定积分 笔记

1、第三节 定积分一、定积分的定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为，在各小区间上任取一点()，作乘积并作为，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限我们称这个极限为函数在区间上的定积记为：二、定积分的性质性质1：性质2：(为常数)性质3：假设，性质4：  性质5：在区间上，则  性质6：设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则     性质7(定积分中值定理)如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使  积分中值公

2、式的几何解释：     在区间上至少存在一个点，使得以区间为底边，以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积。 三、微积分的基本公式1原函数存在定理：如果在上连续，则变上限积分的函数在可导，还是在上的一个原函数。 2微积分基本公式（牛顿莱布尼茨公式）如果是连续函数在区间上的一个原函数，则场。                微积分基本公式表明：     一个连续函数在区

3、间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间上的增量。 求定积分问题转化为求原函数的问题。 第四节 定积分的积分方法与无穷区间上的广义积分一、 定积分的积分方法1、定积分的换元积分法例1  求.解一                      = 于是=  .解二   设 ，即. 当时,;当  时，.于是.一般地，定积分换元法可叙述如下，设在上连续,而满

4、足下列条件：（1）在上有连续导数； （2）,且当  在上变化时,的值在上变化，则有换元公式：  .例2  求.解   设，即.换积分限：当  时，, 当 时，,于是  .例3  求.解  设，则 . 换积分限:当时，;  时，,于是  =.例4  求.解一  （换元法）令，所以，当时，；当时，于是.解二 （凑微分法）        .注意:求定积分一定要注意定积分的存在性. 2、定积分的分部积分法

5、设,在a,b上有连续导数，则有 .该公式称为定积分分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些.例5  求.解        .例6   求.解   .因为时, ,这时;x1时,这时.于是分别用分部积分求右端两个积分得,最后得.二、 无穷区间上的广义积分设函数f (x) 在区间a , 上连续，取b >a，如果极限存在，则称此极限为函数f (x) 在无穷区间 a, 上的广义积分，记作即 =这时也

6、称广义积分收敛。如果上述极限不存在，此时称广义积分发散。例题1 计算广义积分: .解=arc tan| = =.第五节 定积分的应用一、 微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式. 可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量（总量）表示为定积分的方法微元法，这个方法的主要步骤如下： (1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量，并确定它的变化区间，任取的一个区间微元，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值，即求出所求总量的微元 ； (2) 由微元写出积分 根据写出表示总量的定积分二、平面区域的面积1、直角坐标的情形

7、由曲线 及直线 与 ( ) 与 轴所围成的曲边梯形面积。 其中：为面积元素。由曲线 与 及直线 ，( )且所围成的图形面积。 其中： 为面积元素。例1 计算抛物线与直线所围成的图形面积。解：1、先画所围的图形简图解方程 , 得交点： 和 。2. 选择积分变量并定区间选取为积分变量，则3. 给出面积元素在上， 在上， 4. 列定积分表达式另解：若选取为积分变量，则 显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。2、极坐标情形 设平面图形是由曲线 及射线，所围成的曲边扇形。取极角为积分变量，则 ,在平面图形中任意截取一典型的面积元素，它是极角变化区间为的窄曲边扇形。的面积可近似地用半径

8、为， 中心角为的窄圆边扇形的面积来代替， 从而得到了曲边梯形的面积微元为 从而面积为 例2 计算心脏线所围成的图形面积。解： 由于心脏线关于极轴对称， 三、求体积1、旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。计算由曲线直线，及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而生成的立体的体积。取为积分变量，则，对于区间上的任一区间，它所对应的窄曲边梯形绕轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以为底半径，为高的圆柱体体积。即：体积微元为所求的旋转体的体积为例3 求由曲线及直线，和轴所围成的三角形绕轴旋转而生成的立体的体积。解：取为积分变量，则2、平行截面面

9、积为已知的立体的体积( 截面法 )由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。取定轴为轴， 且设该立体在过点，且垂直于轴的两个平面之内， 以表示过点且垂直于轴的截面面积。取为积分变量，它的变化区间为。立体中相应于上任一小区间的一薄片的体积近似于底面积为，高为的扁圆柱体的体积。即：体积微元为 于是，该立体的体积为 例4 计算椭圆 所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积。解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转所生成的立体。在处，用垂直于轴的平面去截立体所得截面积为四、 平面曲线的弧长1、直角坐标情形设函数在区

10、间上具有一阶连续的导数，计算曲线的长度。取为积分变量，则,在上任取一小区间，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度可以用它的弧微分来近似。于是，弧长元素为弧长为例5 计算曲线的弧长。解：2、参数方程的情形若曲线由参数方程给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成的形式，从而有例6 计算半径为的圆周长度。解： 圆的参数方程为 3、极坐标情形若曲线由极坐标方程给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。曲线的参数方程为此时变成了参数，且弧长元素为从而有例7 计算心脏线的弧长。 解： 五、变力作功例8 半径为的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从