单摆运动的描述

1、单摆运动的描述（1） 无阻尼单摆（小角度）上式中令 ，得到如下方程：上述方程即为相图的方程，可由此方程画出无阻尼单摆在小角度下的相图：代码如下：%w0=2%E=2时syms x y;%x表示角度,y表示角速度ezplot('x.2+4*y.2-4'),hold on%E=3时syms x y;ezplot('x.2+4*y.2-6'),hold on%E=4时syms x y;ezplot('x.2+4*y.2-8'),hold on%E=0.5时syms x yezplot('x.2+4*y.2-1'),hold onxlabe

2、l('角度')ylabel('角速度')title('无阻尼小角度单摆运动相图')上图中不同的同心椭圆表示在不同的能量下单摆的运动相图，在画上图时，令，改变能量E得到一簇同心椭圆。改变会改变椭圆的形状，当时，椭圆变成圆。下面时无阻尼小角度单摆的运动轨迹分析：此时只要求解上述的微分方程，然后改变其中的初始条件即可，其中求解微分方程的代码如下：%w0=1时%初始角度为pi/4时dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=0','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角度为pi

3、/3时dsolve('D2y1+y1=0','y1(0)=pi/3,Dy1(0)=0','t')%此时令y1为角度%初始角度为pi/2时dsolve('D2y2+y2=0','y2(0)=pi/2,Dy2(0)=0','t')%此时用y3表示角度画图的代码如下：%初始角度为pi/4时t=0:pi/50:4*pi;y=(pi*cos(t)/4;plot(t,y),hold on%初始角度为pi/3时y=(pi*cos(t)/3;plot(t,y,'r'),hold on%初始角度为pi

4、/2时y=(pi*cos(t)/2;plot(t,y,'g'),hold onxlabel('时间')ylabel('角度')title('无阻尼小角度单摆在不同初始角度下的运动轨迹')legend('初始角度为pi/4的图','初始角度为pi/3的图','初始角度为pi/2的图')出的图如下：当初始角度固定不变，改变初始角速度时，也会画出图，此时将初始角度固定为pi/4，画这些图首先需要求解运动方程，求解方法和上述相同，求解微分方程的代码如下：%研究初始角度相同，初始角速度不同的时

5、候单摆的运动轨迹%此时都令初始的角度为pi/4%初始角速度为0时dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=0','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角速度为1时dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=1','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角速度为2时dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=2','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角速度为3时d

6、solve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=3','t')%用y表示角度，Dy表示角速度下面是画图的代码：t=0:pi/50:4*pi;%w0=0y=(pi*cos(t)/4;plot(t,y),hold on%w0=1y=sin(t) + (pi*cos(t)/4;plot(t,y,'r'),hold on%w0=2y=2*sin(t) + (pi*cos(t)/4;plot(t,y,'g'),hold on%w0=3y=3*sin(t) + (pi*cos(t)/4;plot(t,y,&#

7、39;c'),hold onxlabel('时间')ylabel('角度')title('相同初始角度，不同初始角速度下的运动轨迹')legend('初始角速度为0的图','初始角速度为1的图','初始角速度为2的图','初始角速度为3的图')画出的图如下：（2）倒立摆分析倒立摆的方程为，和小角度摆相同的是，同样通过求解方程得出运动轨迹，根据上式直接画出相图。画图的代码如下：%倒立摆的运动相图绘制%w0=1syms y x;%E=0时h=ezplot('y2-x2&#

8、39;),hold onset(h,'color','c')%E=1时ezplot('y2-x2-2'),hold on%E=2时h=ezplot('y2-x2-4'),hold onset(h,'color','r')%E=3时h=ezplot('y2-x2-6'),hold onset(h,'color','b')%E=4时h=ezplot('y2-x2-8'),hold onset(h,'color','k

9、')xlabel('角度')ylabel('角速度')title('倒立摆的相图')legend('E=0的图','E=1的图','E=2的图','E=3的图','E=4的图')画出的图如下：其中E=0的图表示渐近线。下面分析倒立摆的运动轨迹：<1>固定初始角速度为0，改变初始角度求解微分方程代码如下：%倒立摆的运动轨迹求解%初始角速度为0,改变初始角度%初始角度为pi/4dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/

10、4,Dy(0)=0','t')%初始角度为pi/3dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/3,Dy(0)=0','t')%初始角度为pi/6dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/6,Dy(0)=0','t')画图的代码如下：%初始角速度为0%初始角度为pi/4t=0:0.01:2;y=(pi*exp(t)/8 + (pi*exp(-t)/8;plot(t,y),hold on%初始角度为pi/3y=(pi*exp(t)/6 + (pi*exp(-t)

11、/6;plot(t,y,'r'),hold on%初始角度为pi/6y=(pi*exp(t)/12 + (pi*exp(-t)/12;plot(t,y,'g')xlabel('时间')ylabel('角度')title('倒立摆在不同初始角度下的运动轨迹')legend('初始角度为pi/4的图','初始角度为pi/3的图','初始角度为pi/6的图')画出的图如下：<2>固定初始角度为pi/4,改变初始角速度求解微分方程代码如下：%初始角度为pi/4,改

12、变初始角速度%角速度为1dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=1','t')%角速度为2dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=2','t')%角速度为3dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=3','t')画图的代码如下：%初始角度为pi/4,改变初始角速度%w0=1t=0:0.01:2;y=exp(t)*(pi/8 + 1/2) + exp(-t)*(pi/8 -

13、 1/2);plot(t,y),hold on%w0=2y=exp(t)*(pi/8 + 1) + exp(-t)*(pi/8 - 1);plot(t,y,'r'),hold on%w0=3y=exp(t)*(pi/8 + 3/2) + exp(-t)*(pi/8 - 3/2);plot(t,y,'g')xlabel('时间')ylabel('角度')title('倒立摆在不同初始角速度下的运动轨迹')legend('角速度为1','角速度为2','角速度为3')画出

14、的图如下：（3） 有阻尼单摆有阻尼单摆的运动方程为：其中是阻尼系数。有阻尼单摆分为三种情况，若阻尼，临界阻尼和过阻尼，下面画图来显示这三种情况的轨迹：画运动轨迹就是求解上述微分方程的问题，代码如下：%阻尼单摆的运动轨迹绘制%若阻尼下，阻尼系数为0.1dsolve('D2y+0.2*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')t=0:0.01:60;y=(pi*exp(-t/10).*cos(3*11(1/2)*t)/10)/4 + (11(1/2)*pi*exp(-t/10).*sin(3*11(1/2)*t)/10)/132plot(t,y),hold

15、 on%阻尼系数逐渐增大，到临界阻尼状态,阻尼系数为1dsolve('D2y+2*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')y=(pi*exp(-t)/4 + (pi*t.*exp(-t)/4;plot(t,y,'r')%阻尼系数逐渐增大，到过阻尼状态,阻尼系数为2dsolve('D2y+4*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')y=exp(t*(3(1/2) - 2)*(pi/8 + (pi*3(1/2)/12) + (3(1/2)*pi*exp(-t*(3(1/2) + 2)*(3(1/2) - 2)/24;plot(t,y,'g')xlabel('时间')ylabel('角度')title('有阻尼单摆在不同阻尼系数下的运动轨迹')legend('弱阻尼下的运动轨迹','临界阻尼下的运动轨迹','过阻尼下的运动轨迹')画出的图如下：下面是相图绘制，相图就是绘制的一阶导和的关系式。以初始角度为pi/4，初始角速度为0的单摆运动为例，求出其运动轨迹后再画出相图，其中画相图的代码如下：syms t y1