导数的运算88738

1、14.2导数的运算【知识网络】1能根据导数的定义，求函数y=c,y=x,y=x2,y=的导数侧理考生还要求能根据导数的定义，求函数y=x3, y=的导数2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数侧理考生还要求能求复合函数（仅限于形如f(axb)的导数3会使用导数公式表【典型例题】例1（1）函数y=(xa)(xb)在x=a处的导数为( ) Aab a(ab) 0 ab （2）函数yax21的图象与直线yx相切，则a( )A B C D1（3）下列函数中，在x=0处的导数不等于零的是（ ）ABCy=ln（1x2）D（4）（3x21）(4x23)=（ ）(4x23)（3

2、x21）（ ）（5）设函数。若是奇函数，则_。例2 设是函数的一个极值点.求与的关系式（用表示），并求的单调区间例3 函数在区间（0，+）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数 （）用、表示m； （）证明：当； （）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数， 求b的取值范围及a与b所满足的关系.例4 已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为. （）求函数的解析式；（）求函数的单调区间.【课内练习】1 设y=tanx，则y= （ ） ABCD2设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( )A.(-,1) B.(0,1) C.(

3、1,+) D. 1,+) 3函数的极大值点是（ ）Ax=2Bx=1Cx=1Dx=24函数处的切线方程是（ ）ABCD5曲线在点（1,3）处的切线方程是 6曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_7函数y=的导数是 8已知函数=kx(x0 ), ，讨论在内的单调性并求极值9已知函数，其中为参数，且（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围10已知函数f(x)lnx，g(x)ax2bx，a0. （）若b2，且h(x)f(x)g(x)存在单调

4、递减区间，求a的取值范围； （）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行14.2导数的运算A组1 已知f(x)=其中n是正整数，则f（0）等于（ ）Aa0n！Ba0Can-1D02 若f(x)=x，则xf(x)等于 （ ）Axf(x)xBf(x)x2Cx2Df(x)3 下列函数中，导数不等于sin2x的是 （ ） A2cos2xB2sin2x Csin2x Dxcos2x4曲线在点（1，1）处的切线方程为 5已知f(x)=lnxx2，则使导函数f（x）0的x的取值范围是

5、6已知，求证：.7宽为a的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为8a的细杆能水平地AB8aCa通过拐角，向另一走廊的宽度至少是多少？8设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（）用表示a，b，c；（）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围.B组1函数y=2x23x在x=1时的导数为 （ ）A5B6C7D82函数y=(2x21)2的导数是 （ ）A16x34x2B4x38xC16x38xD16x34x3曲线y=4xx2上有两点A（4，0），B（2，4），若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标是 （ ）A（3，3）B（1，3）C（6，12）D（2，4

6、）4函数y=(1x)(1x2)2的导数是 5曲线y=x22x与曲线y=x2的共切线方程是 6已知函数处取得极值，并且它的图象与直线在点（1，0）处相切，求a、b、c的值. 7已知有极大值和极小值. （1）求+的值； （2）设曲线的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在上 8已知函数的图象在点M（1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.（）求函数y=f(x)的解析式；（）求函数y=f(x)的单调区间.14.2导数的运算【典型例题】例1 （1）D提示：展开后再求导，并将x=a代入（2）B提示：依据切线的斜率求a（3）A提示：用导数公式（4）6x；8 x提示：利用求导法则（5）提示：运用复合函

7、数的求导公式例2. f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，则 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，当a<4时，x2>3x1，则在区间（，3）上，f (x)<0， f (x)为减函数；在区间（3，a1）上，f (x)>0，f (x)为增函数；在区间（a1，）上，f (x)<0，f (x)为减函数例3、解：（） （）证明：令 因为递减，所以递增，因此，当； 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为

8、0，因此即 （）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为于是的充要条件是 综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得 因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系. （）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 令，于是对任意成立的充要条件是 由当时当时，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即 综上，不等式

9、对任意成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系. 例4（）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.【课内练习】1A提示：运用函数商的求导公式 2C提示：应用求导公式3D提示：可以考虑展开后求导，也可以考虑用复合函数求导公式4D提示：应用求导公式5 提示：求导后求切线的斜率，用点斜式写直线方程6提示：求出切线方程，及直线交点7 y=提示：应用求导公式8，令，得；当时，是单调递减函数；当时，是单调递增函数；所

10、以当时，函数在内取得极小值，极小值为9（1）无极值；（2）；（3）10（I），则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.又因为x>0时，则ax2+2x1>0有x>0的解.当a>0时，y=ax2+2x1为开口向上的抛物线，ax2+2x1>0总有x>0的解；当a<0时，y=ax2+2x1为开口向下的抛物线，而ax2+2x1>0总有x>0的解； 则=4+4a>0,且方程ax2+2x1=0至少有一正根.此时，1<a<0. 综上所述，a的取值范围为（1，0）（0，+）. （II）证法一 设点P、Q的坐标分别是（x1,

11、y1），（x2, y2），0<x1<x2. 则点M、N的横坐标为 C1在点M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率为 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2. 即，则 =所以 设则令则因为时，所以在）上单调递增. 故则. 这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.证法二：同证法一得因为，所以令，得 令因为，所以时，故在1，+上单调递增.从而，即于是在1，+上单调递增.故即这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.14.2导数的运算A组1 C提示：运用函数和的求导公式2B提示：运用函数积的求导法则3D提示：

12、运用简单复合函数的求导法则4x+y-2=0提示：求导后求切线的斜率，用点斜式写直线方程5（0，1）提示：直接求导6设上是增函数， 当时，同理可证，综上所述当时 7设细杆与另一走廊一边的夹角为，又设另一走廊的宽为y，由知， 依题意必存在一个适当的值使y最小，由. 令，因为只有一个极值，所以它是最小值，这时y=，即另一走廊的宽度至少是 8（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得 因此故，（II）解法一.当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（1，3）上单调递减.所以的取值范围为解法二：因为函数在（1，3）上单调递减，且是（1，3）上的抛物线，所以 即解得所以的取值范围为B组1C提示：求导后将x=1代入2C提示：展开后