基于微元法的变位储油罐罐容表标定模型

1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 凯里学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 杨浩 2. 梁启清 3. 孔德林 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 建模教练组 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于微元法的变位储油罐罐容表标定模型 杨浩，梁启清，孔德林注：作者为凯里学院理学院数学与应用数

3、学09级本科（1）班学生，该文荣获2010全国大学生数学建模竞赛本科组全国二等奖。 指导教师：建模教练组（凯里学院理学院，贵州 凯里，556000）摘要：本文通过研究储油罐变位的有关数据来研究变位后对罐容表的标定值的影响。在第一问中，我们利用定积分的微元法来确定在变位前后罐内的油位高度与罐内油的体积的关系式模型，在经过变位前后所到达同时高度时所用的体积来比较，从而观察变位后对储油罐的罐容表的影响，再用变位后的式子来确定1cm间隔式的罐容表标定值。对问题二，储油罐的变位一般情况下只有倾斜、偏转或两种情况都存在，我们先单独通过定积分来求出各种变位的罐内的油位高度与罐内油的体积的关系式，再综合考虑两

4、种情况都存在时的关系式，确定罐容表间隔10cm的罐容表标定值。关键词： 罐容表标定值 定积分 、1. 问题分析：题目在对实际储油罐变位研究前，先对小椭圆型储油罐进行实验，从而来研究变位对标量的影响。1.1在问题一中，要研究变位影响，就必须给出变位前的罐内油位高度与进、出油量容积的关系式，再研究变位后的罐内油位高度与进、出油量容积的关系式，最后研究变位前后两个式子进行对比来确定影响度，根据变位后罐内油位高度与进、出油量容积的关系式来确定在间隔1cm的罐容表标定值。1.2问题二，在实际生活中，储油罐的变位可能只是倾斜，也可能只有偏转，或都存在时，则不同情况下，对罐容表标定值不同，所以都需要考虑，故

5、先分别对各种情况进行讨论，建立数学模型，最后在综合分析，确定所有情况都存在的问题，在用所得模型确定不同情况下的间隔10cm的罐容表标定值。2.符号说明：H 油在储油罐正常情况下的实际高度 表示在y轴的增加量 表示小椭圆储油罐正常时油在任意标高高度H时的体积 表示小椭圆储油罐倾斜时油在任意标高高度H时的体积 表示罐容表标定值 表示在任意标高时体积微分元素 表示纵向倾斜角 倾斜时油浮子不能测量的范围体积 高端的不能测量的小段高 小椭圆油罐的油位探针到高端的距离 是全椭圆型储油罐的容积 为高端油的液面高度 为倾斜时低端油液面高度 为在时油浮子所测得的高度 3.模型假设：3.1 所有的截面示意图均为正

6、截得，而非倾斜截得；3.2 储油罐完好，没有漏油现象出现；3.3 储油罐内的油不受外界的影响而发生流动；3.4 储油罐在加油和出油时，是完全流进和流出，不会积累在管壁上而造成加油或出油的值改变。3.5 忽略每次加油，因为体积的增加，而导致整体压强增大，整体体积有微下的变下情况。 4.模型的建立和求解：问题一：4.1 求小椭圆型储油罐无变位时的罐内油位高度与出油量容积的关系式取小椭圆油罐截面示意图如下： 图1 小椭圆油罐截面示意图将图1建立坐标系中得到下图2；图2小椭圆油罐截面坐标图椭圆的方程为： (1) 取y为积分变量y,设为闭区间内的任意一小区间，由图2可知这个小区间窄条的面积 (2)在任意

7、标高时体积微分元素为 (3)在闭区间内对(3)式做定积分得V=。当油面标高为H时，有 V= （4）即得到V与H的关系。4.2 求倾斜时小椭圆型罐内油位高度与油量容积的关系式： 倾斜的截正面示意图为 图3罐身倾斜的截正面示意图设倾斜角为,可以算出高端的底部离水平面的高度。同时在倾斜时油浮子不能测量的范围体积为，如下图4图4 倾斜时油浮子不能测量的体积则高端的不能测量的容积小段高度为，油位探针到高端的距离为，则 。同理，低端不能测量容积的高度，油位探针到低端的距离为，则有。利用matlab画出倾斜加油时的高度和体积的关系如下图。 图5倾斜加油时的高度和体积的关系通过对图象分析，拟合成一元一次方程：

8、 （5） 已知在倾斜时浮油针子能测的最高为=1.2m，=4019.2L，当时，带入（5）式得最低端不能测量的体积=995.4L。当在倾斜时，油在小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）的所站的体积可由公式来计算： （6） 其中Q为卧罐的倾斜常数，k为卧罐的倾斜系数，为高端油的液面高度,为倾斜时低端油液面高度,为在时油浮子所测得的高度，故方程（6）可化为 （7） 4.3 倾斜前后的罐内油位高度与出油量容积的关系式比较和求1cm的罐容表标定值对时，即在正常和倾斜的情况下浮油子达到相同的高度时，油液所占的体积进行对比，这里是从无变位的数据（附录一）中任意取出十组数据，并用这十组数据的带入（7）式中计算出

9、变位后的值如下表一：表一 变位前后体积利用，可算得未变位与变位的体积的百分比。根据算得的百分比值的大小推算体积变化对标定值的影响的大小。当p越大时，这种影响越大，p越小时，这种影响越小。上述十组百分比的平均值为：,可知当罐体变位后对罐容表的影响很大。对1cm 的罐容标定值的计算，先对公式（7）的值给定一个值，在这个值的基础上加1cm,算出两个体积，它们的差值即为1cm罐容标定值。取=950mm时，=2774(L),=2793（L）则1cm罐容标定值为：M=2793-2774=19（L）。问题二：4.4 建立无变位的罐内油位高度与油量容积的关系式：设圆柱油罐的半径为R，罐身长,凸头长为F,油面高

10、度为H，则容油量 (8)表示罐身部分容油量，表示凸头部分容油量，由积分公式有： (9)令故 其中R=1.5m,，（9）式中可按的不同数值由表二中查出。出油量/L显示高度H/mmR/mmH/R60.002632.2315001.754820149.092624.3015001.74953368.452620.6715001.740193199.272610.2915001.73774070.052606.2915001.733060136.362599.5915001.725067232.742587.6915001.721367107.972582.0515001.71971349.24257

11、9.5715001.71690080.652575.4415001.712973120.292569.4615001.706553108.242564.1215001.69308783.462559.8315001.698980229.932548.4715001.685340181.402539.6315001.681078238.522528.0115001.673487131.792521.6315001.672113238.332510.2315001.66671342.922508.1715001.660040171.342500.0715001.657153212.342490.0

12、615001.64960092.382485.7315001.643180234.852474.4015001.636503206.692464.7715001.643180224.502454.5115001.636340169.262446.7715001.631180220.062436.8515001.624567117.542431.5515001.62103093.442427.3215001.611828114.462422.2015001.614800174.692414.3515001.609570232.772404.0515001.602700表二 值设球形封头的球面方程

13、为，则,式中为球冠半径，当容器内的液面高度为H时，一边封头的体积为 = (10)将 (9) (10)代入(8),有 （11）4.5 建立变位后倾斜罐内油位高度与油量容积的关系式 纵向倾斜设油罐轴线与水平线的夹角为，如下图： 图6纵向倾斜示意图 此时油罐内容油量为，式中表示倾斜时罐身容油量，表示油罐较低的一端凸头部分的容油量，表示油罐较高一端凸头的容油量。由于 （为拱凸度）很小，故可用图6中阴影部分的近似值代替两端凸头的实际容油量。即对于的计算分三种情况：情形1：当时（其中 ）； (为倾斜后液面高度离H为的体积)。 情形2：当时，如下图7。此时油罐内容油量可以认为是长为,高为，此时罐身油的体积为

14、，与前面类似用积分方式可以求出。 图7：情形2示意图情形3：当时，如下图8。有可按计算出图中的体积，再从总体积V减去求得油罐容油量。图8:情形3示意图 横向倾斜罐身和罐头所容油量不变只是会影响探针是测量1.当 H<R时，倾斜角后，油位探针所探到的值将比水平放时少，显示为 （12）故实际的油高度为。2.当H=R，时，对油位探针无影响；时，油位针针将显示油满3.当H>R时，倾斜角后，油位探针所探到的值将比水平放时高，显 （13）故实际的油高度为。因为在横向倾斜角时，油的体积不变，可得到倾斜角后油位显示高度与体积的关系， 当H>R时 根据附件2的数据求得，故。同理可以确定对应的倾斜角及。取cos为0.8（上述的平均值），故即油位高度间隔10cm, 所表示的就是罐容标定值。5 模型的分析： 对于问题一，采取的是求出倾斜时油的体积与高度的关系，并且与正常情况下的油与高度的对比，做出一个百分比，通过百分比的大小来确定影响。使用百分比是一种很合理、很基础的研究影响度问题，但是因为在求倾斜体积时有很多因素无法考虑，所以所得结果同样存在误差。 对于问题二，分别考虑在正常、倾斜、和偏转情况下的油的高度和容积关系，从而研究影响度。使用积分的方法，分别求出圆柱内油的容积和球罐封头的