南京市高三二模数学全解析版word

1、南京市2011届高三第二次模拟考试全解析版数学(满分160分，考试时间120分钟)201103一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知复数z134i，z24bi(bR，i为虚数单位)若复数z1·z2是纯虚数，则b的值为_答案：3解析：z1·z2124b(3b16)i为纯虚数b3.2. 已知全集UR，Z是整数集，集合Ax|x2x60，xR，则ZUA中元素的个数为_答案：4解析：A(，23，)， UA(2,3)， ZCUA1,0,1,2 元素个数为4.3. 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是_答案

2、：解析：设两种不同颜色为a、b、则所有可能为(a，a，a)，(a，a，b)，(a，b，a)，(a，b，b)，(b，a，a)，(b，a，b)，(b，b，a)，(b，b，b)其中满足条件的有(a，b，a)，(b，a，b)， 概率为.4. 某校为了解高三男生的身体状况，检测了全部480名高三男生的体重(单位：kg)，所得数据都在区间50,75中，其频率分布直方图如图所示若图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，则体重小于60 kg的高三男生人数为_(第4题)答案：180解析：设5055kg的频率为a. 6575kg的频率为(0.037 50.012 5)×50.25， a2a3a0.2

3、51a0.125. 5060kg的频率为0.375所求人数为0.375×480180人5. 已知向量a、b的夹角为120°，且|a|3，|b|1，则|a2b|_.答案： 解析：|a2b|.6. 右图是一个算法的流程图，则输出i的值是_(第6题)答案：5解析：0log2log2log2log2log25>2.7. 若抛物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距离为_答案：解析：设M，则OM2y23，解得y. M(1，)又焦点坐标为， M到焦点距离为.8. 若直线ykx3与曲线y2lnx相切，则实数k_.2解析：对y2lnx求导得y， ，即实数k2

4、.9. 已知函数f(x)2sin(x)(0)若f0，f2，则实数的最小值为_3解析：f(x)maxf2，当最小时，T最大，此时T， min3.10. 已知各项都为正数的等比数列an中，a2·a44，a1a2a314，则满足an·an1·an2的最大正整数n的值为_4解析： an为等比数列，a2·a44a32，又a1a2a314 12q， an·an1·an23n9>， n最大值为4.11. 已知集合P，Q(x，y)|(xa)2(yb)2r2，r0，若“点MP”是“点MQ”的必要条件，则当r最大时，ab的值是_解析：如图，当Q为三

5、角形区域内切圆时，r最大此时r，a，b， ab.12. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M为线段B1B上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_(第12题)解析：将其侧面展开，当如图所示时，AMMC1最小此时AM，MC12，又AC1， SAMC1.13. 定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应的函数与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换下面给出了四个函数与对应的变换： f(x)(x1)2，T：将函数f(x)的图象关于y轴对称； f(x)2x11，T：将函数f(x)的图象关于x轴对称； f(x)，T：将函数f(x)的图象关于

6、点(1,1)对称； f(x)sin，T：将函数f(x)的图象关于点(1,0)对称其中T是f(x)的同值变换的有_(写出所有符合题意的序号)13. 解析：分别作出图象：对于，原函数值域为1,1，关于(1,0)对称后由图知值域仍为1,1故符合题意综上所述同值变换有.14. 已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_解析：f(x)3恒成立ax3对xN*恒成立由双钩函数性质知，当x3时，x有最小值3， a33. a.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本题满分14分)已知向量a(4,5cos)，b(3，4ta

7、n)(1) 若ab，试求sin的值；(2) 若ab，且，求cos的值解：(1) 因为ab，所以.(2分)所以15cos216sin0，即15sin216sin150.(4分)解得sin或sin(舍去)所以sin.(6分)(2) 因为ab，所以a·b0，即1220cos·tan0.所以1220sin0，即sin.(8分)因为，所以cos.所以sin22sincos，cos212sin2.(11分)所以coscos2·cossin2·sin××.(14分)16. (本题满分14分)如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，且ABBC，E、F分别

8、为棱AB、PC的中点(1) 求证：EF平面PAD；(2) 若点P在平面ABCD内的正投影O在直线AC上，求证：平面PAC平面PDE.16. 证明：(1) (方法1)取线段PD的中点M，连结FM、AM.因为F为PC的中点，所以FMCD，且FMCD.因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EACD，且EACD.所以FMEA，且FMEA.所以四边形AEFM为平行四边形所以EFAM.(5分)又AM平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.(7分)(方法2)连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN.因为四边形ABCD为矩形，所以ADBC，所以BCEANE，CBENAE.又AEEB，所以CE

9、BNEA.所以CENE.又F为PC的中点，所以EFNP.(5分)又NP平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.(7分)(方法3)取CD的中点Q，连结FQ、EQ.在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AEDQ，且AEDQ.所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQAD.又AD平面PAD，EQ平面PAD，所以EQ平面PAD.(2分)因为Q、F分别为CD、CP的中点，所以FQPD.又PD平面PAD，FQ平面PAD，所以FQ平面PAD.又FQ、EQ平面EQF，FQEQQ，所以平面EQF平面PAD.(5分)因为EF平面EQF，所以EF平面PAD.(7分)(2) 设AC、DE相交于G.在矩形ABCD

10、中，因为ABBC，E为AB的中点，所以.又DAECDA，所以DAECDA，所以ADEDCA.又ADECDEADC90°，所以DCACDE90°.由DGC的内角和为180°，得DGC90°.即DEAC.因为点P在平面ABCD内的正投影O在直线AC上，所以PO平面ABCD.(9分)因为DE平面ABCD，所以PODE.因为POACO，PO、AC平面PAC，所以DE平面PAC，(12分)又DE平面PDE，所以平面PAC平面PDE.(14分)17. (本题满分14分)如图，椭圆C：1的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点

11、E、P分别是线段OA、AM的中点(1) 求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上；(2) 过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于点R、S(不同于B)，且它们的斜率k1、k2满足k1k2，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标证明：(1) 由题意，得A(4,0)，B(0,2)，D(0，2)，E(2,0)，P(4,1)所以直线DE的方程为yx2，直线BP的方程为yx2.(2分)解方程组得所以直线DE与直线BP的交点坐标为.(4分)因为1，所以点在椭圆1上即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上(6分)(2) 直线BR的方程为yk1x2.解方程组得或所以点R的坐标为.(9分)因为k1k2，所以直线BS

12、的斜率k2.直线BS的方程为yx2.解方程组得或所以点S的坐标为.(12分)(若写成“同理可得点S的坐标为”，不扣分)所以R、S关于坐标原点O对称，故R、O、S三点共线，即直线RS过定点O18. (本题满分16分)如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中AOB的圆心角为，半烃OA为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段BD组成，其中D在线段OB上，且CDAO.设AOC.(1) 用表示CD的长度，并写出的取值范围；(2) 当为何值时，观光道路最长？解：(1) 在OCD中，由正弦定理，得.(3分)又CDAO，CO1，AOC，

13、所以CDsincossin，ODsin.(6分)因为ODOB，所以sin，所以0.所以CDcossin，的取值范围为.(8分)(2) 设道路长度为L()，则L()BDCD弧CA的长1sincossincossin1，.(11分)L()sincos1，由L()0，得sin.又(0，)，所以.(14分)L()0L()增函数极大值减函数列表所以当时，L()达到最大值，即当时，观光道路最长19. (本题满分16分)已知函数f(x)x|x23|，x0，m，其中mR，且m0.(1) 若m1，求证：函数f(x)是增函数；(2) 如果函数f(x)的值域是0,2，试求m的取值范围；(3) 如果函数f(x)的值域

14、是0，m2，试求实数的最小值(1) 证明：当m1时，f(x)x(3x2)3xx3.因为f(x)33x23(1x2)0.所以f(x)是增函数(3分)(2) 解：令g(x)x|x23|，x0.则g(x)当0x时，由g(x)33x20得x1，所以g(x)在0,1上是增函数，在1，上是减函数当x时，由g(x)3x230，所以g(x)在，上是增函数(5分)所以当x0，时，函数g(x)的最大值是g(1)2，最小值是g(0)g()0.从而0m1均不符合题意，且1m均符合题意(7分)当m时，在x0，)时，f(x)0,2；在x，m时，f(x)0，f(m)这时f(x)的值域是0,2的充要条件是f(m)2，即m33

15、m2，(m2)(m1)20，解得m2.综上所述，m的取值范围是1,2(10分)(3) 解：据(2)知，当0m1时，函数f(x)的最大值是f(m)3mm3，由题意知，3mm3m2，即m，是减函数，故的取值范围是(2，)；(12分)当1m2时，函数f(x)的最大值是f(1)2，由题意知，2m2，即，是减函数，故的取值范围是，2；(14分)当m2时，函数f(x)的最大值是f(m)m33m，由题意知，m33mm2，即m，是增函数，故的取值范围是.综上所述，的最小值是，且此时m2.(16分)20. (本题满分16分)(1) 已知公差不为0的等差数列an的首项a11，前n项和为Sn.若数列是等差数列 求a

16、n； 令bnqSn(q0)，若对一切nN*，都有b2bnbn2，求q的取值范围；(2) 是否存在各项都是正整数的无穷数列cn，使c2cncn2对一切nN*都成立？若存在，请写出数列cn的一个通项公式；若不存在，说明理由.解：(1) (方法1)设等差数列an的公差为d，则1，1，1.因为是等差数列，所以2×，即21，解得d0或d1.(4分)因为d0，所以d1.此时，即是等差数列所以ann，Sn.(6分)(方法2)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)ddn(1d)，Snna1dn2n.因为是等差数列，所以可设(n1)ppn(1p)，所以pn(1p)，即n2ndn(1d)pn(1p

17、)对任意的nN*恒成立故n2ndpn2d(1p)p(1d)n(1p)(1d)恒成立所以(4分)因为d0，所以d1，p.所以ann，Sn.(6分) 由得，bnq，所以，因为b2bnbn2，所以2，所以0q.(9分)(2) 假设存在各项都是正整数的无穷数列cn，使c2cncn2对一切nN*都成立，则2，所以2222n1，所以×.(11分)若1，则×1，所以当nN*时，1，即cn1cn.因为cnN*，所以cn1cn1.令c1M，所以cM2(cM2cM1)(cM1cM)(cMcM1)(c2c1)c1(M1)M10，与cM2N*矛盾(13分)若1，取N为log22的整数部分，则当nN

18、时，×1，所以1，即cn1cn.因为cnN*，所以cn1cn1.令cNM，所以cNM1(cNM1cNM)(cNMcNM1)(cNM1cNM2)(cN1cN)cN(M1)M10，与cNM1N*矛盾综上，假设不成立即不存在各项都是正整数的无穷数列cn，使c2cncn2对一切nN*都成立(16分)南京市高三数学附加题试卷第页(共2页)南京市2011届高三第二次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修4­1：几何证明选讲如图，已知梯形ABCD为圆

19、内接四边形，ADBC，过C作该圆的切线，交AD的延长线于E，求证：ABCEDC.证明：因为CE为圆的切线，所以DCEDAC.(3分)因为ADBC，所以DACBCA.所以DCEBCA.(6分)因为梯形ABCD为圆内接四边形，所以EDCABC.所以ABCEDC.(10分)B. 选修4­2：矩阵与变换已知为矩阵A属于的一个特征向量，求实数a，的值及A2.解：由条件可知，(4分)所以解得a2.(7分)因此A，所以A2.(10分)C. 选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，曲线D的参数方程为(t为参数)若曲线C、D有公共点，求实数m的取值

20、范围解：曲线C的普通方程为(xm)2y24.曲线D的普通方程为3x4y20.(4分)因为曲线C、D有公共点，所以2，|3m2|10.(8分)解得4m，即m的取值范围是4，(10分)D. 选修4­5：不等式选讲已知a、b都是正实数，且ab2.求证：(12a)(1b)9.证明：方法1：因为a、b都是正实数，且ab2，所以2ab24.(5分)所以(12a)(1b)12ab2ab9.(10分)方法2：因为a、b都是正实数，所以由柯西不等式可知(12a)(1b)12()212()2(1)2.(7分)又ab2，所以(1)29.所以(12a)(1b)9.(10分)方法3：因为ab2，所以(12a)(1b)(12a)52.(5分)因为a为正实数，所以a24.所以(12a)(1b)9.(10分)方法4：因为a、b都是