变分法基础习题

1、习题22.1 设函数，试求(1) 微分；(2) 变分。2.2 试求下列函数的一阶变分，其中、和均为常数。(1) ；(2) ；(3) 。2.3 试求下列泛函的一阶变分(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 。2.4 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.5 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.6 求泛函的极值曲线。2.7 求泛函的极值曲线。2.8 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.9 求泛函的极值曲线。2.10 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.11 求泛函的极值曲线，式中。2.12 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.13 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.14 求泛函的极值曲线，

2、边界条件为，。2.15 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.16 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.17 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.18 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.19 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.20 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.21 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.22 求泛函的极值曲线，边界条件为。2.23 求泛函是正则问题的条件并求欧拉方程。2.24 设，试证泛函的极值曲线为直线。2.25 若泛函，其中为常数，为的给定函数，试求其欧拉方程。2.26 试在过与的曲线中找出满足条件，且使泛函取极值的那一条曲线。2.27 求泛函的极值曲线，边界条件为

3、，。2.28 试讨论变分问题，是否有意义。2.29 试讨论变分问题，。当取什么值时它的极值曲线存在，并求出此极值曲线。2.30 试讨论泛函的极值，边界条件为，。2.31 试讨论泛函的极值，边界条件为，。2.32 试讨论泛函的极值，边界条件为，。2.33 试讨论泛函的极值，边界条件为，。2.34 求泛函的极值曲线，式中为常数。2.35 求泛函的极值曲线。2.36 求泛函的极值曲线，其中为常数。2.37 求泛函的极值曲线。2.38 求泛函的极值曲线。2.39 求泛函的极值曲线。2.40 求泛函的极值曲线。2.41 求泛函的极值曲线。2.42 求泛函通过点(0,0)和(1,1)的极值曲线。2.43

4、求泛函的极值曲线。2.44 求泛函的极值曲线。2.45 求泛函的极值曲线。2.46 求泛函的极值曲线，边界条件为，。2.47 求泛函的极值曲线。2.48 求泛函的极值曲线。2.49 写出泛函的奥氏方程。2.50 写出泛函的奥氏方程。2.51 求泛函的极值曲线。2.52 求泛函的极值曲线，其中是常数。2.53 求泛函的极值曲线。2.54 求泛函的极值曲线。2.55 求泛函的极值曲线，式中。2.56 求泛函的极值曲线，已知，。2.57 求泛函的极值曲线，已知，。2.58 设泛函满足边界条件，其中、和为已知函数，且，。试导出该泛函的极值曲线应满足的边界条件。2.59 设一边界固定，半径为并呈轴对称弯

5、曲的圆形薄板，在单位面积载荷为的作用下，系统的总势能是板的挠度的泛函式中和皆为弹性常数。试证当该泛函取得极小值时挠度函数应当满足平衡方程2.60 周边固支正交各向异性圆板线性弯曲的总位能由下式给出式中，是径向坐标，是板的半径，是分布横向载荷，是板的刚度。用总位能原理求出板的控制微分方程。2.61 证明泛函满足边界条件，的极值曲线为空间直线。2.62 求泛函的极值曲线，式中为常数。2.63 求下列泛函的变分和欧拉方程(1) ；(2) 。2.64 设某静电场的电位，电场能量为根据电学知识，当最小时，该静电场处于平衡状态。试求此时电位函数所应当满足的微分方程。2.65 用极坐标求泛函的极值曲线。2.66 如果第一象限充满某种透明的光介质，而在其中的任一点光的速度等于，求光束以最短的时间由原点传播至点(2,3)的光路方程。2.67 求泛函的奥氏方程。2.68 写出泛函的奥氏方程。2.69 给定泛函和，试由变分方程推导欧拉方程，和在区域和的边界上的值为已知。2.70 求泛函的极值曲线。2.71 写出泛函的欧拉奥氏方程。2.72 求泛函的奥氏方程。2.73 求泛函的奥氏方程，。2.74 设一质量为的小车在水平轨道上运动，开始时()速度为零。忽略摩擦阻力，要求在时刻时，小车的速度为，试求控制规律即外力，使速度误差及控制能量为极小，也即使泛函取极小值