得:x2-10x+24=0,解得x1=6,x2=4. 4.B P、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为

14、CD的中点时符合题意.5.A PM=.6.C 取BD的中点O连AO、OC，作OEAC于E，则OE为所求，AO=CO=AC=.7.D 点C到平面PAB的距离d1=,点B到平面PAC的距离d2=，,d2<d1<18.B |MM|=，又.a+b+c=3d.9.A 设BD的中点为O，EO=，点A到平面EFGH的距离为.10.2 作ACMN于C，连BC，则BCMN，ACB=60°，又MN平面ABC，平面ABC平面，作BDAC于D，则BD，BD的长即为所求，得BD=211. AB=.12.2cm或cm第13题图解当点A、B在同侧时，AB=;当点A、B在异侧时，AB=13. 如图,AB

15、=BCy轴,BCy轴,BCB为二面角AOyB的平面角.BCB=,在BCB中,BC=BC=3,BB=,由余弦定理易知cos=.第14题图解14.如图，将点E到平面PBC的距离转化成线面距，再转化成点面距.连AC、BD，设AC、BD交于O，则EO平面PBC，OE上任一点到平面PBC的距离相等平面PBC平面ABCD，过O作OG平面PBC，则GBC，又ACB=60°，AC=BC=AB=a，OC=,OG=OC sin60°=.点评：若直接过E作平面PBC的垂线，垂足难以确定在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果 15.(1)三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱

16、，BAC为二面角B1AA1C1的平面角，BAC=60°.又ACB为直角，BC侧面AC1.连MC，则MC是MB在侧面AC1上的射影.BMC为BM与侧面AC1所成的角.且CMC1=90°，A1MC1=30°，所以AMC=60°.设BC=m，则AC=，MC=m，所以tanBMC=.即BM与侧面AC1所成的角的正切值为.(2)过A作ANMC，垂足为N，则AN面MBC1.面MBC面MBC1，且过N作NHMB，垂足为H，则NH是N到面MBC1的距离，也就是A到面MBC1的距离.AB=a,AC=,且ACN=30°，AN=且AMN=60°，MN=.N

17、H=MNsinBMC=×(本题还可用等积法).16.(1)如图所示,作A1DAC,垂足为D,由面A1ACC1面ABC,得A1D面ABC第16题图解A1AD为A1A与面ABC所成的角AA1A1C,AA1=A1CA1AD=45°为所求.(2)作DEAB垂足为E,连A1E,则由A1D面ABC,得A1EAB,A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.由已知ABBC得DEBC,又D是AC的中点,BC=2,AC=2DE=1,AD=A1D=,tanA1ED=,故A1ED=60°为所求.()连结A1B,根据定义,点C到面A1ABB1的距离,即为三棱锥CA1AB的高h.

18、由VCA1AB=VA1-ABC得SAA1Bh=SABC·A1D即,h=为所求.17.(1)如图连结B1D1，AC，B1H，第17题图解底面为正方形ABCD，对角线ACBD.又E、F分别为AB、BC的中点EFAC.EFBD.又棱B1B底面ABCD，EF面ABCD，EFB1B.又B1BBD=B,BB1面BB1D1D，BD面BB1D1D.EF面BB1D1D.而B1面BB1D1D，BH面BB1D1D，EFB1H，EFBH.B1HB为二面角B1EFB的平面角.在RtB1BH中，B1B=a,BH=，tanB1HB=.B1HB=arctan2.二面角B1EFB的大小为arctan2.(2)在棱B1B上取中点M，连D1M，则D1M面EFB