2023-2024学年上海市长宁区延安中学高二（下）期中数学试卷 （含解析）

2023-2024学年上海市长宁区延安中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）1．已知函数，则．2．某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为．3．函数的驻点为．4．函数在区间，上的最大值为．5．若事件与互斥，且，（B），则．6．若直线与曲线（参数有唯一的公共点，则实数．7．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是．8．一名信息员维护甲、乙两公司的网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.2和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为．9．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为．10．在平面直角坐标系中，动点和点、满足，则动点的轨迹方程为．11．若对任意，有成立，则的最大值为．12．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为（注意：不填或错填得0分，漏填得2分．（1）双曲线的离心率为2；（2）双曲线的一条渐近线的斜率为；（3）线段的长为；（4）△的面积为．二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）13．现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型、型、型和型血的学生依次有300，200，180，120人．为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本．完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样14．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是A．恰好有一个白球与都是红球 B．至多有一个白球与都是红球 C．至多有一个白球与都是白球 D．至多有一个白球与至多一个红球15．已知函数的导函数的图像如图所示，下列说法不正确的是A．函数在上严格增 B．函数在上严格减 C．函数在处取得极大值 D．函数共有两个极小值点16．已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是A． B． C． D．三、解答题（本大题共5题，满分46分）17．一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张．（1）若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率；（2）若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率．18．已知抛物线，定点．（1）过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求；（2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程．19．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；（2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．20．已知函数，，其中，．（1）求函数在点，（1）处的切线方程；（2）函数，，是否存在极值点，若存在，求出极值点，若不存在，请说明理由；（3）若关于的不等式在区间，上恒成立，求实数的取值范围．21．已知椭圆，，，，，这四点中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上的一个动点，求面积的最大值；（3）过的直线交椭圆于、两点，设直线的斜率，在轴上是否存在一点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

参考答案一．选择题（共4小题）题号13141516答案CAAD一、填空题（本大题共12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）1．已知函数，则1．解：，则，故．故答案为：1．2．某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为．解：某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为．故答案为：．3．函数的驻点为．解：函数，可得，令，解得．故答案为：．4．函数在区间，上的最大值为．解：，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，故当时取得极大值，也为最大值，（1）．故答案为：．5．若事件与互斥，且，（B），则．解：由于事件与互斥，且，所以（A）（B），故（A），所以．故答案为：．6．若直线与曲线（参数有唯一的公共点，则实数．解：曲线（参数即，表示圆心在，半径等于1的圆．由题意知，圆心到直线的距离等于半径1，即，，故答案为．7．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是32.5．解：因为，所以该小组成员年龄的第25百分位数是．故答案为：32.5．8．一名信息员维护甲、乙两公司的网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.2和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为0.94．解：一名信息员维护甲乙两公司的网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.2和0.3，至少有一个公司不需要维护的概率为：．故答案为：0.94．9．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为，．解：由得：①当时，，函数在区间上单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得．故答案为：．10．在平面直角坐标系中，动点和点、满足，则动点的轨迹方程为．解：点、满足，，，，化简可得．故答案为：．11．若对任意，有成立，则的最大值为1．解：因为，所以，所以函数在区间上单调递增，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，所以．故实数的最大值为1．故答案为：1．12．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为（1）（4）（注意：不填或错填得0分，漏填得2分．（1）双曲线的离心率为2；（2）双曲线的一条渐近线的斜率为；（3）线段的长为；（4）△的面积为．解：如图，已知，由双曲线定义知，解得，，又，，可得，则△，故，解得，则，，，可得，即，得离心率，，在△中，，，，，故（1）（4）正确．故答案为：（1）（4）．二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）13．现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型、型、型和型血的学生依次有300，200，180，120人．为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本．完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样解：由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样，对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样．故选：．14．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是A．恰好有一个白球与都是红球 B．至多有一个白球与都是红球 C．至多有一个白球与都是白球 D．至多有一个白球与至多一个红球解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，故选项互斥不对立，正确，选项：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故错误，选项：由选项的分析可知互斥且对立，故错误，选项：至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故错误，故选：．15．已知函数的导函数的图像如图所示，下列说法不正确的是A．函数在上严格增 B．函数在上严格减 C．函数在处取得极大值 D．函数共有两个极小值点解：对于，由图象可知，当时，，当时，，所以函数在上先减后增，故错误；对于，当时，，所以函数在上单调递减，故正确；对于，因为在左侧附近导数为正，右侧附近导数为负，所以函数在处取得极大值，故正确；对于，因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，所以函数在处取得极小值，因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，所以函数在处取得极小值，则函数共有两个极小值点，故正确．故选：．16．已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是A． B． C． D．解：，，；①当时，有两个零点，不成立；②当时，在上有零点，故不成立；③当时，在上有且只有一个零点；故在上没有零点；而当时，在上取得最小值；故；故；综上所述，实数的取值范围是；另解：将方程，变形为，可令，则，此问题即的图象与直线有且只有一个交点，则交点的横坐标大于0，如图作出的图象，由图象可得的范围是．故选：．三、解答题（本大题共5题，满分46分）17．一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张．（1）若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率；（2）若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率．解：（1）标签的选取是无放回的，则样本空间，，，，，，，，，，，，其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共6个基本事件，所以两张标签上的数字为相邻整数的概率．（2）标签的选取是有放回的，则样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共6个基本事件，所以两张标签上的数字为相邻整数的概率．18．已知抛物线，定点．（1）过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求；（2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程．解：（1）由题意可得，直线的方程为，即，联立解方程组，可得，设，，，，则，；（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，得，当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，当时，则△，解得，直线方程为．19．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；（2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．解：（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得，所以前两组的频率之和为，即，所以；平均数为，（2）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，这5人中选出2人，所有情况有10种情况，分别为：，，，，，．，，，，其中选出的两人来自同一组的有：，，，，，，共6种情况，故选出的两人来自同一组的概率为．20．已知函数，，其中，．（1）求函数在点，（1）处的切线方程；（2）函数，，是否存在极值点，若存在，求出极值点，若不存在，请说明理由；（3）若关于的不等式在区间，上恒成立，求实数的取值范围．解：（1），（1），因为，所以（1），所以在点，（1）的切线方程为，即；（2）设，，当时，恒成立，所以在严格增，不存在极值点；当时，当时，，当时，，所以在严格减，在严格增，所以函数存在一个极小值点，无极大值点；（3）原不等式，当时，恒成立；当时，，即，由（2）知时，，此时，所以此时，所以此时，且由以上分析可知，当时，，综上，实数的取值范围为．21．已知椭圆，，，，，这四点中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上的一个动点，求面积的最大值；（3）过的直线交椭圆于、两点，设直线的斜率，在轴上是否存在一点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由，