导数及其应用小结

1、导数及其应用小结课标要求（1）导数概念及其几何意义 了解导数概念的实际背景. 理解导数的几何意义.（2）导数的运算 能根据导数定义，求函数的导数. 能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C为常数)；,nN+；; ;.法则1 法则2 .法则3 .（3）导数在研究函数中的应用 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值

2、、最小值，对多项式函数一般不超过三次.（4）生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题.知识结构导数基本初等函数导数公式导数运算法则导数与函数单调性的关系导数与极（最）值的关系平均速度瞬时速度平均变化率瞬时变化率割线斜率切线斜率知识小结1 导数的概念(1)如果当时，有极限，就说函数在点处存在导数，并将这个极限叫做函数在点处的导数(或变化率)，记作或，即的几何意义是曲线在点处的；瞬时速度就是位移函数对的导数；加速度就是速度函数对_的导数.(2)如果函数在开区间内的每一点都可导，其导数值在内构成一个新函数，这个函数叫做在开区间内的导函数，记作或.2几种常见函数的导数(1)(C为常数)；(2),n

3、N+；(3)；(4);(5);(6);(7);(8) .3可导函数的四则运算法则法则1(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2 .(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)法则3(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)4函数的单调性函数在某个区间内，若，则为；若，则为；若，则为。5如果一个函数在某个区间内的绝对值，那么函数在这个范围内变化，这时函数的图象就越“”。6（1）函数极值的概念函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的，叫做函数的.函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，

4、则点叫做函数的，叫做函数的.极小值点与极大值点统称为，极小值与极大值统称为. （2）求函数极值的步骤：；。7函数的最大值与最小值在闭区间上连续，内可导，在闭区间上求最大值与最小值的步骤是：（1）；（2）。8生活中常遇到求利润，用料，效率等一些实际问题，这些问题通常称为。9利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中，根据实际问题确定。（2）求函数的，解方程，得出定义域内的实根，确定。（3）比较函数在和的函数值的大小，获得所求函数的最大（小）值。（4）还原到原实际问题中作答。说明1导数是从众多实际问题中抽象出来的一个重要的数学概念，

5、要从它的几何意义和物理意义来对这一概念加以认识，才能把握其实质；2导数的概念及其运算是导数就用的基础，是高考考查的重点内容.考查方式多以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义，也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题；3在对导数的概念进行理解时，特别要注意与是不一样的，代表函数在处的导数值，不一定为0 ；而是函数值的导数，而函数值是一个常量，其导数一定为0，即=0；4对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不

6、必要的运算失误.5复合函数的求导问题是个难点，要分清中间变量与复合关系，复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.防止漏掉一部分或漏掉符号造成错误.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系.6导数的应用包括以下几个方面:(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间;(2)利用导数研究函数极值与最值;(3)利用导数研究曲线的切线问题;(4)利用导数研究不等式的证明问题;(5)利用导数研究函数的零点;(6)利用导数求参数的取值范围等.在复习的过程中,应注意总结规律,一般来说,利用导数解决的问题,其所涉及的函数往往具有明显的特征,例如

7、:三次函数等高次函数,非常规函数(由基本初等函数构成)等,这些函数尤其适合利用导数解决.再如：f(x)在某个区间内可导，若f(x)0,则f(x)是增函数；若f(x)0,则f(x)是减函数.求函数的极值点应先求导，然后令y=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y=x3,当x=0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得等等

8、。 另外,在复习过程中,要注意等价转化,分类讨论,数形结合等数学思想方法的训练,在解决导数的综合应用题中,这些思想方法始终贯穿于其中,是正确解决问题的关键.7利用导数解决实际问题，关键在于要建立适当的数学模型（即函数关系），如果函数在区间内只有一个点使得的情形，此时函数在这点有极大（小）值，那么可不与区间端点的函数值进行比较，也可以知识这一点即为最大（小）值点。8实际应用中准确地列出函数的解析式，确定函数的定义域是求解的关键。典型例题例1(1)设函数在处可导，且，求；(2)已知，求.解：(1)由已知条件和导数的定义，可得：，当时，.(2)解法一：解法二：令，则从而由导数乘法的计算公式得所以例2

9、求下列函数的导数(1) (2)(3)(4) (5) (6)解：(1)解法一：，解法二：(2)(3)，(4)(5). (6)例3已知函数在处的导数值与函数值互为相反数，求的值。解：由于，所以，又，依题意得，即，得。例4已知曲线.（1） 求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程。解：(1)所求切线的斜率为，故所求的曲线的切线方程为即(2)设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率为，切线方程为，因为点在切线上，所以，解得或，故所求的切线的方程为：或例5在曲线y=x3x上有两个点O(0，0)、A(2，6)，求弧OA上点P的坐标，使AOP的面积最大.解：解法一:因为kOA=3，所以过弧OA上点

10、P的直线的斜率k=kOA=3.所以k=y=3x21=3.所以3x2=4.所以x=或x= (舍去).所以x=,y=，即P(，).解法二:设P(a,a3a),O(0,0)、A(2,6),直线OA的方程为3xy=0.点P到它的距离为d=|a34a|,0a2,4aa3.d= (4aa3).(d)= (43a2),令43a2=0,得a=或a=.0a2,x=a=时取最大值，此时y=()3=.P(，).例6已知抛物线或，如果直线同时是和的切线，则称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。(1)取什么值时和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互

11、相平分。解：(1)函数的导数是，曲线在点处的切线方程为：，即函数的导数是，曲线在点处的切线方程为：，即如果直线是过点和的公切线，则都是直线的方程，从而有消去得方程，由，得.此时，即点和重合.故当时，和有且仅有一条公切线，此公切线方程为.(2)由(1)知，当时，和有两条公切线.设其中的一条公切线在和上的切点分别为，则即公切线段的中点是同理可证，另一条公切线段的中点也是，所以公切线段和相互平分。例7若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围.解：.因为函数存在单调递减区间,所以有解.又因为函数的定义域为,则应有的解.(1)当时,为开口向上的抛物线,总可以找到的解;(2)当时,为开口向下的抛物线,要使

12、总有大于0的解,则且方程至少有一个正根,此时.(3)当时,显然符合题意.综上所述,实数的取值范围是.例8(2005年北京卷)已知函数若在区间2，2.上的最大值为20.(1)求实数的值;(2)是否存在实数,使得对于,总存在,都有成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由.解：（1）令,解得或所以函数的单调递减区间为递增区间是.又因为,所以因为在上,所以在单调递增,又由于在上单调递减,因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有,解得(2)由(1)知因此即函数在区间上的值域为,20,由于,所以当时,因此当时,为减函数,从而当时,.又因为,即当时若对于,总存在,都有,则应有,即,解得:但由

13、于,故不存在这样的实数.例9将函数的图象按向量平移得到函数的图象,求证:当时,.解：将函数的图象按向量平移得到函数.令,则,因为,所以,即函数在区间上是单调增函数,于是有,即,因此有当时,例10设为实数,函数(1)求的极值;(2)当为何值时,函数恰好有两个零点?解：(1)令，得.又因为时，；时，；，所以的极小值为；的极大值为.(2)因为在上单调递减，且当时，；又在上单调递减，且当时，；而，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值大于或等于零时，有极小值小于或等于0，此时曲线与轴恰好有两个交点，即函数恰好有两个零点，所以；当极小值等于0时有极大值大于0，此时曲线与曲线与轴也恰好有两个交点，即函数恰

14、好有两个零点，所以。综上所述知，当时，函数恰好有两个零点。例11(2007山东省样题)已知函数（）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；（）设函数的图象C1与函数图象C1交于点P、Q，过线段PQ的中点作轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.解：（I），则因为函数存在单调递减区间，所以有解.又因为时，则有的解.当时，为开口向上的抛物线，总有的解；当时，为开口向下的抛物线，而总有的解；则,且方程至少有一正根.此时，综上所述，的取值范围为.（II）证法一 设点P、Q的坐标分别是，则点M、N的横坐标为在C1点M处的切线斜率为在C2点N处的切线斜率为假设C

15、1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则，即，则=所以设则令，则因为时，所以在上单调递增. 故则. 这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.证法二：同证法一得因为，所以，令，得令因为，所以时，故在上单调递增.从而，即，于是在上单调递增.故即这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.例12已知函数，(1)函数的单调区间；(2)求函数图象在与轴交点得的切线与两坐标轴所围成的图形的面积；(3)判断方程解的情况().解：(1),因为函数的定义域为,令,解得:;令,解得且,所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.O321yx(2)与轴的交点

16、设为,则,由于,切线的斜率为.切线方程为.令,得,令,得.所以所围三角形的面积为.(3)方程等价于,在平面直角坐标系中画出函数的图象,如右图所示:所以当时,方程有2个根;当时,方程有1个根;当时,方程没有根;当时,方程有1个根.例13某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率定为多少时，银行可获取最大收益？解：设存款利息为，则应用，依题意：存款量是，银行应支付的利息是，贷款的收益是，所以银行的收益是。由于，令，得或（舍去），又当时，；当时，所以当时，取得最大值，即当存款利率定为时，银行

17、可获得最大利润。例14某公司是一家专做产品的国内外销售的企业，每一批产品上市销售天内全部售完。该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）。（）分别写出国外市场的日销售量、国内市场的日销售量与第一批产品的上市时间的关系式；（）第一批产品上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过万元？解：解：（），（）；（）设每件产品的销售利润为，则，从而这家公司的日销售利润的解析式

18、为(II)当时，在区间上单调递增，从而；当时，由；当时，.综上所述，第一批产品上市后，在第天，这家公司的日销售利润超过万元OO1例15（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为，则,由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）故底面正六边形的面积为：=，（单位：）帐篷的体积为：求导得。令，解得（不合题意，舍去），当时，为增函数；当时，为减函数。当时，最大。答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。OCBA例16某地政府为科技兴市,欲将如图所

19、示的一块不规则的非农业用地建成一个矩形的高科技工业区.已知,且,曲线段是以点为顶点且开口向右的抛物线的一段,如果要使矩形的相邻两边分别落在上,且一个顶点落在曲线段上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积(精确到此0.1).yxQNPOCBA解：以O点为坐标原点，OA所在的直线为y轴建立直角坐标系（如图所示），依题意可设抛物线为且C（4,2）.，故所设抛物线方程为.设是曲线段OC上的任意一点，则在矩形PQBN中，所以工业区的面积为，令，得，即。故当时，是关于的增函数；当时，是关于的减函数，时，取得最大值，此时所以因此，把工业园规划成长为为宽为的矩形，工业园的面积最大，最大面积约为例17甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解：解法一：根据题意知