厦门理工学院高数答案练习题第三章微分中值定理与导数的应用

1、高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号§3.1 微分中值定理一选择题1 在区间上，下列函数满足罗尔中值定理的是 A (A) （B） （C） （D）2 若在内可导,、是内任意两点，且，则至少存在一点，使得 C （A） （）； （B） （）；（C） （）；（D） （）3下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有 B （A）, （B）,（C）, 0,1 （D）,4设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，有 A （A） （B）（C） （D）二填空题1 对函数在区间上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结论中的，总是等于2 若在上连续，在内可导,则至少存在一点,使

2、得 成立3设,则有3个根,它们分别位于区间（0,1）; (1,2); (2,3)内.三证明题1 当，试证：证：令， 可知 在连续，在上可导由拉格朗日定理可知，存在 使得 又， 所以 ， 且 ， 即 。 得证2 证明：证明：令 则在上可导，且 所以，（c为常数）， 又， 故3 证明方程只有一个正根.证: 令，则在上连续，且 由闭区间上连续函数的性质可知，存在 ，使得。即有一正根。又假设另有一个正根, 则，（不妨设），而在上连续，在可导，所以由罗尔定理可知，存在， 使得，但矛盾，假设不能成立。所以。高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号§3.2 洛比达法则一 填

3、空题12 23= 4=15= 67下列极限能够使用洛必达法则的是C：（A）； （B）； （C）； （D）的值， 二、判断题：（正确的括号内打“”，错误的在括号内打“×”）1（不存在） × 2 × 三 计算题1 23 45 6解: 令, 则 所以78（见下一页）解: 令, 则所以 8解: 设， 则，所以，高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性一 填空题1函数在区间内单调减少, 在区间内单调增加2在区间内单润减少，在区间内单调增加3函数的单调增区间是R。4函数在区间内单调减少, 在区间内单调增加5

4、曲线的凸(向上凸)区间是_，凹(向下凸)区间是.6若曲线在处有拐点，则与应满足关系。7.当,， 时, 点为曲线的拐点。二 选择题1. 曲线在区间内 B （A）凹且单调增加 （B）凹且单调减少 （C）凸且单调增加 （D）凸且单调减少2若二阶可导，且，又时，则在内曲线 C （A）单调下降，曲线是凸的 （B）单调下降，曲线是凹的（C）单调上升，曲线是凸的 （D）单调上升，曲线是凹的3条件是的图形在点处有拐点的(D )条件（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）以上都不是4设函数连续，且，则存在，使得 C （A）在内单调增加 （B）在内单调减少（C）对任意的有 （D）对任意的有5曲线

5、的拐点个数为 C (A) 0 （B）1 （C）2 （D）3三讨论方程在区间内有几个根？解：设0，则在 0, 1上连续.又 , 故由闭区间上连续函数的性质可知存在 即在至少有一个根。又当时, 所以在(0, 1)单调减少, 即在至多有一个根。 综上所述,在只有一个根。四证明题：1 证明证明：令 故 又， 所以，即在 单调递增， 即 。 得证2利用函数的凹凸性证明 证：令 所以 在上是向上凹的 故对任意的 即 所以，高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号§3.5 函数的极值一.填空题1. 当时，函数有极值，那么2函数，在区间上的极大值点0 .3当2 时，函数在处取

6、得极大值时，其极大值为.4若曲线在处取得极值，点是拐点，则，0，0二.选择题1设函数满足，不存在，则 D (A) 及都是极值点 (B) 只有是极值点(C) 只有是极值点 (D)与都有可能不是极值点2当时,当时,则必定是函数的 D (A) 极大值点; (B) 极小值点; (C) 驻点; (D) 以上都不对3下列命题为真的是 D (A) 若为极值点，则 (B) 若，则为极值点 (C) 极值点可以是边界点 (D) 若为极值点，且存在导数，则4如果在达到极大值,且存在，则 A (A) ; (B) ; (C) ; (D) 0yx5设函数在内连续，其导数的图形如图所示，则有 C （A）一个极小值点和两个极

7、大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点6函数在定义域内 A （A）无极值 （B）极大值为（C）极小值为 （D）为非单调函数7若函数的极大值点是，则函数的极大值是 D (A) (B) (C) (D)三求下列函数极值1 解：令 可得 当 时，当时，所以在处 取得极大值 当时 当 时 所以在3处 取得极小值 。2解：令 可得 或当 时，不存在 由，把分成四个部分区间，并列表讨论如下：不存在00极小值极大值极小值所以，函数的极大值为.极小值为 ,高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号函数的最大值最小值一. 填空题

8、1. 函数在上的最大值为，最小值为 2.在3处取得最大值11, 在 2处取得最小值.二. 选择题1在上没有 A （A）极大值 （B）极小值 （C）最大值 （D）最小值2函数在内的最小值是 D （A）0 （B）1 （C）任何小于1的数 （D）不存在3函数在区间上的最大值是 D （A）0 （B）1 （C）2 （D）不存在4设有一根长为L的铁丝，将其分为两断，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为S1，正方形面积为，当最小时， C (A) (B) (C) (D) 三.、要造一圆柱形油罐，体积为，问应半径和高等于多少时，才能使表面积最小? 这时底直径与高的比是多少?解： 已知 可得 （方法一） = =

9、= ， 令 由于驻点唯一，且最小值存在，所以当时，表面积最小。（方法二）当面积取得最小值为 。四. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆如下图，截面的面积为m2，问底宽为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省解：由已知 可得，=由于驻点唯一，且最小值存在，所以当时，材料最省。 五.作函数的图形 解：（1）所给函数的定义域为R，=（2）的零点为， 的零点为， 这些点把定义域分成四个部分 (3) 在各个区间，得符号，相应的曲线的升降性及凹凸性，以及拐点，如下表：x000图形拐点极大值拐点 （4），所以，是函数的水平渐进线。 （5）描点作图（略）高等数学练习题 第三章 微分中值定理与

10、导数的应用系专业班姓名学号§ 3.7 曲率 一、填空题1抛物线在点处的曲率，曲率半径.2曲线，在处的曲率，曲率半径.3曲线在点的曲率为二、选择题：椭圆 在长轴端点的曲率 B （A）0 （B） （C） （D）不存在三、计算题：1求曲线上曲率最大的点及该点处的曲率半径解：，令 ， 且可知 当时取得最大值。 曲率半径 2 汽车连同载重共5吨，在抛物线拱桥上行驶，速度为21.6（公里/小时）桥的跨度为10米，拱的矢高为0.25米，求汽车越过桥顶时对桥的压力。解：取桥顶为原点，竖直向下为y轴的正方向，则抛物线的方程为桥端点（5，0.25）在抛物线上，所以抛物线的方程为， ，所以 所以在桥顶处抛

11、物线的曲率半径为，向心力为 所以汽车越过桥顶时对桥的总压力为高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号综合练习一填空题1函数在上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理确定的2 。 2极限 1 。3在区间内单调减少在区间 内单调增加。4在处取得极小值5在的最大值点为。6曲线的凸区间是, 凹区间是 拐点是。二选择题1函数在定义域内 A （A）无极值 (B)极大值为 (C)极小值为 (D)为非单调函数2曲线 B （A）是垂直渐近线 （B）为斜渐近线 （C）单调减少 （D）有2个拐点3设函数，则 C（A）该函数在处有最小值(B) 该函数在处有最大值（C）该函数所表示的曲线在处有拐点 (D

12、) 该函数所表示的曲线处无拐点4设函数在上满足，则、或的大小顺序为 B （A） （B）（C） （D）5设一阶可导，且，则 C （A） 一定是的极大值 (B) 一定是的极小值（C）一定不是的极值 (D) 不一定是的极值6曲线在区间内 D （A）上凹 (B) 下凹 (C) 既有上凹又有下凹 (D) 直线段7函数可微，则函数 D （A）无零点； (B)只有一个零点； (C)只有两个零点； (D)至少有两个零点8设在上可导，且，在(0，1)上，则方程在(0，1)上实根的个数为 B （A）0 (B) 1 (C) 2 (D) 二计算题1.22. 3.三 设有甲乙两城甲城位于一直线形的河岸上，乙城离河岸40千米，且到河岸的垂足与甲城相距50千米