南开大学2005硕士研究生入学考试试题2005高等代数修正版_第1页
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文档简介

1、南开大学2005硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数注：本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的高等代数！一、计算下列行列式解：由行列式性质，显然，第二式为0，连续运用此性质得二、设齐次线形方程组的一般解以为自由未知量（1） 求 a,b,c,d,e满足的条件（2） 求齐次线形方程组的基础解系解：有自由变量数为2，可知，方程组系数矩阵的秩为2即的秩为2，又易得系数矩阵变形故，可通过初等变换得到即，,也即(2)结合上面的讨论，易知基础解系为三、（1）已知且，求X=?(2)已知，且矩阵方程有解，求a,b,X.解：（1） 令由B的第三列均为0知不妨令则有矩阵乘法法则

2、，知解得同理， 即（2）将看成两个方程组和， 其中，显然有解，即与有相同的秩，也即，在经过变形得到的矩阵中有， 得 同理，中有 ，即，对中有，基础解系对有基础解系综上，有.四、设和均为实数域上n元二次型，且存在实数域上n阶方阵C和D使得，证明：和具有相同的规范形 证明：由 乘积的秩不超过各因子的秩，及得，,及，从而，不妨设，若不妨设则由，得，即， 记，其中，则有， ，从而对 得，等式右边 得到一个半正定矩阵，而左边为一负定矩阵.产生矛盾.从而故,这样A与B有共同的秩,且具有相同的正惯性指数,即, A与B合同，也即，它们合同于同一个形为的对角矩阵.从而，它们具有相同的规范形.也即，和具有相同的规

3、范形.五、设P为数域.已知上两组向量组试问是否存在上的线形变换A使 解：由题显然有，且线性无关，也线性无关. 故可添加一个向量，使得， 均线形无关可以把作为一组基，则存在上的线性变换A使 , ，则由线性变换定义，此线性变换满足故存在上的线形变换A使 六、设V为数域P上n维线形空间，A为V上线形变换.已知试问是否存在V的一组基使在这组基下的矩阵为对角矩阵？解：不妨设存在这样的一组基，设为，A在这组基下的矩阵为A，且由284页定理2及，知，对前式，有故，此时，从而有，这与题意矛盾从而不存在V的一组基使在这组基下的矩阵为对角矩阵七、设A为n阶正定实对称矩阵，为n维欧式空间（标准度量）中的n+1个向量.若已知证明：证明：定义一组基，满足欧式空间的所有条件，且满足内积条件，是A中的元素，并且，设由（2），从而，两两正交，为一正交向量组，也有它们线形无关，又,从而=0，问题得证.八、设V为数域P上n维线形空间（n1）.证明：必存在V中一个无穷的向量序列使得中任何n个向量都是V的一组基.证明：采用构造法取n维线形空间的一组基取另一向量则显然有从以上n+1向量中选出n个均可作为n维线形空间的一组基.同样，依次取向量使得这样得到一个无穷的向量序列.下证，从中任选n个，它们均线形无关从构造中易得，从而不妨任选，.令得从而,， （

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