三角形内交和定理教学设计

1、§11.4三角形内角和定理的教学设计 梁铭慧一、 教材与学生现实的分析 1、三角形的内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，并且是计算角的度数的方法之一。在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。其中辅助线的作法、把新知识转化为旧知识、用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础，三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。2、三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学是通过实验得出的，要向学生说明证明的必要性，同时说明今后在几何里，常常用这种方法得到新知识，而定理的证明需

2、要添辅助线，让学生明白添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要思想方法，它同代数中设末知数是同一思想。 3、学生在小学里已知三角形的内角和是180°，前面又学习了三角形的有关概念，平角定义和平行线的性质，而且也渗透了三角形的内角和是180°的证明，它的证明借助了平角定义，平行线的性质。用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同旁内角，为定理的证明提供了必备条件。尽管前面学生接触过推理论证的知识，但并末真正去论证过，特别是在论证的格式上，没有经过很好的锻炼。因此定理的证明应是本节引导和探索的重点。辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，只要教师

3、设置恰当的问题情境，学生再由实验操作、观察、抽象出几何图形，用自主探索的方式是可发完成的，并且这样的过程 可以更好地发展他们的创造能力和实验能力。从本节开始训练学生将命题翻译为几何符号语言，写出已知、求证，学会分析命题的证明思路，对培养学生的思维能力和推理能力将起到重要的作用。二教学程序设计学习目标 （1） 知识与技能 ： 掌握“三角形内角和定理”的证明过程，并能根据这个定理解决实际问题。 （2） 过程与方法 ： 通过学生猜想动手实验，互相交流，师生合作等活动探索三角形内角和为180度，发展学生的推理能力和语言表达能力。对比过去撕纸等探索过程，体会思维实

4、验和符号化的理性作用。逐渐由实验过渡到论证。通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。  （3）情感态度与价值观：    通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习数学的兴趣。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。教学重点：三角形内角和定理的证明思路及应用。教学难点：三角形内角和定理的证明方法。创设问题情境你能回答本章情境导航中提出的问题吗？1、提出问题我们知道三角形的内角和等于180°，即三角形三个内角和等于平角，你能用剪纸拼图的方法验证这个结论吗？教师引导学生用准

5、备好的三角形硬纸片剪纸拼图，如图，把A剪下放在1位置上，B剪下放在2位置上，较直观得到三角形内角和是180°。 教师指出：这只是实验得出的命题，不能当做定理，只有经过严格的几何证明，证明命题的正确性，才能作为几何定理，今后，在几何里，常采用这种方法得到新知识。那么如何证明此命题是真命题呢？能否用学过的旧知识来证明呢？ 2、教师引导要证三角形三个内角和是180°，观察图形，三个角间没什么关系，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么样的角呢？学生思考与180°有关的角后回答，可拼成：平角，两平行线间的同旁内角。教师引导，要把三角形三个内角

6、转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？下面同学们利用准备好的3三角形纸片拼一拼，画一画。3、学生通过自主探究，可以得出以下几种辅助线的作法 （教师演示课件） 如图11-4，延长BC得到一平角BCD，然后以CA为一边，在ABC的外部画1=A。                 

7、;    11-4   如图11-4，延长BC，过C作CEAB        如图11-5，过A作DEAB                     11-5       如图11-6，在BC边上任取一点P，作PRAB，P

8、QAC。11-6       如图11-7，在ABC内部任取一点P，过P点作QRBC，MNAB。STAC。11-7        如图11-8，在ABC外部任取一点P，过P点作QRBC，MNAB。STAC。11-8学生可能还有其它画法。“抓住根本” 抓住“把三个角搬到一起，让三个顶点重合、两条边形成一条直线，以便利用平角的定义”这一基本思想，可以把三个角集中到三角形的某一个顶点；可以把三个角集中到三角形的某一边上；可以把三个角集中到三角形的内部的一点；可以把三个角集

9、中到三角形的外部的一点。学数学要善于抓住不变的根本，又要灵活地在变化中认识、处理和解决问题。让学生学会“抓住根本”，而不在于有几种证明方法。培养学生的推理与证明能力。师好，下面同学们来证明一下：三角形的内角和等于180°这个真命题。这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？生需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证。师对，下面大家来证明，哪位同学能把证明过程叙述一下？（学生边叙述证明过程，边观看课件上的分析和证明过程）11-4生甲已知，如图11-4，ABC,求证：A+B+C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CEAB。则ACE=A（两直线平行，

10、内错角相等）ECD=B（两直线平行，同位角相等）ACB+ACE+ECD=180°（1平角=180°）A+B+ACB=180°（等量代换）师同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了射线CE、CD，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了。为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理。即：三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°你能用其他添加辅助线的方法，证明三角形内角和定理吗？（找学生板演图11

11、-5，11-6的证明过程。）从图11-4及三角形内角和定理，你还发现了什么？由ACE=A，ECD=B，可知ACD=A+B，所以ACDA , ACDB挑战自我1.求证：直角三角形的两个锐角互余。DA2.已知：如图，四边形ABCD是一个任意四边形。求证：A+B+ C+ D+ E=3600BC4,回顾联系，形成结构（观看课件）这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理。证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角。辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它。我们还学习了两个推论。还记得是什么吗？5,作业课本128页A组1，2题。第11章 几何

12、证明初步 单元教学设计店子中学 梁铭慧教材分析(一)教学内容青岛版数学八年级下册第11章的主要内容定义与命题、为什么要证明、什么是几何证明、三角形内角和定理、几何证明举例、反证法。(二)  教材所处的地位与作用本章是在学习了角、平行线、平面图形的认识，轴对称和轴对称图形以及全等形与相似形等内容的基础上安排的。在这之前学生已积累了一定的观察、实验、归纳、类比、猜测、交流表达的技能和合情推理的能力。因此，学习平面图形性质的证明，体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握演绎推理的基本格式，已势必然。 要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察、实验、归纳、类比是不够的，必须一步一步、

13、有理有据地进行推理，肯定结论正确。推理的过程就是证明，它是根据数学事实，依据形式逻辑的原则，陈述判断有关数学命题真假的一种规范化的表达模式，也是一种数学说理方式。学会用综合法证明对培养学生的推理能力、抽象能力、想象能力和创造能力有着重要的、不可取代的作用。 本章只是几何证明的初步，目的在于使学生掌握基本的证明格式，体会通过合情推理探索的某些结果，运用演绎推理加以证明，从而获取数学结论的过程。这是继续学习平行四边形、圆以及高中数学知识的重要基础。（三）单元教学目标（1）理解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论，奠定推理论证的基础。（2）会根据公理:同位角相等，两直线平行

14、证明判定定理：同旁内角互补，两直线平行和内错角相等，两直线平行，并能对上述公理、定理进行简单的运用。（3）探索并掌握几何证明的条件，并能运用它们判别两个三角形是否全等。（4）经历比较、证明等探究过程，提高分析、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对只是方法的总结，培养反思的习惯及缜密的数学思维能力。（5）了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。（四）本章教学重点、教学难点和关键 重点：知道利用反例可以判断一个命题是错误的；学会用综合法证明的格式，会利用全等三角形证明角平分线和线段垂直平分线的定理，以及等腰三角形和直角三角形的性质定理和判定定理。难点：区分命题的条件和结论，推理论

15、证能力的培养，反证法。关键：一步一步地，循序渐进地、由由简到繁地引入推理证明，培养推理论证能力。二 学情分析在几何证明初步这一章中，让学生通过观察、操作与类比，探索并掌握几何证明的方法与步骤。理解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义，特别是全等三角形的特征与性质以及识别方法。让学生在以前的说理基础上，进一步学习一些主要的推理论证的方法，加强数学的理性训练。引导学生认识证明的必要性，学会由定理、公理出发，证明有关的命题，解决一些简单的逻辑推理问题，使学生养成言必有据的正确思维习惯。三、单元教学思路与策略1、让学生通过观察、操作、探索来掌握几何证明的步骤和方法，引导学生认识证明的必要性。2、教授教材内容时，教师应尽量提供大量的实例，并展开充分的交流，要求学生能在了解定义与命题的概念的基础上，能对简单的真命题、假命题做出判断，让学生自主讨论，主动参与、探索。课堂教学一般由探索新知、引出概念等环节组成，但每个环节的时间安排不宜过多。3、在教学中通过多种思考方法的交流，激发学生放入发散性思维，在交流中，发展学生的逻辑思维及表达能力，所以在课堂上要注意给学生留出自主的空间。随后引入典型或精选的例题，让学生进一步感受到几何证明的原理性，例如在证明三角形三个内角的和等于180度时，要请学生思考不